非線性控制系統(tǒng)

非線性控制系統(tǒng)第一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二8-1引言

一常見(jiàn)非線性特性對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響只要系統(tǒng)中包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件，就稱其為非線性系統(tǒng)。非線性特性可分為單值函數(shù)與多值函數(shù)兩類。常見(jiàn)非線性特性有:第二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二1：死區(qū)死區(qū)對(duì)系統(tǒng)最直接的影響是造成穩(wěn)態(tài)誤差摩擦死區(qū)特性可能造成運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的低速不均勻死區(qū)的存在會(huì)造成系統(tǒng)等效開(kāi)環(huán)增益的下降死區(qū)特性減弱振蕩性，提高穩(wěn)定性死區(qū)能濾除在輸入端作小幅度振蕩的干擾信號(hào)，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。第三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二處于系統(tǒng)前向通路最前面的測(cè)量元件，其死區(qū)所造成的影響最大，而放大元件和執(zhí)行元件死區(qū)的不良影響可以通過(guò)提高該元件前級(jí)的傳遞系數(shù)來(lái)減小。第四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二大信號(hào)作用之下的等效增益降低，使系統(tǒng)超調(diào)量下降，振蕩性減弱，穩(wěn)態(tài)誤差增大。2：飽和處于深度飽和的控制器對(duì)誤差信號(hào)的變化失去反應(yīng)，從而使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。利用飽和特性作信號(hào)限幅，保證系統(tǒng)安全合理地工作。自持振蕩現(xiàn)象若線性系統(tǒng)為振蕩發(fā)散，當(dāng)加入飽和限制后，系統(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)自持振蕩的現(xiàn)象。第五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3：間隙又稱回環(huán)增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了控制精度，這相當(dāng)于死區(qū)的影響使系統(tǒng)頻率響應(yīng)的相角遲后增大，從而使系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的振蕩加劇，甚至使系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定2π第六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二4：繼電特性其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性。當(dāng)h=0時(shí)，稱為理想繼電特性。理想繼電特性串入系統(tǒng)，在小偏差時(shí)開(kāi)環(huán)增益大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)一般呈發(fā)散性質(zhì)；而在大偏差時(shí)開(kāi)環(huán)增益很小，系統(tǒng)具有收斂性質(zhì)。故理想繼電控制系統(tǒng)最終多半處于自持振蕩工作狀態(tài)。繼電特性能夠使被控制的執(zhí)行裝置在最大輸入信號(hào)下工作，可以充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)能力，故有可能利用繼電特性實(shí)現(xiàn)快速跟蹤。至于帶死區(qū)的繼電特性，將會(huì)增加系統(tǒng)的定位誤差，而對(duì)其它動(dòng)態(tài)性能的影響，類似于死區(qū)、飽和非線性特性的綜合效果。第七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二.非線性系統(tǒng)特征

1：穩(wěn)定性對(duì)于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念，必須針對(duì)系統(tǒng)某一具體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，才能討論其是否穩(wěn)定的問(wèn)題。

例如設(shè)t=0時(shí)，系統(tǒng)的初始條件為x0，可以求得上述微分方程的解為：

所以說(shuō)，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與運(yùn)動(dòng)的初始條件、輸入信號(hào)有直接關(guān)系?？梢?jiàn)，非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)，其中某些平衡狀態(tài)穩(wěn)定，另一些平衡狀態(tài)不穩(wěn)定的。初始條件不同，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可能趨于不同的平衡狀態(tài)，運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性就不同。第八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2：時(shí)間響應(yīng)線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)3：自持振蕩第九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二4：對(duì)正弦信號(hào)的響應(yīng)143256線性系統(tǒng)當(dāng)輸入某一恒定幅值和不同頻率ω的正弦信號(hào)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值A(chǔ)c是頻率ω的單值連續(xù)函數(shù)。對(duì)于非線性系統(tǒng)輸出的幅值A(chǔ)c與ω的關(guān)系可能會(huì)發(fā)生跳躍諧振和多值響應(yīng)，5：非線性系統(tǒng)的畸變現(xiàn)象第十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二三.非線性系統(tǒng)的分析方法

目前研究非線性系統(tǒng)常用的工程近似方法有：

1：相平面法2：描述函數(shù)法3：計(jì)算機(jī)求解法第十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二8-2相平面法基礎(chǔ)一.相平面法的概念

設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)可以用下列微分方程描述：

考慮到：

可改寫(xiě)為：

如果能解出該方程，即求出和x的關(guān)系，則可以運(yùn)用=dx/dt，把x和t的關(guān)系計(jì)算出來(lái)。第十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二以x為橫坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)所組成的直角坐標(biāo)平面稱為相平面(狀態(tài)平面)。在某一時(shí)刻t，x(t)和對(duì)應(yīng)于相平面上的一個(gè)點(diǎn)，稱為相點(diǎn)(狀態(tài)點(diǎn)),它代表了系統(tǒng)在該時(shí)刻的一個(gè)狀態(tài)。通常系統(tǒng)在初始時(shí)刻t0的初始狀態(tài)用相點(diǎn)表示,隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，系統(tǒng)的狀態(tài)不斷地變化，沿著時(shí)間增加的方向，將描述這些狀態(tài)的許多相點(diǎn)連接起來(lái)，在相平面上就形成了一條軌跡曲線，這種反映系統(tǒng)狀態(tài)變化的軌跡曲線叫相軌跡第十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二相軌跡的箭頭表示時(shí)間增加時(shí)，相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。從圖中可以看出，在上半平面,相軌跡總是沿著x增加的方向運(yùn)動(dòng)(向右運(yùn)動(dòng)),而在下半平面,相軌跡總是沿著x減小的方向運(yùn)動(dòng)(向左運(yùn)動(dòng))。對(duì)于任一初始條件，微分方程有唯一的解與之對(duì)應(yīng)。因此，對(duì)某一個(gè)微分方程，在相平面上布滿了與不同初始條件相對(duì)應(yīng)的一族相軌跡，由這樣一族相軌跡所組成的圖象叫相平面圖，簡(jiǎn)稱相圖。第十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二.相軌跡的繪制方法

1：解析法(1)消去參變量t。(2)直接積分則通過(guò)積分，也可直接得到并繪制相軌跡。若原方程可以分解為：第十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例8-1

設(shè)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為：

初始條件為x(0)=x0，試?yán)L制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相軌跡。

解：

先用第一種解析法求解。根據(jù)初始條件可以求得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的解為：再采用第二種解析法求解。系統(tǒng)的微分方程改寫(xiě)為：

兩邊積分，得：

第十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2：圖解法(1)等傾線法若令：

則有：

令α為某一常數(shù),上式即為一條等傾線方程。等傾線等傾線作圖法….第十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例8-2

設(shè)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為：

初始條件為x(0)=x0，試用等傾線法繪制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相軌跡。

解：

令：

上式即為等傾線方程。顯然，等傾線為通過(guò)相平面坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，其斜率為-1/α，而α是相軌跡通過(guò)等傾線時(shí)切線的斜率。第十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二注意事項(xiàng)：第一，橫軸(x軸)與縱軸(dx/dt軸)所選用的比例尺應(yīng)當(dāng)一致，這樣α值才與相軌跡切線的幾何斜率相同。第二，在相平面的上半平面，相軌跡總是沿著x增加的方向運(yùn)動(dòng)(向右運(yùn)動(dòng))；而在下半平面,相軌跡總是沿著x減小的方向運(yùn)動(dòng)(向左運(yùn)動(dòng))。第三，除平衡點(diǎn)(即x的各階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn))外，通過(guò)x軸時(shí)相軌跡的斜率為所以相軌跡是與x軸垂直的。第四，等傾線的條數(shù)應(yīng)取得適當(dāng)。另外，采用平均斜率的方法作相軌跡，可以提高作圖的精確度。第十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)δ法其中是單值連續(xù)的函數(shù)δ值取決于變量和x,若和x的變化很小,δ可以看作是一個(gè)常量，例如在相平面的點(diǎn)附近，δ的值就可以取為：

第二十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二積分后,可得：

如果把縱坐標(biāo)取為橫坐標(biāo)仍為x，則在這樣的相平面內(nèi)，上式代表一個(gè)圓心在Q(δ1,0),半徑為|P1Q|的圓。用δ法繪制相軌跡的具體方法是….改進(jìn)方法….第二十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二三.由相平面圖求時(shí)間解

1：增量法對(duì)于小的時(shí)間增量Δt和位移增量Δx，其平均速度為Δx/Δt，若Δt足夠小，可以令：相軌跡從P0點(diǎn)到P1點(diǎn)，橫坐標(biāo)x的變化量為Δx01，縱坐標(biāo)的平均值為：因此，從P0點(diǎn)到P1點(diǎn)所需時(shí)間的近似值為：

P2P3P2P3t23t12P0P1P0P1t01同理可得從P1點(diǎn)到P2點(diǎn)，P2點(diǎn)到P3點(diǎn)，……所需時(shí)間的近似值分別為：

避免出現(xiàn)的平均值為零的情況第二十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

2：積分法根據(jù)從坐標(biāo)為x0的點(diǎn)移到坐標(biāo)為x1的點(diǎn)所需時(shí)間為：P0P1P0P1第二十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3：圓弧法這種方法的基本思想是：用圓心位于x軸上的一系列小圓弧來(lái)近似所研究的相軌跡段，則運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間等于沿這些小圓弧運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間之和。相軌跡AD段，可以用x軸上的P、Q、R點(diǎn)為圓心，以|PA|、|QB|、|RC|為半徑的小圓弧AB、BC、CD來(lái)近似。經(jīng)過(guò)每段小圓弧所需的時(shí)間，可以很方便地計(jì)算出來(lái)。以tAB為例，在M點(diǎn)有：第二十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二8.3二階系統(tǒng)的相平面分析法

一.線性系統(tǒng)的相軌跡

以二階系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)為例，介紹線性系統(tǒng)的相軌跡。設(shè)系統(tǒng)的微分方程：

1：無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)相軌跡為一個(gè)橢圓第二十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2：欠阻尼運(yùn)動(dòng)對(duì)x(t)求導(dǎo)，消去時(shí)間t，整理后得：

第二十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二它是一條通過(guò)初始點(diǎn)繞在相平面坐標(biāo)原點(diǎn)上的對(duì)數(shù)螺旋線。給定不同的初始點(diǎn)，可以畫(huà)出一族對(duì)數(shù)螺旋線。此時(shí)，系統(tǒng)在初始條件下的自由運(yùn)動(dòng)為衰減振蕩曲線。

第二十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3：過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)當(dāng)初始點(diǎn)滿足

有A2=0，可得相軌跡方程為：

它表示了相平面上一條特殊的相軌跡。

同理，當(dāng)初始點(diǎn)滿足

有A1=0，相軌跡方程為：

當(dāng)A1和A2不為零時(shí)，對(duì)x(t)求導(dǎo)，消去時(shí)間t，整理后得：

第二十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二4：負(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)負(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)ξ<0。其中-1<ξ<0時(shí)特征方程式根為一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根，相軌跡是一族對(duì)數(shù)螺旋線。

ξ<-1時(shí)特征方程式根為兩個(gè)正實(shí)根，相軌跡是一族拋物線。第二十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二對(duì)于線性二階系統(tǒng)，還存在另外一種類型的微分方程：

式中ξ>0。這時(shí)特征方程式根為一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，微分方程解的形式與過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)的形式相同-q1>0，-q2<0。當(dāng)初始條件滿足：

得到特殊的相軌跡：

當(dāng)初始條件滿足：

得到特殊的相軌跡：

否則，相軌跡為一族雙曲線。第三十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二.奇點(diǎn)與平衡點(diǎn)

描述二階系統(tǒng)的二階常微分方程可以用兩個(gè)一階微分方程表示，即：若狀態(tài)[x10，x20]滿足：

則稱狀態(tài)[x10，x20]為系統(tǒng)的一個(gè)的平衡點(diǎn)。

若以x1(t)和x2(t)作為相平面的兩個(gè)坐標(biāo)軸,在平衡點(diǎn)處,由于：

也就是說(shuō)，相軌跡的斜率不定，這樣的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。第三十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二對(duì)于二階線性定常系統(tǒng)：

若令

則微分方程可改寫(xiě)為兩個(gè)一階微分方程：根據(jù)相軌跡的形狀，可以把奇點(diǎn)分成若干類型。顯然，相平面的原點(diǎn)為平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。根據(jù)二階線性定常系統(tǒng)特征根可判斷奇點(diǎn)的類型第三十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)中心鞍點(diǎn)第三十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二對(duì)于非線性二階系統(tǒng)，為了判斷奇點(diǎn)[x10，x20]的類型，可以將原系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近線性化，根據(jù)線性化以后的結(jié)果來(lái)判斷奇點(diǎn)的類型。簡(jiǎn)記為：若記x1-x10為x1，x2-x20為x2根據(jù)特征根的位置，即可判斷奇點(diǎn)的類型。

第三十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例8-3

非線性控制系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并概略繪制奇點(diǎn)附近的相軌跡解

令非線性系統(tǒng)有兩個(gè)奇點(diǎn)將系統(tǒng)微分方程改寫(xiě)為在奇點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并保留一次項(xiàng)，得其特征值為具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，因而奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)第三十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二在奇點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并保留一次項(xiàng)，得記為奇點(diǎn)附近的線性化方程為特征值為一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。在奇點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并保留一次項(xiàng)，得其特征值為具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，因而奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)第三十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

三.極限環(huán)

在相平面圖中與等幅振蕩運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)的相軌跡是一個(gè)孤立的封閉曲線，這種孤立的封閉曲線稱為極限環(huán)第三十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二四.非線性系統(tǒng)的相軌跡

下面用分段線性化的方法來(lái)分析具有幾種典型非線性的控制系統(tǒng)。1：具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)，圖中T=1,K=4,e0=0.2,M0=0.2；若系統(tǒng)開(kāi)始處于零初始狀態(tài)，試分別作出r(t)=R·1(t)和r(t)=V0t時(shí)，系統(tǒng)的相平面圖。

T=1,K=4,e0=0.2,M0=0.2第三十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二線性部分的傳遞函數(shù)為：

微分方程：

非線性部分的方程為：

T=1,K=4,e0=0.2,M0=0.2對(duì)于本題，取偏差及其導(dǎo)數(shù)作為相坐標(biāo)。設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)，圖中T=1,K=4,e0=0.2,M0=0.2；若系統(tǒng)開(kāi)始處于零初始狀態(tài)，試分別作出r(t)=R·1(t)和r(t)=V0t時(shí)，系統(tǒng)的相平面圖。第三十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二可將系統(tǒng)的微分方程組改寫(xiě)為如下形式：

相平面被e=±e0劃分為三個(gè)區(qū)域，即線性區(qū)(|e|≤e0)，正飽和區(qū)(e>e0)和負(fù)飽和區(qū)(e<e0)。稱e=±e0為相平面的開(kāi)關(guān)線，顯然當(dāng)相點(diǎn)移動(dòng)到開(kāi)關(guān)線處，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性將發(fā)生轉(zhuǎn)換。0開(kāi)關(guān)線線性部分的傳遞函數(shù)為：

微分方程：

非線性部分的方程為：

對(duì)于本題，取偏差及其導(dǎo)數(shù)作為相坐標(biāo)。第四十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（1）r(t)=R·1(t)

系統(tǒng)的微分方程組變?yōu)椋嚎蓪⑾到y(tǒng)的微分方程組改寫(xiě)為如下形式：

相平面被e=±e0劃分為三個(gè)區(qū)域，即線性區(qū)(|e|≤e0)，正飽和區(qū)(e>e0)和負(fù)飽和區(qū)(e<e0)。稱e=±e0為相平面的開(kāi)關(guān)線，顯然當(dāng)相點(diǎn)移動(dòng)到開(kāi)關(guān)線處，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性將發(fā)生轉(zhuǎn)換。0開(kāi)關(guān)線第四十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二首先討論相軌跡在線性區(qū)|e|≤e0的情況。此時(shí)相軌跡方程為：原點(diǎn)(0,0)為一個(gè)平衡點(diǎn),特征根為（1）r(t)=R·1(t)

系統(tǒng)的微分方程組變?yōu)椋鹤鴺?biāo)原點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。由于位于所討論的線性區(qū)域內(nèi)，該奇點(diǎn)稱為實(shí)奇點(diǎn)。若令

可得等傾線方程為：

可見(jiàn)等傾線是一族通過(guò)原點(diǎn)的直線。

0開(kāi)關(guān)線第四十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二在e>e0的飽和區(qū)，相軌跡微分方程和等傾線微分方程分別為：在e<-e0的飽和區(qū)，相軌跡微分方程和等傾線微分方程分別為：在上述兩個(gè)區(qū)域的相軌跡微分方程中，由于兩個(gè)微分方程在均無(wú)解，故兩個(gè)區(qū)域均無(wú)奇點(diǎn)。而等傾線都是平行于橫軸的直線。

在e>e0的區(qū)域，為系統(tǒng)的一條相軌跡，也就是說(shuō)若初始點(diǎn)滿足則相點(diǎn)將沿著移動(dòng)。

0開(kāi)關(guān)線在e>e0的區(qū)域，相軌跡均漸近于的直線第四十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二類似地，在e<-e0的區(qū)域,相軌跡均漸近于的直線。

0開(kāi)關(guān)線00開(kāi)關(guān)線第四十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)r(t)=V0t

變?yōu)椋?/p>

相平面的開(kāi)關(guān)線為e=±e0由于微分方程的特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，所以在線性區(qū)|e|≤e0的相軌跡應(yīng)為對(duì)數(shù)螺旋線。系統(tǒng)的微分方程組當(dāng)r(t)=V0t時(shí),由于在線性區(qū)|e|≤e0相軌跡方程為：若令

可得奇點(diǎn)或平衡點(diǎn)為

0開(kāi)關(guān)線第四十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二該奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，奇點(diǎn)的位置與輸入信號(hào)的大小有關(guān)。當(dāng)V0<Ke0時(shí)，因奇點(diǎn)位于線性區(qū)|e|≤e0的范圍內(nèi)，該奇點(diǎn)為實(shí)奇點(diǎn)；由于微分方程的特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，所以在線性區(qū)|e|≤e0的相軌跡應(yīng)為對(duì)數(shù)螺旋線。在線性區(qū)|e|≤e0相軌跡方程為：若令

可得奇點(diǎn)或平衡點(diǎn)為

0開(kāi)關(guān)線當(dāng)V0>Ke0時(shí)，奇點(diǎn)位于線性區(qū)|e|≤e0的范圍之外，相軌跡無(wú)法趨向或離開(kāi)該奇點(diǎn)，這樣的奇點(diǎn)稱為虛奇點(diǎn)。實(shí)奇點(diǎn)虛奇點(diǎn)第四十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二在e>e0和e<-e0的飽和區(qū)e>e0時(shí)，有一條特殊的相軌跡不存在奇點(diǎn)。0開(kāi)關(guān)線相軌跡均漸近于e<-e0時(shí)，相軌跡均漸近于0開(kāi)關(guān)線第四十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二實(shí)奇點(diǎn)(0.1,0)AB當(dāng)V0=0.4<KM0時(shí),相軌跡最終收斂于(0.1,0),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1,說(shuō)明系統(tǒng)可以跟蹤變化較慢的斜坡信號(hào)；當(dāng)V0=1.2>KM0時(shí),相軌跡最終趨于水平直線，說(shuō)明系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)將趨于無(wú)窮大，系統(tǒng)無(wú)法跟蹤快速變化的斜坡信號(hào)。AB(0.3,0)虛奇點(diǎn)第四十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二V0=0.8=KM0時(shí),在|e|≤e0的區(qū)域內(nèi)，相軌跡的奇點(diǎn)(0.2,0)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)，位于開(kāi)關(guān)線上。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)有著完全不同的運(yùn)動(dòng)特性，非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式及穩(wěn)態(tài)誤差既和輸入信號(hào)的大小有關(guān)，也和初始條件有關(guān)。

(0.2,0)AB實(shí)奇點(diǎn)e>e0時(shí)，相軌跡的微分方程變?yōu)檎f(shuō)明相軌跡是相互平行的直線，其斜率為-1/T相軌跡將終止于橫軸上。終止的位置決定了穩(wěn)態(tài)誤差的大小，與初始條件有關(guān)。第四十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2：繼電型非線性控制系統(tǒng)含有繼電型非線性元件的系統(tǒng)稱為繼電型系統(tǒng)。繼電型非線性的一般形式如圖(a)所示，稱為具有滯環(huán)的三位置繼電特性；若h=0，即為理想繼電特性，如圖(d)所示。

若m=1，即為具有死區(qū)的三位置繼電特性，如圖(b)所示；若m=-1，即為具有滯環(huán)的兩位置繼電特性，如圖(c)所示；第五十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二下面具體分析系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相平面圖及其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，取c和為相坐標(biāo)。

(1)具有死區(qū)的三位置繼電特性(m=1)

線性部分的微分方程為：

繼電特性開(kāi)關(guān)線為c=±h，兩條開(kāi)關(guān)線將相平面劃分為三個(gè)線性區(qū)域。在c>h區(qū)域，相軌跡方程為：

第五十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二類似于具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)時(shí)的討論，相平面在該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸近于的直線。

開(kāi)關(guān)線線性部分的微分方程為：

開(kāi)關(guān)線為c=±h，兩條開(kāi)關(guān)線將相平面劃分為三個(gè)線性區(qū)域。在c>h區(qū)域，相軌跡方程為：

在c<-h區(qū)域，相軌跡方程為：

該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸近于的直線。

第五十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二類似于具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)時(shí)的討論，相平面在該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸近于的直線。

開(kāi)關(guān)線為c=±h，兩條開(kāi)關(guān)線將相平面劃分為三個(gè)線性區(qū)域。在c>h區(qū)域，相軌跡方程為：

在c<-h區(qū)域，相軌跡方程為：

該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸近于的直線。

開(kāi)關(guān)線第五十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二類似于具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)時(shí)的討論，相平面在該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸近于的直線。

開(kāi)關(guān)線為c=±h，兩條開(kāi)關(guān)線將相平面劃分為三個(gè)線性區(qū)域。在c>h區(qū)域，相軌跡方程為：

在c<-h區(qū)域，相軌跡方程為：

該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸近于的直線。

開(kāi)關(guān)線在|c|<h區(qū)域，相軌跡方程為：

第五十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二類似于具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)時(shí)的討論，相平面在該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸近于的直線。

在c<-h區(qū)域，相軌跡方程為：

該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均漸近于的直線。

在|c|<h區(qū)域，相軌跡方程為：

由于：

該區(qū)域的相軌跡是一族斜率為-1/T，且相互平行的直線。

另外若令系統(tǒng)的相軌跡方程恒成立，說(shuō)明在該區(qū)域內(nèi)，均為平衡點(diǎn)，相軌跡可終止于其中的任一點(diǎn)。有時(shí)把這一段直線稱為系統(tǒng)的平衡段。開(kāi)關(guān)線平衡段第五十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二可以看出，在開(kāi)關(guān)線c=+h和c=-h處，相軌跡發(fā)生了轉(zhuǎn)換，表明繼電器由一種工作狀態(tài)轉(zhuǎn)換為另一種工作狀態(tài)。一旦相軌跡到達(dá)平衡段，系統(tǒng)便處于平衡工作狀態(tài)，平衡段上的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)。A開(kāi)關(guān)線不論初始條件如何，系統(tǒng)的暫態(tài)過(guò)程均為衰減振蕩過(guò)程并最終收斂于平衡點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但是初始條件對(duì)暫態(tài)過(guò)程的影響十分顯著。

系統(tǒng)的振蕩情況還與時(shí)間常數(shù)T密切相關(guān)。若減小時(shí)間常數(shù)T，則提高暫態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性；反之，增大時(shí)間常數(shù)T，相軌跡要經(jīng)過(guò)多次切換才能達(dá)到平衡點(diǎn)，因而加劇了暫態(tài)過(guò)程的振蕩。另外，系統(tǒng)的振蕩情況還與KM值有關(guān)，KM加大，系統(tǒng)的振蕩加劇，收斂也會(huì)變慢。第五十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）具有滯環(huán)的兩位置繼電特性(m=-1)分段線性微分方程為：

開(kāi)關(guān)線方程為

兩條開(kāi)關(guān)線將整個(gè)相平面劃分成兩個(gè)區(qū)域：在區(qū)域

相軌跡方程

該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡漸近于的水平直線；

繼電特性在區(qū)域

相軌跡方程

該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡漸近于的水平直線；

第五十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二兩條開(kāi)關(guān)線將整個(gè)相平面劃分成兩個(gè)區(qū)域：在區(qū)域

相軌跡方程

該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡漸近于的水平直線；

在區(qū)域

相軌跡方程

該區(qū)域無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡漸近于的水平直線；

第五十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二m=-1時(shí)的相軌跡與m=1時(shí)的相軌跡不同,這時(shí)不再是系統(tǒng)的平衡段，由這個(gè)線段出發(fā)的相軌跡都向外發(fā)散，而由較大初始條件出發(fā)的相軌跡都向內(nèi)收斂。介于從內(nèi)向外發(fā)散和從外向內(nèi)收斂的相軌跡之間，存在著一個(gè)極限環(huán)KLMNK。該極限環(huán)為穩(wěn)定的極限環(huán)從任一初始點(diǎn)出發(fā)的相軌跡都趨于這個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，系統(tǒng)的輸出出現(xiàn)等幅振蕩。振蕩的周期與振幅僅取決于系統(tǒng)的參數(shù)，與初始條件無(wú)關(guān)?？梢?jiàn)滯環(huán)特性惡化了系統(tǒng)的品質(zhì)。329第五十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二繼電特性現(xiàn)在討論另外一種情況，若初始時(shí)刻繼電特性輸出為-M，相軌跡方程為為此可以畫(huà)出c>-h時(shí)，相軌跡方程為的相平面圖。

而繼電特性的輸入為下圖無(wú)法表現(xiàn)。

第六十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二繼電特性同樣若初始時(shí)刻繼電特性輸出為M，由于此時(shí)相軌跡方程為為此可以畫(huà)出c<h時(shí)，相軌跡方程為的相平面圖。

而繼電特性的輸入為第六十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二C1C2C3C6畫(huà)在一張圖上時(shí)，得到系統(tǒng)完整的相平面圖,為多頁(yè)相平面圖，圖中在-h<c<h部分，相軌跡有重疊，可根據(jù)具體情況，決定采用何種形式的相軌跡,圖中C1點(diǎn)滿足C4C5第六十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(3)既有死區(qū)又有滯環(huán)的繼電特性(-1<m<1)分段線性微分方程為：

開(kāi)關(guān)線方程為和與m=1時(shí)的相平面圖相比較A開(kāi)關(guān)線第六十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二下圖繪出了隨著m的減小，相軌跡變化的示意圖。從圖中可以看出，系統(tǒng)的振蕩趨勢(shì)將逐漸加大，當(dāng)m減小到0<m<<1時(shí)，相平面圖將由(a)變?yōu)?b)，這時(shí)出現(xiàn)了半穩(wěn)定的極限環(huán)。當(dāng)m進(jìn)一步減小至-1<m<0時(shí)，系統(tǒng)的相平面圖變?yōu)?c)，這時(shí)出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)和一條由兩條相軌跡圍成的區(qū)域，如圖中陰影線所示。這時(shí)，若初始狀態(tài)落在陰影線區(qū)域內(nèi)，則系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)將趨于平衡狀態(tài)，否則將產(chǎn)生自持振蕩。

系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩的充分必要條件是：

第六十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(4)理想繼電特性(h=0)當(dāng)繼電特性為理想繼電特性時(shí),可以寫(xiě)出繼電型控制系統(tǒng)的分段線性微分方程為：

開(kāi)關(guān)線方程為c=0。第六十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二五.速度反饋對(duì)系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的影響

這時(shí)系統(tǒng)的分段線性微分方程為：

圖中τ<T第六十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二開(kāi)關(guān)線開(kāi)關(guān)線方程為：

兩條開(kāi)關(guān)線將相平面劃分成三個(gè)區(qū)域。在的區(qū)域，相軌跡方程為在的區(qū)域，相軌跡方程為在的區(qū)域,相軌跡方程說(shuō)明相軌跡均為斜率為-1/T的直線，且為平衡段第六十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二開(kāi)關(guān)線未接入速度反饋時(shí)，開(kāi)關(guān)線為通過(guò)±h的兩條與c軸垂直的直線；在接入速度反饋后，這兩條開(kāi)關(guān)線分別繞c軸上的±h點(diǎn)反時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了一個(gè)角度φ=arctgτ。由于開(kāi)關(guān)線反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果，相軌跡將提前進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使得自由運(yùn)動(dòng)的超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，系統(tǒng)的性能將得到改善。開(kāi)關(guān)線在上半平面向左移動(dòng)，在下半平面向右移動(dòng)，將會(huì)使系統(tǒng)性能變好。第六十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二六.繼電系統(tǒng)的滑動(dòng)現(xiàn)象

若速度反饋信號(hào)過(guò)強(qiáng)，使得τ>T時(shí)，系統(tǒng)中會(huì)發(fā)生滑動(dòng)現(xiàn)象。為了說(shuō)明滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)相軌跡的特點(diǎn)，需要研究開(kāi)關(guān)線附近相軌跡的走向。對(duì)于本例，由于兩條開(kāi)關(guān)線附近相軌跡的情況對(duì)稱，這里只討論開(kāi)關(guān)線附近的情況。

定義一個(gè)函數(shù)

開(kāi)關(guān)線第六十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二六.繼電系統(tǒng)的滑動(dòng)現(xiàn)象

若速度反饋信號(hào)過(guò)強(qiáng)，使得τ>T時(shí)，系統(tǒng)中會(huì)發(fā)生滑動(dòng)現(xiàn)象。為了說(shuō)明滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)相軌跡的特點(diǎn)，需要研究開(kāi)關(guān)線附近相軌跡的走向。對(duì)于本例，由于兩條開(kāi)關(guān)線附近相軌跡的情況對(duì)稱，這里只討論開(kāi)關(guān)線附近的情況。

定義一個(gè)函數(shù)

開(kāi)關(guān)線增加方向從圖中可以看出，在開(kāi)關(guān)線的下方，ξ<0，ξ值越大，等ξ線越靠近開(kāi)關(guān)線在某相點(diǎn)處，若dξ/dt>0，說(shuō)明此處的相軌跡將走向開(kāi)關(guān)線，若dξ/dt<0，說(shuō)明此處的相軌跡將離開(kāi)開(kāi)關(guān)線；第七十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二在開(kāi)關(guān)線的上方，ξ>0，在某相點(diǎn)處，若dξ/dt>0，說(shuō)明此處的相軌跡將離開(kāi)開(kāi)關(guān)線，若dξ/dt<0，說(shuō)明此處的相軌跡將走向開(kāi)關(guān)線。通過(guò)研究相軌跡在開(kāi)關(guān)線附近時(shí)，dξ/dt的正負(fù)情況，即可判斷出相軌跡的走向。開(kāi)關(guān)線增加方向第七十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二下面研究相軌跡在開(kāi)關(guān)線

在開(kāi)關(guān)線的上方，相軌跡方程為：

在相軌跡上有：

由于τ>T，故當(dāng)時(shí)，有dξ/dt<0，說(shuō)明在相平面的上半部，相軌跡將走向開(kāi)關(guān)線；而在的區(qū)域，即相平面的下半部，有dξ/dt>0，說(shuō)明相軌跡將離開(kāi)開(kāi)關(guān)線。兩側(cè)相軌跡的走向第七十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二在開(kāi)關(guān)線下方，相軌跡方程

有：

在的區(qū)域，有dξ/dt<0，說(shuō)明相軌跡將離開(kāi)開(kāi)關(guān)線；在區(qū)域，有dξ/dt>0，說(shuō)明相軌跡將走向開(kāi)關(guān)線。第七十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二在開(kāi)關(guān)線的區(qū)域，由于開(kāi)關(guān)線兩側(cè)的相軌跡均走向開(kāi)關(guān)線。因此，一旦相軌跡進(jìn)入開(kāi)關(guān)線，相點(diǎn)只能沿著開(kāi)關(guān)線滑向(-h,0)點(diǎn)；同樣，在開(kāi)關(guān)線的區(qū)域，由于開(kāi)關(guān)線兩側(cè)的相軌跡均走向開(kāi)關(guān)線，因此，一旦相軌跡進(jìn)入開(kāi)關(guān)線，相點(diǎn)只能沿著開(kāi)關(guān)線滑向(h,0)點(diǎn)。

第七十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二七.利用非線性改善系統(tǒng)的性能

1：粗、精調(diào)控制系統(tǒng)對(duì)于線性系統(tǒng)，單純調(diào)節(jié)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)，難以得到理想的響應(yīng)曲線。采用非線性環(huán)節(jié)，在響應(yīng)的初始階段，誤差信號(hào)較大，此時(shí)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)大，利于系統(tǒng)的快速響應(yīng)；當(dāng)輸出信號(hào)接近希望值時(shí)，誤差信號(hào)較小，此時(shí)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)小，有利于減小超調(diào)量，進(jìn)而減小調(diào)節(jié)時(shí)間，得到較為理想的響應(yīng)曲線。

第七十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二下面用相平面法來(lái)分析系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)之間滿足系統(tǒng)的分段線性方程為：第七十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二單位階躍信號(hào)輸入時(shí)，

上述微分方程可寫(xiě)為：

兩條開(kāi)關(guān)線為e=±e0系統(tǒng)的分段線性方程為：在區(qū)域，平衡點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，為虛奇點(diǎn)，由于微分方程的特征根為共軛復(fù)數(shù)，故相軌跡為對(duì)數(shù)螺旋線在區(qū)域，平衡點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，為實(shí)奇點(diǎn)，由于微分方程的特征根為兩個(gè)負(fù)數(shù)，故相軌跡為拋物線。第七十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2：滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制規(guī)律為：

u(t)=r+kc=kc，k可取為2或-3?？刂葡到y(tǒng)的微分方程為：

當(dāng)k=2時(shí)，可得到一個(gè)線性二階系統(tǒng)，其微分方程為：

特征根為-1和+3，平衡點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，為一鞍點(diǎn)2-3第七十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二控制系統(tǒng)的微分方程為：

當(dāng)k=-3時(shí)，可得到另一個(gè)線性二階系統(tǒng)，其微分方程為：

特征根為1±j，平衡點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，為一不穩(wěn)定的焦點(diǎn)2-3第七十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二現(xiàn)假設(shè)開(kāi)關(guān)切換按下式進(jìn)行：

其中開(kāi)關(guān)線為：

第八十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二可以看出，系統(tǒng)的相軌跡在開(kāi)關(guān)線上存在滑動(dòng)，此時(shí)的系統(tǒng)稱為滑模變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。相軌跡一旦進(jìn)入開(kāi)關(guān)線，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能即相當(dāng)于一個(gè)一階系統(tǒng)(此時(shí)微分方程為σ=0)。由于系統(tǒng)的參數(shù)的變化不影響開(kāi)關(guān)線的選擇，故系統(tǒng)具有較高的魯棒性。另外相軌跡滑動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的性能由開(kāi)關(guān)線決定，所以合理地選擇開(kāi)關(guān)線可使系統(tǒng)具有良好的性能。

第八十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3：控制信號(hào)受限制的時(shí)間最優(yōu)控制若系統(tǒng)的微分方程式為：

式中，u是控制信號(hào)，其幅值受到限制，即有：

可以證明，系統(tǒng)的最優(yōu)控制規(guī)律是繼電型的控制，也就是說(shuō)，控制信號(hào)的大小始終是最大值，而信號(hào)的符號(hào)交替地取正或負(fù)，最多有n-1次轉(zhuǎn)換。時(shí)間最優(yōu)控制的提法是：在控制信號(hào)受到限制的條件下，找出系統(tǒng)的控制規(guī)律，使系統(tǒng)的輸出量以最短的時(shí)間從原值變到所要求的給定值。第八十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二當(dāng)輸入是階躍信號(hào)時(shí)其解為：

時(shí)間—最優(yōu)轉(zhuǎn)換元件最優(yōu)控制規(guī)律的函數(shù)f(e)：第八十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二8-4描述函數(shù)

一.描述函數(shù)的一般概念

考慮圖示非線性環(huán)節(jié)N，其輸入為x(t)，輸出為y(t)。若輸入信號(hào)為正弦函數(shù)，即：N一般情況下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出y(t)是與輸入信號(hào)同頻率的非正弦周期函數(shù)，且此周期函數(shù)可以展成傅里葉級(jí)數(shù)：

第八十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二如果非線性特性是奇對(duì)稱的(即非線性特性關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,如死區(qū)特性、飽和特性等)，則A0=0，說(shuō)明輸出信號(hào)中不含有直流分量，此時(shí)若只考慮輸出信號(hào)中的一次諧波分量，而把高次諧波分量忽略，即近似認(rèn)為：非線性特性的描述函數(shù)就是當(dāng)輸入是正弦信號(hào)Xsinωt時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出的一次諧波分量對(duì)輸入正弦量的復(fù)數(shù)比，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

第八十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二若非線性的特性是單值奇對(duì)稱的，那么y(t)是奇函數(shù)，則A1=0，ψ1=0，N(X)=B1/X，即描述函數(shù)N(X)是輸入信號(hào)幅值X的實(shí)函數(shù)。

第八十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二.典型非線性特性的描述函數(shù)

1：死區(qū)特性的描述函數(shù)

在信號(hào)x(t)=Xsinωt作用下輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中Δ為死區(qū)范圍，K為線性部分的斜率。由于死區(qū)特性是單值奇對(duì)稱的，所以A1=0，ψ1=0。B1可按下式計(jì)算：

Δπ2π2π第八十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二式中Δ為死區(qū)范圍，K為線性部分的斜率。由于死區(qū)特性是單值奇對(duì)稱的，所以A1=0，ψ1=0。B1可按下式計(jì)算：

第八十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二于是可得死區(qū)特性的描述函數(shù)為：

第八十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二由于飽和特性是單值奇對(duì)稱的，所以A1=0，ψ1=0。B1可按下式計(jì)算：

π2π2ππ2：飽和特性的描述函數(shù)

飽和特性在正弦信號(hào)x(t)=Xsinωt作用下輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第九十頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二飽和特性的描述函數(shù)為：

第九十一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3：間隙特性的描述函數(shù)間隙特性在正弦信號(hào)x(t)=Xsinωt作用輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

2π2πK由于間隙特性為多值函數(shù)，所以A1、B1都需要計(jì)算：第九十二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二間隙特性在正弦信號(hào)x(t)=Xsinωt作用輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

由于間隙特性為多值函數(shù)，所以A1、B1都需要計(jì)算：第九十三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二于是可得間隙特性的描述函數(shù)為：

第九十四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二4：繼電特性的描述函數(shù)繼電特性在正弦信號(hào)x(t)=Xsinωt作用下輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

2π第九十五頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二于是可得繼電特性的描述函數(shù)為：第九十六頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二令m=1,得三位置理想繼電特性的描述函數(shù)：

令m=-1,得具有滯環(huán)的兩位置繼電特性的描述函數(shù)：

下表列出了一些常見(jiàn)非線性特性的描述函數(shù)，以供查用。令h=0,得兩位置理想繼電特性的描述函數(shù)：

于是可得繼電特性的描述函數(shù)為：第九十七頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第九十八頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第九十九頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第一百頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二5：組合非線性特性的描述函數(shù)

(1)：非線性特性的并聯(lián)計(jì)算N1(X)N2(X)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總輸出為兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)的輸出之和，即：

若將y(t)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，則y(t)的一次諧波分量應(yīng)為y1(t)和y2(t)的一次諧波分量之和，按照描述函數(shù)的定義，總的描述函數(shù)應(yīng)為：

第一百零一頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)：非線性特性的串聯(lián)計(jì)算當(dāng)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其總的描述函數(shù)不等于兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積，而是需要通過(guò)折算，先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)的等效非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求總的描述函數(shù)。一般說(shuō)來(lái)，兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的前后次序不同，其等效的非線性特性不同，總的描述函數(shù)也不一樣，這是與線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的區(qū)別。

第一百零二頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二8-5用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)

一.系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)及基本條件

設(shè)非線性系統(tǒng)經(jīng)過(guò)等效變換，可表示為線性部分G與非線性部分N相串聯(lián)的典型結(jié)構(gòu)，如圖所示。

對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析，首先考慮和關(guān)心的是穩(wěn)定性和自持振蕩。NG描述函數(shù)法對(duì)系統(tǒng)的基本假設(shè)是：1：非線性系統(tǒng)可歸納為圖示的典型結(jié)構(gòu)。2：非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出中，高次諧波幅值小于一次諧波幅值，且非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是奇對(duì)稱的，以保證非線性環(huán)節(jié)的輸出中不包含直流分量。3：系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。

第一百零三頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

假設(shè)非線性部分和線性部分滿足描述函數(shù)法對(duì)系統(tǒng)的要求，則非線性部分的特性可用描述函數(shù)表示，線性部分的特性可用頻率特性表示，于是非線性系統(tǒng)可看作一個(gè)等效的線性系統(tǒng)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

若假設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為正弦信號(hào)Xsinωt，其幅值X和頻率ω滿足上式，由于在系統(tǒng)的輸出端出現(xiàn)的正弦信號(hào)為-Xsinωt，系統(tǒng)中出現(xiàn)了等幅振蕩，系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩的條件：NG第一百零四頁(yè)，共一百一十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二非線性系統(tǒng)中的負(fù)倒描述函數(shù)相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的-1。在復(fù)平面上，非線性系統(tǒng)中的負(fù)倒描述函數(shù)曲線相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的(-1,j0)點(diǎn)。據(jù)此，可以把線性系統(tǒng)中的乃氏判判據(jù)推廣到非線性系統(tǒng)中去。若G(S)的極點(diǎn)均在左半S平面，則推廣的乃氏判據(jù)可敘述如下：若G(jω)曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若G(