第二章地球重力場(chǎng)1課件

取一直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)在地球重心，z軸和地球的平自轉(zhuǎn)軸重合x和y軸按右手坐標(biāo)系規(guī)定，或任意選定。為了方便，假設(shè)x軸平行于格林尼治子午面(參閱2-4節(jié)）。若單位質(zhì)量所受的離心力為地球表面靜止物體所受的作用力為引力和地球自轉(zhuǎn)離心力的合力。

ω地球自轉(zhuǎn)角速度

ωf矢量的方向與P=(ω2x,ω2y,0

)的方向相同，則有

f=ω2P(ω2x,ω2y,0)(2-2)(2-4)為離心力位圖2-1離心力總的力，即引力和離心力的合力稱為重力。引力位V

和離心力位Φ兩者之和稱為重力位W：（2-5）式中是對(duì)整個(gè)地球的積分。對(duì)離心力位微分，得與布阿桑方程式(1—13)的V合并，則得出廣義的布阿桑重力（2-6）位方程式：重力位W的矢量梯度其分量為：（2-8）g即為重力矢量，它是作用于單位質(zhì)量上的全部力(引力和離心力之和)，方向?yàn)殂U垂線方向，鉛垂線又簡(jiǎn)稱垂線1伽=1cm/s2=1×10-2m/s2常用的單位為毫伽(mgal),1mgal=10-3gal=1×10-5m/s22-2-1水準(zhǔn)面的定義及性質(zhì)重力位為常數(shù)的曲面稱為重力等位面或水準(zhǔn)面。即（2-9）對(duì)上式微分=gradW?dX=g?dX(2-10)dX

=(dx,

dy,

dz)

(2-11)如果矢量dX沿等位面W=W0，則dW=0，(2-10)式變?yōu)間?dX=0兩個(gè)矢量的純量積如果為零，這兩個(gè)矢量一定互相正交，所以此方程式說(shuō)明重力矢量與通過(guò)同一點(diǎn)的等位面正交。2-2水準(zhǔn)面和鉛垂線但和等位面正交的線并不是直線而稍有彎曲(圖2—2)，這些線稱為力線或鉛垂線，任何一點(diǎn)的重力矢量，均與該點(diǎn)的垂線相切，因此“重力矢量的方向”和“垂線”、“鉛垂線的方向”是同義語(yǔ)，有時(shí)，這些方向簡(jiǎn)單地表示為鉛垂線。一個(gè)點(diǎn)離海水面的高，是從大地水準(zhǔn)面起沿鉛垂線量取的，稱為正高(圖2-2)。沿鉛垂線增高的方向取矢量dX，它的長(zhǎng)度為|dX|=dH它的方向與重力矢量相反，與等位面的外法線方向重合這說(shuō)明重力是位W的負(fù)垂直梯度，或者是gradW的垂直分量。上述公式確定了相鄰水準(zhǔn)面的位差（物理量）與高差（幾何量）之間的關(guān)系。由于兩個(gè)水準(zhǔn)面的位差不會(huì)等于零，因此，高差dh也不會(huì)等于零。這說(shuō)明兩個(gè)水準(zhǔn)面既不相交，也不相切。而且也不平行，在一般情況下，同一水準(zhǔn)面上各處的重力是不等的，因此兩個(gè)水準(zhǔn)面之間的距離就不是常數(shù)。就地球來(lái)說(shuō)，由于從赤道到兩極重力增加約5伽，因而水準(zhǔn)面是在兩極收斂的。兩個(gè)貼近地面的水準(zhǔn)面之間的距離，由赤道向兩極相對(duì)減少約5‰，即在赤道上彼此相距為100米的兩個(gè)水準(zhǔn)面，到兩極只有99.5米。dX與g的方向間的夾角為180o，于是，dW=-

gdH(2-13)

或(2-14)一般地曲線y=f(x)的曲率公式為：

κ為曲率，ρ為曲率半徑當(dāng)P點(diǎn)的切線平行于x

軸時(shí)，y’=0，則有簡(jiǎn)化式(2-15)(圖2-4)局部坐標(biāo)系x,y,z,

原點(diǎn)在P點(diǎn)，z軸為垂線，它和S面垂直(左手系）設(shè)想xz平面與水準(zhǔn)面相交，并且y=0現(xiàn)在是以z

當(dāng)做

y，因此，水準(zhǔn)面和xz面的交線的曲率，不是(2-15)式，而是(2-16)2-3水準(zhǔn)面彎曲、重力梯度將W(x,y,z)=W0

對(duì)x微分，考慮到

y=0，z為x

的函數(shù)，則有因?yàn)閤軸在P點(diǎn)切于水準(zhǔn)面，故有，因而因?yàn)閦軸為垂線，從（2-14）式有得水準(zhǔn)面與xz平面的交線的曲率為水準(zhǔn)面與yz

平面的交線的曲率為(2-17)(2-18)在曲面上P點(diǎn)的平均曲率J，為過(guò)該點(diǎn)垂線的兩個(gè)互相正交的面，與曲面相交的曲線的曲率的算術(shù)中數(shù)。故水準(zhǔn)面平均曲率為這個(gè)公式將垂直重力梯度（物理量）和水準(zhǔn)面的平均曲率（幾何量）聯(lián)系起來(lái)了。(?g/?x)和(?g/?y)稱為重力的水平梯度，可以確定垂線的曲率。描述了重力隨高程的變化，稱為垂直重力梯度，與水準(zhǔn)面曲率有關(guān)。重力梯度張量重力梯度2-5地球引力位的球諧函數(shù)展開(kāi)從重力位W的(2-5)式可以看出，在地球重力位中，離心力位是簡(jiǎn)單的解析函數(shù)，而引力位由于不知道邊界面以及密度，不能直接計(jì)算。對(duì)于地球外部空間，可用球諧函數(shù)展開(kāi)式近似表示。引力位可用基本公式(1-11)表示式中，質(zhì)量元素以dM

表示，對(duì)整個(gè)地球進(jìn)行積分，在積分中引入(1-81)式：r為定點(diǎn)P的矢徑，r’為質(zhì)量元素dM的矢徑，ψ為r與r’之間的夾角根據(jù)公式(1—83’)，將其代入（2-30）式寫成體球諧函數(shù)的級(jí)數(shù)于是有(2-34)普通諧函數(shù)形式：地球重力位球諧函數(shù)展開(kāi)式的收斂性：展開(kāi)式是1/r

的冪級(jí)數(shù)，因此，r值愈大收斂愈快；當(dāng)r

較小時(shí)就不會(huì)收斂。對(duì)任意一物體，可以證明以球諧函數(shù)展開(kāi)的V，在一個(gè)包含該物體的最小球(r=r0)外是收斂的。球內(nèi)一般是發(fā)散的。在某些情況下，r=r0的球內(nèi)也能收斂。圖2-10V球諧函數(shù)展開(kāi)在r=r0的球外收斂假設(shè)地球是一個(gè)均質(zhì)橢球，那末V的級(jí)數(shù)在地球表面仍能收斂。由于地球的質(zhì)量分布不規(guī)則，因此實(shí)際位V的級(jí)數(shù)在地球表面應(yīng)是不收斂的。這多少降低了球諧函數(shù)在地面大地測(cè)量上的實(shí)用意義，但在衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)中，不論在理論還是實(shí)用上都很重要。此外必須指出，球諧函數(shù)展開(kāi)式只能用來(lái)表示吸引物體以外的位，不能用于它的內(nèi)部位，因?yàn)閷?duì)于內(nèi)部空間，質(zhì)體位不滿足拉普拉斯方程。2-7橢球水準(zhǔn)面的重力場(chǎng)司托克斯定理：如果已知一個(gè)物體的外水準(zhǔn)面S及其內(nèi)部物質(zhì)的總質(zhì)量M，和整個(gè)物體繞一固定軸均勻旋轉(zhuǎn)的角速度，則S面上及其外部空間的重力位都可唯一地確定，而無(wú)需知道物體內(nèi)部質(zhì)量的具體分布情況。但并不是說(shuō)物體的外部重力場(chǎng)與物體內(nèi)部質(zhì)量的分布無(wú)關(guān)??！

地球重力場(chǎng)被表示為：正常重力場(chǎng)+擾動(dòng)重力場(chǎng)正常重力場(chǎng)：一個(gè)假想的、由形狀和質(zhì)量分布都很規(guī)則的物體所產(chǎn)生的重力場(chǎng)。此物體稱為正常地球旋轉(zhuǎn)橢球正常重力場(chǎng)的等位面稱為正常水準(zhǔn)面。由于正常位可以根據(jù)正常地球的參數(shù)求得，因此正常水準(zhǔn)面的形狀也是已知的。如果設(shè)定了正常地球的長(zhǎng)半徑a、扁率f、旋轉(zhuǎn)角速度ω以及總質(zhì)量M，并要求橢球表面就是它本身重力場(chǎng)的水準(zhǔn)面。根據(jù)司托克斯定理，這個(gè)正常地球唯一地確定其外部空間的重力場(chǎng)。這時(shí)，我們稱正常地球?yàn)樗疁?zhǔn)橢球。進(jìn)一步地，采用實(shí)際地球的a、f、kM、ω作為橢球參數(shù)，就得到一個(gè)與大地水準(zhǔn)面的幾何形狀和外部重力場(chǎng)符合得最好的水準(zhǔn)橢球，稱為平均地球橢球（參考橢球）。正常重力位已知橢球S0設(shè)為最后得正常重力位為公式中的常數(shù)只有a、b、f、kM、ω。這和司托克斯理論完全符合，即水準(zhǔn)橢球外部空間的重力位由a、b、f、kM、ω唯一地確定。2-8正常重力正常重力矢量等于正常重力位U的梯度沿橢球坐標(biāo)曲線的分量為其中設(shè)（2-67）(我們常常把S0

的有關(guān)量用腳標(biāo)0表示)。這也很明顯，因?yàn)樵赟0上的重力矢量和水準(zhǔn)面S0是垂直的，在參考橢球

u=b

上，正常重力γ的β

分量和λ

分量同樣也為零。因在S0面上有下列關(guān)系故在橢球面S0上的全部重力以γ表示時(shí)，則有(2-69)再引入下列簡(jiǎn)化符號(hào)第二偏心率(2-72)(2-72)上式是一個(gè)重要的近似公式，1738年由克萊勞提出，所以稱為克萊勞理論。比較一下(2-73)式的γa和(2-74)式的γb，以及(2-72)式中括弧號(hào)的量，可以看出γ有如下的對(duì)稱的公式若以大地緯度φ

代替歸化緯度β，則由于可以得到這是正常重力的嚴(yán)格公式——著名的索米里安公式?？梢?jiàn)，γ只隨大地緯度φ

（或歸化緯度β）而變化。2-9正常引力位的球諧函數(shù)展開(kāi)式由（2-62）式已經(jīng)知道正常重力位的橢球諧函數(shù)表達(dá)式為那么，正常形狀的地球引力位的橢球諧函數(shù)表達(dá)式則為且下面要將這公式改為以球坐標(biāo)r，θ，λ，表示橢球和球坐標(biāo)之間的關(guān)系式采用間接推導(dǎo)方法（1）（2-84）將它們代入(2-83)式，并經(jīng)符號(hào)代換，得（2）再把位V

展開(kāi)為球諧函數(shù)的級(jí)數(shù)分析：由于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，它只有帶諧項(xiàng)。而且，由于對(duì)赤道面對(duì)稱，它只有偶階的帶諧項(xiàng)。奇階的帶諧項(xiàng)對(duì)負(fù)緯度將變號(hào)，所以就不出現(xiàn)，據(jù)此，級(jí)數(shù)的形式將會(huì)是（2-87）（2-88）（2-88‘）上式中系數(shù)A2n為待定常系數(shù)，顯然它們應(yīng)與正常橢球的4個(gè)基本參數(shù)有關(guān)。為了找出這些關(guān)系，設(shè)想有一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)軸上，并在橢球之外。該點(diǎn)的β＝90o，θ=0o

，u=r，于是(2-87)式變成而（2-88）式則為上述兩式右邊應(yīng)當(dāng)相等，因此得（2-88）將正常引力位的球諧函數(shù)展開(kāi)寫成一般常見(jiàn)形式J2n為與正常橢球參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。（2-92）引進(jìn)第一偏心率e=E/a，在n＝1時(shí)，則得出重要公式（2-92‘）其中（2-166