空間向量的標準正交分解與坐標表示、空間向量基本定課件

第二章§33.1&3.2理解教材新知把握熱點考向應(yīng)用創(chuàng)新演練知識點一知識點二考點一考點二考點三3．1&3.2空間向量的標準正交分解與坐標表示

空間向量基本定理學(xué)生小李參加某大學(xué)自主招生考試，在一樓咨詢處小李得知：面試地點由此向東10米，后向南15米，然后乘5號電梯到位于6樓的2號學(xué)術(shù)報告廳參加面試．設(shè)e1是向東的單位向量，e2是向南的單位向量，e3是向上的單位向量．問題1：e1，e2，e3有什么關(guān)系？提示：兩兩垂直．問題2：假定每層樓高為3米，請把面試地點用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.標準正交基與向量坐標(1)標準正交基：在給定的空間直角坐標系中，x軸，y軸，z軸正方向的

i，j，k叫做標準正交基．

(2)標準正交分解：設(shè)i，j，k為標準正交基，對空間任意向量a，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)，使得a＝

，叫做a的標準正交分解．單位向量xi＋yj＋zk(3)向量的坐標表示：在a的標準正交分解中三元有序?qū)崝?shù)

叫做空間向量a的坐標，a＝

叫作向量a的坐標表示．

(4)向量坐標與投影：①i，j，k為標準正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么：a·i＝

，a·j＝

，a·k＝

.把x，y，z分別稱為向量a在x軸，y軸，z軸正方向上的投影．②向量的坐標等于它在

上的投影．③一般地，若b0為b的單位向量，則稱a·b0＝為向量a在向量b上的投影.(x，y，z)坐標軸正方向xyz(x，y，z)|a|cos〈a，b〉空間中任給三個向量a，b，c.問題1：什么情況下，向量a，b，c可以作為一個基底？提示：它們不共面時．問題2：若a，b，c是基底，則空間任一向量v都可以由a，b，c表示嗎？提示：可以．如果向量e1、e2、e3是空間三個

的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)λ1、λ2、λ3使得a＝

.其中e1、e2、e3叫作這個空間的一個

．

表示向量a關(guān)于基底e1，e2，e3的分解．不共面基底λ1e1＋λ2e2＋λ3e3a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3空間向量基本定理表明，用空間三個不共面的已知向量a，b，c可以表示出空間任一向量；空間中的基底是不唯一的，空間任意三個不共面的向量均可作為空間向量的基底．[一點通]

(1)建立恰當?shù)目臻g直角坐標系是準確表達空間向量坐標的前提，應(yīng)充分利用已知圖形的特點，尋找三條兩兩垂直的直線，并分別為x，y，z軸進行建系．(2)若表示向量的坐標，只要寫出向量關(guān)于i，j，k的標準正交分解式，即可得坐標．答案：A[一點通]

(1)空間向量基本定理是指用空間三個不共面的已知向量a、b、c構(gòu)成的向量組{a，b，c}可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．(2)利用空間的一個基底a，b，c可以表示出所有向量，注意結(jié)合圖形，靈活應(yīng)用三角形法則，平行四邊形法則，及向量的數(shù)乘運算，表示要徹底，結(jié)果只含有a、b、c，不能再有其他向量．6．設(shè)p：a、b、c是三個非零向量；q：a，b，c為空間的一個基底，則p是q的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件解析：若a，b，c為非零向量，當a，b，c共面時，a，b，c不能作為空間的一個基底；若a，b，c為空間的一個基底，則a，b，c不共面，a，b，c三個向量均不能為零向量，故選B.答案：B8．若a，b，c是空間的一個基底．試判斷a＋b，b＋c，c＋a

能否作為該空間的一個基底．1．空間任一點P的坐標的確定：過P作面xOy的垂線，垂足為P′.在平面xOy中，過P′分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、C，則|x|＝|P′C|，|y|＝|AP′|，|z|＝|PP′|.

2．空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底，基底中的三個向量e1，e2，e3都不是0.3．空間中任一向量可用空間中不共面的三個向量來唯一表示．4．點A(a，b，c)關(guān)于x軸、y軸、z軸對稱點的坐標分別為(a，－b，－c)