質點動力學的基本方程

質點動力學的基本方程第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

本章重點、難點

⒈重點建立質點運動微分方程。質點動力學第二類基本問題的解法。

⒉難點對質點運動微分方程進行變量變換后再積分的方法。

本章重點、難點

⒈重點建立質點運動微分方程。質點動力學第二類基本問題的解法。

⒉難點對質點運動微分方程進行變量變換后再積分的方法。

本章重點、難點

⒈重點建立質點運動微分方程。質點動力學第二類基本問題的解法。

⒉難點對質點運動微分方程進行變量變換后再積分的方法。

第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

如果說，力的作用是改變物體機械運動的原因，那么，動力學就是從因果關系上論述物體的機械運動。機械運動變化是力對物體作用的結果。動力學是什么?動力學研究物體的機械運動與作用力之間的關系。在靜力學、運動學兩篇中曾討論過：當作用于物體上的力系滿足一定條件時，物體處于平衡狀態(tài)，力系的簡化與合成、力系的平衡條件研究是靜力學的兩個基本任務；不考慮運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因，只從幾何的觀點來論述物體的機械運動，是運動學的任務。

從這種意義上說，動力學是理論力學中最具普遍意義的部分，靜力學、運動學則是動力學的特殊情況。

動力學的研究對象：低速、宏觀物體的機械運動的普遍規(guī)律。第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一動力學基本概念1)質點：大小和形狀可以忽略不計且具有質量的物體；3)自由質點系：無約束限制的質點系；4)非自由質點系：有約束限制的質點系；慣性：任何物體在不受外力作用時都有保持其運動狀態(tài)不變的屬性；6)慣性運動：物體的勻速直線運動。2)質點系：相互聯(lián)系并組成一個運動整體的一群質點總稱；第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一§10-1動力學的基本定律第一定律（慣性定律）不受力作用的質點，將保持靜止或作勻速直線運動。第二定律（力與加速度之間的關系的定律）ma

=F

質點的質量與加速度的乘積，等于作用于質點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。第三定律（作用與反作用定律）

兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時分別作用在這兩個物體上。第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一牛頓及其在力學發(fā)展中的貢獻

牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個中等農戶家中。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。

1661年牛頓進入了劍橋大學的三一學院，1665年獲文學學士學位。在大學期間他全面掌握了當時的數學和光學。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學校暫時停辦，他回到老家。這段時間中他發(fā)現(xiàn)了二項式定律，開始了光學中的顏色實驗，即白光由7種色光構成的實驗，而且由于一次躺在樹下看到蘋果落地開始思索地心引力問題。在30歲時，牛頓被選為皇家學會的會員，這是當時英國最高科學榮譽。第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

牛頓及其在力學發(fā)展中的貢獻★牛頓在光學上的主要貢獻是發(fā)現(xiàn)了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說?！锱ｎD在數學上的主要貢獻是與萊布尼茲各自獨立地發(fā)明了微積分，給出了二項式定理。★牛頓在力學上最重要的貢獻，也是牛頓對整個自然科學的最重要貢獻是他的巨著《自然哲學的數學原理》。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結了前人對動力學的研究成果，后人將這本書所總結的經典力學系統(tǒng)稱為牛頓力學。第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一牛頓牛頓(S.I.Newton1662—1727)是偉大的英國科學家。牛頓定律是他在開普勒、伽利略等人所做工作的基礎上，于1687年在其名著《自然哲學的數學原理》中提出的。第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一§10-2質點的運動微分方程根據牛頓第二定律，若質點M的質量為m，受n個力F1,F2,….,Fn作用，根據質點的加速度的表示形式，則xozyrFR

Mijk若F1Fn矢量形式的質點運動微分方程。（10－3）FiaFRFRFRaaa或則有矢量形式的質點運動微分方程。矢量形式的質點運動微分方程。矢量形式的質點運動微分方程。

M

M

M第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一1.質點運動微分方程在直角坐標軸上的投影在直角坐標系Oxyz中，有則：直角坐標形式的質點運動微分方程。xozyrijkFi

MaF1Fn將式向坐標軸投影，得（11－4）直角坐標形式的質點運動微分方程。直角坐標形式的質點運動微分方程。直角坐標形式的質點運動微分方程。第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一2.質點運動微分方程在自然軸上的投影自然軸系的質點運動微分方程。則在質點M的運動軌跡上建立自然軸系Mbn，

根據點的運動學知，質點的加速度在運動軌跡的密切面內，即bnaFτ所以作用在該質點上力系的合力也應該在此密切面內，(＋)(－)m（10－5）式中，

Fi，F(xiàn)ni和Fbi分別是作用于質點的各力在切線、主法線和副法線上的投影。自然軸系的質點運動微分方程。自然軸系的質點運動微分方程。自然軸系的質點運動微分方程。bnaFτmbnaFτmbnaFτm第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一§10-3質點動力學的兩類基本問題一、質點動力學的第一類基本問題已知質點的運動，求此質點所受的力。

如果知道質點的運動規(guī)律，通過導數運算，求出該質點的速度和加速度，代入質點的運動微分方程，得一代數方程組，即可求解。二、質點動力學的第二類基本問題已知作用在質點上的力，求解此質點的運動。

求解質點動力學的第二類基本問題，如求質點的速度、運動方程等，歸結為解微分方程或求積分問題，還需確定相應的積分常數。因此，需按作用力的函數規(guī)律進行積分，并根據具體問題的運動條件確定積分常數。在實際問題中，只有在一些比較特殊的情況下，能解出微分方程，獲得解析解；更多情況下，往往只能通過逐步逼近或數值計算的方法，獲得近似解或數值解。第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一yxoryx解：㈠求質點的軌跡方程：即質點的軌跡是橢圓。例10-1質點M的質量為m，運動方程是x=bcosωt,

y=dsinωt，其中b,d,ω為常量。求作用在此質點上的力。

從運動方程中消去t，得ij㈡求質點的加速度㈢求質點所受的力由得rrrXYM第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一所以，質點所受的力可表示為⑴力的方向永遠指向橢圓中心，為有心力；⑵力的大小與此質點至橢圓中心的距離成正比。易知：yxorMyxij已求得XYFymmaYxmmaXyx22ww-==-==jiFYX+=)(2jiyxm+-=wr2wm-=第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一例題10-2曲柄連桿機構如圖所示.曲柄OA以勻角速度w轉動,OA=AB=r?；瑝KB的運動方程為x=2rcos。如滑塊B的質量為m,摩擦及連桿AB的質量不計。求當=t=0時連桿AB所受的力。OABB解:取滑塊B為研究對象

由于桿的質量不計,AB為二力桿且受平衡力系作用。NmgFx=2rcos=tax=-2r2cosmax=-FcosF=-2mr2第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一例題10-3質量為1kg的重物M,系于長度l=0.3m的線上,線的另一端固定于天花板上的O點,重物在水平面內作勻速圓周運動而使懸線成為一圓錐面的母線,且懸線與鉛垂線間的夾角恒為60,試求重物運動的速度和線上的張力。60MrvFTmg解：取重物M為研究對象，選用自然坐標軸投影形式。第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一例10-4已知桁車吊的重物重為G，以勻速度v0前進，繩長為l。求突然剎車時，繩子所受的最大拉力。φvv0解：研究重物，桁車突然剎車后，重物做圓弧擺動。當其擺至φ角處，受力如圖。TGτ由自然軸系的質點運動微分方程，有(a)(b)可知，拉力T與重物的速度v、擺角φ有關，v0v0v0φφφTGTGTGτττnnnnvvv對(a)式進行分離變量并積分：第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一得：(c)v0TGτnv和已推得(b)將(c)式代入(b)式，得當φ=0時，l第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一例10-5炮彈射出，直角坐標運動方程為求：t=0時炮彈的切向加速度和法向加速度，以及這時軌跡的曲率半徑。第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一當t=0時第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一將加速度在切線和法線方向分解有當t=0時，v=v0，由上式得由得第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一FNa習題

已知：P，

。求fmin。解:（1）

取物塊為研究對象PFa

（2）

研究對象受力分析

（3）

研究對象運動分析

（4）

列方程求解求知量yx第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一例10－7

已知：P,l,v0.求Fmax.。O1Ov0v解:取物塊為研究對象FP動荷系數第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一n習題粉碎機滾筒半徑為R，繞通過中心的水平軸勻速轉動，筒內鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應在θ=θ0時才掉下來。求滾筒每分鐘的轉數n。nnn第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一vvvv質點在未離開筒壁前的速度等于筒壁的速度，即nFSmgFN解：研究對象：運動分析：鐵球（視為質點），受力分析：質點在上升過程中受力有重力mg、由有筒壁的法向反力FN、筒壁的切向反力FS。

鐵球在滾筒的帶動下沿圓弧向上運動，當運動到一定高度時，將脫離筒壁沿拋物線下落；解得nFSmgFNnFSmgFNnFSmgFN第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一已求得滾筒轉速為當θ=θ0

時，鐵球將落下，此時

FN

=0，得FSmgFNFN=0θFNFNFNθθ討論⑴若n

＜n0，則θ＞θ0，⑵若n

＞n0，則θ＜θ0，⑷對離心澆鑄，則要求n>ncr。即鐵球在低處落下；

即鐵球在高處落下；⑶若時，θ=0

，則鐵球不再脫離筒壁落下。第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一習題在均勻的靜止液體中，質量為m的物體M從液面處無初速下沉，如圖所示。設液體阻力R=－μv,其中μ為阻尼系數，忽略液體對小球的浮力。試分析該物體的運動規(guī)律及其特征。見續(xù)后第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一解：取物體M為研究對象；物體在運動中受力有：建立坐標系如圖。由重力mg、阻力R；OyxmgＲmgＲmgＲmgＲ有令vvvvv0=

0上式的不定積分為可得所以v0=

0v0=

0已知m，v0=0