計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的經(jīng)典分析方法

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的經(jīng)典分析方法第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二4.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念與連續(xù)系統(tǒng)一樣穩(wěn)定性是指系統(tǒng)擾動作用下偏離原平衡點(diǎn)，當(dāng)擾動作用消失以后，系統(tǒng)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復(fù)平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若系統(tǒng)在擾動作用消失以后，不能恢復(fù)平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，它與擾動的形式無關(guān)，只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)。第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二1、S平面和Z平面的相互關(guān)系復(fù)變量z和s之間的關(guān)系令s=＋j，則

由此可得S

平面和Z

平面的基本對應(yīng)關(guān)系：

S

平面虛軸映射為Z

平面的單位圓，

S左半平面映射在Z平面的單位圓內(nèi)，右半平面則映射在單位圓外。第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二角頻率與Z平面相角的關(guān)系

當(dāng)S

平面的點(diǎn)沿虛軸由－∞變化到＋∞時(shí)，Z平面的相角也從－∞變化到＋∞，且每變化一個(gè)s，Z

平面的相角就變化2，即轉(zhuǎn)了一周。

第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二S平面可分為許多寬度為s

的平行帶，其中的帶稱為主帶，其余均為旁帶。

S

平面上的主帶與旁帶，將重復(fù)映射在整個(gè)Z

平面上。

s平面中的周期帶與z平面中相對應(yīng)的單位圓第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二等

線（等衰減）映射

s平面上的等

垂線，映射到z平面上的軌跡，是以原點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二等

線（等頻率）映射

在采樣周期T確定的情況下，s平面上的等

水平線，映射到

z平面上的軌跡，是一簇從原點(diǎn)出發(fā)的射線，其相角，以實(shí)軸正方向?yàn)榛鶞?zhǔn)第七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二等阻尼線映射s平面上的等阻尼線可用式描述映射到z平面為第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二【解】

S平面實(shí)部相同而虛部相差s

的整數(shù)倍的點(diǎn)均映射為Z平面同一點(diǎn)－110－10jO[S]ORe[Z]Im0.533

若s

＝10，試求它們映射在Z平面上的點(diǎn)。例1如圖所示，在S平面有三個(gè)點(diǎn)，分別為：第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二2、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

離散系統(tǒng)對應(yīng)的特征方程的解必須全部位于單位圓內(nèi)，只要有一個(gè)根在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。若系統(tǒng)的根位于單位圓上，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界，亦稱為不穩(wěn)定。第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二（1）直接求特征方程的根來判別穩(wěn)定性（2）修正的Routh穩(wěn)定性判則

勞斯－古爾維茨判據(jù)為連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)，可以通過一種變換（雙線性變換）將離散系統(tǒng)特征方程對應(yīng)的單位圓內(nèi)的根映射位為左半平面的根，這樣就可用Routh判據(jù)來分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二設(shè)離散系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為【證】引入雙線性變換可以將轉(zhuǎn)化為，然后就可借助勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。

第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二例2設(shè)采樣系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)勞斯判據(jù)

在w右半平面有兩個(gè)根，故該采樣系統(tǒng)有兩個(gè)根在單位圓外，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定

第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二例3

如圖所示的系統(tǒng)，為保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，放大系數(shù)的倍數(shù)K的取值范圍。該系統(tǒng)的廣義對象為第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二（3）Jury穩(wěn)定性判據(jù)

這是一個(gè)在數(shù)學(xué)上直接判斷離散系統(tǒng)特征方程的根的模值是否小于1（即在單位圓內(nèi)）的判據(jù)。

設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為

構(gòu)造Jury表：第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二朱利表：

從第3行開始，所有奇數(shù)行n用以下公式計(jì)算：第(n－2)行系數(shù)－第(n－1)行系數(shù)×上兩行末列系數(shù)之商第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二Jury判據(jù)

若特征方程式中a0>0，則只有當(dāng)Jury表中所有奇數(shù)行第一列系數(shù)均大于零時(shí)，該方程的全部特征根才位于單位圓內(nèi)。即

若其中有小于零的系數(shù)，則其個(gè)數(shù)等于特征根在z平面單位圓外的個(gè)數(shù)。【注】如第一列出現(xiàn)零元素或有全零行，則需要作特殊處理第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二

例4已知系統(tǒng)的特征方程為

【解】

構(gòu)造Jury表

試判斷其穩(wěn)定性。

其奇數(shù)行首列系數(shù)有兩個(gè)小于零，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有2個(gè)根位于單位圓外。第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二離散系統(tǒng)特征方程的解均位于單位圓內(nèi)的必要條件是：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性可用如下步驟：判斷必要條件是否成立，若不成立，系統(tǒng)不穩(wěn)定；若必要條件成立，再構(gòu)造朱利表進(jìn)一步判斷?！咀ⅰ咳舯匾獥l件滿足，且前面奇數(shù)行首列元素均大于零，則Jury表中的最后一行系數(shù)必大于零。第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二例5已知系統(tǒng)特征方程為試判斷其穩(wěn)定性?！窘狻繖z驗(yàn)必要條件系統(tǒng)滿足必要條件第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二構(gòu)造Jury表

可見奇數(shù)行首列系數(shù)均大于零，故系統(tǒng)穩(wěn)定第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二

構(gòu)造Jury表：

（最后一行不必再判斷）（4）二階離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)

設(shè)系統(tǒng)特征方程為 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為

為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿足第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二由此可推得

即

這等價(jià)于

由此可得二階離散系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件的簡便形式：第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二例6

已知采樣系統(tǒng)如圖所示：

其中，T=1秒，試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍?！窘狻块_環(huán)傳函閉環(huán)特征方程：第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二

綜合起來有

為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿足二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二4、采樣周期對穩(wěn)定性的影響

【解】系統(tǒng)開環(huán)傳函為

例7已知如圖所示采樣統(tǒng)，，試討論試判斷采樣周期為1s或4s

時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二將采樣周期代入上式，得到特征方程為求得采樣周期時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)的模為

顯然，極點(diǎn)和均位于z平面的單位圓內(nèi)，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二將采樣周期代入上式，得到特征方程為求得采樣周期時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)的模為

顯然，極點(diǎn)位于z平面的單位圓內(nèi)，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

采樣周期T是影響穩(wěn)定性的重要參數(shù)，一般來說，T減小，穩(wěn)定性增強(qiáng)第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二連續(xù)系統(tǒng)的誤差信號定義

穩(wěn)態(tài)誤差為上述誤差的終值，即采樣系統(tǒng)的誤差信號定義為采樣時(shí)刻的誤差，即

穩(wěn)態(tài)誤差：4.2計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析

1、離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的定義第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二2、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算系統(tǒng)的分類

連續(xù)系統(tǒng)通常按系統(tǒng)開環(huán)傳函所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)來分類，根據(jù)映射關(guān)系，s域的積分環(huán)節(jié)，即

s=0處的極點(diǎn)，映射至z域?yàn)閦=1處的極點(diǎn)，所以采樣系統(tǒng)則按其開環(huán)脈沖傳函在z=1處的極點(diǎn)個(gè)數(shù)來分類，分別有

0型、I型、II型…系統(tǒng)。第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二

如圖所示的單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)誤差傳函由此可得(1)終值定理法第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二根據(jù)終值定理，系統(tǒng)在采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為

穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特性均有關(guān)。第三十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二

則穩(wěn)態(tài)誤差可表示為 其中為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)輸入信號為單位階躍函數(shù)

其Z變換為顯然，Kp

增大，穩(wěn)態(tài)誤差將減小。(2)靜態(tài)誤差系數(shù)法第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二對“0”型系統(tǒng)，開環(huán)傳函D(z)G(z)

在z=1

處無極點(diǎn)，即不含積分環(huán)節(jié)，Kp

為有限值，所以穩(wěn)態(tài)誤差為有限值；對“I”型系統(tǒng)，開環(huán)傳函D(z)G(z)

在z=1

處有一個(gè)極點(diǎn)，即含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，Kp

為無窮大，所以穩(wěn)態(tài)誤差為0；對于高于“I”型的系統(tǒng)，開環(huán)傳函D(z)G(z)

在z=1

處有多個(gè)極點(diǎn)，即含有多個(gè)積分環(huán)節(jié)，Kp

為無窮大，所以穩(wěn)態(tài)誤差為0；第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二【結(jié)論】

若輸入信號為階躍函數(shù)，對單位反饋系統(tǒng)，采樣時(shí)刻無穩(wěn)態(tài)誤差的條件是系統(tǒng)前向通道中至少含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，這樣的系統(tǒng)也稱為位置無差系統(tǒng)。第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二 其中 為速度誤差系數(shù)輸入信號為單位斜坡函數(shù)r(t)=t

其Z

變換為穩(wěn)態(tài)誤差

為使系統(tǒng)對斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則前向通道中至少含有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)。第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二其中

為加速度誤差系數(shù)輸入信號為單位拋物線函數(shù)

其Z

變換為穩(wěn)態(tài)誤差

輸入為加速度函數(shù)時(shí)，對“II”型以下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大。第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)誤差系數(shù)0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)II型系統(tǒng)000穩(wěn)態(tài)誤差第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二例8計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的如下圖所示。設(shè)采樣周期秒，試確定系統(tǒng)分別在單位階躍、單位斜坡和單位拋物線函數(shù)輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。解系統(tǒng)的開環(huán)z傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二令代入上式，求得由于系數(shù)均大于零，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。先求出靜態(tài)誤差系數(shù)：靜態(tài)速度誤差系數(shù)為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二單位階躍輸入信號作用下：

單位斜坡輸入信號作用下：

單位拋物線輸入信號作用下：

第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二3、干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令r(t)=0

，此時(shí)誤差完全由擾動信號n(t)

引起，即由終值定理可求得擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)擾動作用點(diǎn)在被控對象上，則有第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二4、A/D變換器對穩(wěn)態(tài)誤差的影響8位A/D轉(zhuǎn)換器（單極性），其分辨率為 當(dāng)A/D

輸入小于0.0039時(shí)，A/D

則處于非靈敏區(qū)而輸出為零。 對單位反饋系統(tǒng)，若r(t)=1,由于A/D的死區(qū)，當(dāng)輸出x>0.9961

時(shí)，其誤差信號e將進(jìn)入A/D的死區(qū)，從而e的轉(zhuǎn)換結(jié)果為零，此時(shí)存在穩(wěn)態(tài)誤差

這不是由系統(tǒng)原理引起的誤差，而是系統(tǒng)部件的非靈敏區(qū)造成的。第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二5、采樣周期對穩(wěn)態(tài)誤差的影響 如圖所示連續(xù)系統(tǒng)與其相應(yīng)的采樣系統(tǒng)，分析其穩(wěn)態(tài)誤差。0III000系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型與誤差系數(shù)的關(guān)系為連續(xù)部分傳函的一般形式第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二采樣系統(tǒng)的開環(huán)傳函第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二對“0”型系統(tǒng)，v=0誤差系數(shù)第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二對“I”型系統(tǒng)，v=1誤差系數(shù)第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二類似地也可求得“II”型系統(tǒng)的誤差系數(shù) 與連續(xù)系統(tǒng)的誤差系數(shù)比較，二者完全一致，而與T

無關(guān)。第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二

盡管采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的計(jì)算公式中包含了T，但實(shí)際計(jì)算中公式中的T

與系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳函的T

相對消，因此穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期T

無關(guān)?！咀ⅰ恳陨辖Y(jié)論只對含零階保持器的采樣系統(tǒng)成立，其它情況不一定能完全對消T。第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二4.3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性分析計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性分析也包括動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分析通常動態(tài)性能指標(biāo)包括延遲時(shí)間td、上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)節(jié)時(shí)間ts、最大超調(diào)量

％等，其定義均與連續(xù)系統(tǒng)一致。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是時(shí)間時(shí)系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。一般認(rèn)為輸出進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值附近±5％或±3％的范圍內(nèi)就可以表明動態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束。第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二

盡管動態(tài)性能指標(biāo)的定義與連續(xù)系統(tǒng)相同，但在Z域分析時(shí)，只能針對采樣時(shí)刻的值，而在采樣間隔內(nèi)，系統(tǒng)的狀態(tài)并不能被表示出來，因此不能精確描述和表達(dá)采樣系統(tǒng)的真實(shí)特性。在采樣周期較大時(shí)，尤其如此。第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二例9已知計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)如下圖所示，設(shè)采樣周期T=1s，試分析系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特性。解

廣義z傳遞函數(shù)為閉環(huán)z傳遞函數(shù)為第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為，模為，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)的輸出的z變換為系統(tǒng)的輸出的終值為

第五十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的過渡過程具有衰減振蕩的形式，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其超調(diào)量為40%，且峰值出現(xiàn)在第三、四個(gè)采樣周期之間，約經(jīng)過12個(gè)采樣周期結(jié)束過渡過程，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值為1。第五十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二s平面繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的特征方程：形式完全相同！

s平面繪制根軌跡的所有規(guī)則z平面都適用，繪制方法完全相同。z平面繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的特征方程：4.4z平面根軌跡分析法但應(yīng)注意:

z平面上的穩(wěn)定邊界是單位圓而不是一條直線第五十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二例10系統(tǒng)如下圖所示，設(shè)采樣周期T=1s,且試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡，并確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的K值。第五十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二解

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。Z平面的臨界放大系數(shù)由根軌跡與單位圓的交點(diǎn)求得，為。。

第五十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二離散系統(tǒng)頻率特性定義 連續(xù)系統(tǒng)的頻域特性——在正弦信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比隨正弦信號頻率變化的特性。此定義同樣適用于離散系統(tǒng)，只是對應(yīng)的輸入輸出信號均為離散值。4.5線性離散系統(tǒng)的頻率特性分析第六十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二

即離散系統(tǒng)頻率特性相當(dāng)于考察脈沖傳函當(dāng)z

沿單位圓變化時(shí)的特性。線性計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的頻率特性可按下式計(jì)算第六十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期二1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)頻率特性繪制方法(1)數(shù)值計(jì)算法例11已知連續(xù)傳遞函數(shù)，相應(yīng)的z傳遞函數(shù)為