數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第20章-曲線積分

§1

第一型曲線積分

本節(jié)將研究定義在平面或空間曲線段上的第一型曲線積分.此類積分的典型物理背景是求非均勻分布的曲線狀物體的質(zhì)量.二．第一型曲線積分的計算一．第一型曲線積分的定義一．第一型曲線積分的定義

上的連續(xù)函

是定義在設(shè)某物體的密度函數(shù)數(shù)當(dāng)是直線段時,應(yīng)用定積分就能計算得該物體

的質(zhì)量.現(xiàn)在研究當(dāng)是平面或空間中某一可求長度的曲線段時物體的質(zhì)量的計算問題.(2)近似求和：在每一個

上任取一點由于

(1)分割：把分成

個可求長度的小曲線段

上的連續(xù)函數(shù),

故當(dāng)?shù)幕￠L都很小時,

每一小段的質(zhì)量可近似地等于其中

為小曲線段

的長度.于是在整個上的質(zhì)量就近似地等于和式(3)當(dāng)對的分割越來越細(xì)密(即)

時,上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量.由上面看到,求物質(zhì)曲線段的質(zhì)量,與求直線段的質(zhì)量一樣,也是通過“分割、近似求和、取極限”來得到的.下面給出這類積分的定義.個可求長度的小曲線段的弧長,它把定義在上的函數(shù).

對曲線

做分割分成記為分割的細(xì)度為在上任取一點

若有極限為平面上可求長度的曲線段,定義1設(shè)為且的值與分割的取法無關(guān),

則稱此極限為上的第一型曲線積分,

記作為空間可求長曲線段,

若為定義在上

的函數(shù),

則可類似地定義在空間曲線上

的第一型曲線積分,并且記作于是前面講到的質(zhì)量分布在曲線段上的物體的質(zhì)

量可由第一型曲線積分(1)或(2)求得.1.若在為

常數(shù),

則也存在,且2.若曲線段由曲線

首尾相接而成,

都存在,則

也存在,且3．

都存在,且在

則4．也存在,

且5．存在,的弧長為則存在常數(shù)

使得6.第一型曲線積分的幾何意義為L若為坐標(biāo)平面

上的分段光滑曲線,上定義的連續(xù)非負(fù)函數(shù).由第一型曲線的定義,易見以

為準(zhǔn)線,母線平行于

軸的柱面上截取

的部分的面積就是二．第一型曲線積分的計算定理20.1

設(shè)有光滑曲線

為定義在

上的連續(xù)函數(shù),則證由弧長公式知道,

上由

的弧長的連續(xù)性與積分中值定理,有所以這里則有令現(xiàn)在證明

因為復(fù)合函數(shù)連續(xù),所以在閉區(qū)

間

上有界,即存在常數(shù)使對一切

都有再由

上連續(xù),所以它在上一致連續(xù),即對任給的使當(dāng)時,從而所以因此當(dāng)在(4)式兩邊取極限后,即得所要證的(3)式.

上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時,(3)式成為再由定積分定義

當(dāng)曲線

由方程表示,且在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時,(3)式成為例1

設(shè)

是半圓周試計算第一型曲線積分解當(dāng)曲線L由方程表示,且在例2

一段(圖20-2),試計算第一型曲線積分解

由參

仿照定理20.1,對于空間曲線積分(2),當(dāng)曲線量方程

表示時,其計算公式為:例3計算其中為球面被平面所截得的圓周.解由對稱性知所以*例4計算

其中

為內(nèi)擺線解由對稱性知其中*例5求圓柱面

被柱面

所包

而內(nèi)擺線的參數(shù)方程為因此圍部分的面積A.

解由圖可見,陰影部分為被圍柱面在第一卦限的部分,它面積設(shè)在坐標(biāo)平面上的圓在第一象限的曲線記為,則被圍柱面在第一卦限部分正是以曲線L為準(zhǔn)線母線平行于z積分的幾何意義可知它的面積為的那部分柱面.由第一型曲面軸的L的參數(shù)方程為:因此,定義,線密度為的曲線狀物體對于x,y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為注由第一型曲線積分的例6求線密度為

的曲線段對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量.解

和復(fù)習(xí)思考題1.若

在光滑曲線上連續(xù),是否一定存在

使得其中s是曲線L的弧長.2.設(shè)在光滑曲線L上連續(xù),L滿足條件:若滿足條件:

是否有若滿足條件:

是否有其中3.證明以下第一型曲面的輪換對稱性:設(shè)在光滑曲線L上連續(xù),L滿足條件:

若

滿足條件:

則

§2第二型曲線積分

第二型曲線積分與第一型曲線積分不同的是在有方向的曲線上定義的積分,這是由于第二型曲線積分的物理背景是求變力沿曲線作的功,而這類問題顯然與曲線的方向有關(guān).三、兩類曲線積分的聯(lián)系一、第二型曲線積分的定義二、第二型曲線積分的計算返回一．第二型曲線積分的定義在物理中還遇到過另一種類型的曲線積分問題.例如一質(zhì)點受力的作用沿平面曲線

從點A移動到點

B,

求力

所作的功,見圖20-2.為此在曲線

內(nèi)插入

個分點

一起把有向曲線

分成n個有向小曲線段

若記小曲線設(shè)力在軸方向的投影分別為那么的弧長為

則分割的細(xì)度為段又設(shè)小曲線段

在

軸上的投影分別為

分別為點

的坐標(biāo).記于是力

在小曲線段

上所作的功其中

為小曲線段

上任一點.

因而力

沿曲線

所作的功近似地等于

其中

當(dāng)細(xì)度

時,

上式右邊和式的極限就應(yīng)該是

所求的功.這種類型的和式極限就是下面所要討論的第二型曲線積分.定義1

設(shè)函數(shù)定義在平面有向可

求長度曲線

上.

對

的任一分割

它把

分

成n個小曲線段其中

記個小曲線段

的弧長

為分割的細(xì)度

又設(shè)

的分點

在每個小曲線段

上任取一點

若極限存在且與分割T與點

的取法無關(guān),

則稱此極限為函數(shù)

沿有向曲線L上的第二型

的坐標(biāo)為并記曲線積分,記為或上述積分(1)也可寫作或為書寫簡潔起見,(1)式常簡寫成

或式可寫成向量形式若L為封閉的有向曲線,則記為

若記

則(1)

或于是,力沿有向曲線

對質(zhì)點所作的功為若L為空間有向可求長曲線,為定義在L上的函數(shù),則可按上述辦法類

似地定義沿空間有向曲線L上的第二型曲線積分,并記為或簡寫成當(dāng)把看作三維向量時,(4)式也可表示成(3)式的向量形式.第二型曲線積分與曲線L的方向有關(guān).對同一曲線,當(dāng)方向由A到B改為由B到A時,每一小曲線段的方向改變,

從而所得的也隨之改變符號,

故

有

而第一型曲線積分的被積表達式只是函數(shù)與

弧長的乘積,它與曲線L的方向無關(guān).這是兩種類型曲線積分的一個重要區(qū)別.

類似與第一型曲線積分,第二型曲線積分也有如下一些主要性質(zhì):

1．

也存在,且2.

若有向曲線

由有向曲線

首尾銜接而成,都存在,則

也存在,且二．第二型曲線積分的計算第二型曲線積分也可化為定積分來計算.

設(shè)平面曲線

其中

上具有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),

且

點

的坐標(biāo)分別為又設(shè)上的連續(xù)函數(shù),

則沿L

的第二型曲線積分讀者可仿照§1中定理20.1的方法分別證明由此便可得公式(6).對于沿封閉曲線L的第二型曲線積分(2)的計算,可

在L上任意選取一點作為起點,沿L所指定的方向前進,最后回到這一點.

例1

計算其中L分別沿圖20-3中的路線:(i)直線段(ii)(iii)(三角形周界).解

(i)直線

的參數(shù)方程為故由公式(6)可得(ii)曲線

為拋物線

(iii)這里L(fēng)是一條封閉曲線,故可從A開始,應(yīng)用上段加即可得到所求之曲線積分.由于沿直線的線積分為所以的性質(zhì)2,分別求沿上的線積分然后相沿直線的線積分為所以沿直線的線積分可由(i)及公式(5)得到:

例2

計算

這里L(fēng)為:(i)沿拋物線

的一段(圖20-4);

(ii)沿直線(iii)沿封閉曲線解

(i)(ii)(iii)在OA一段上,

一段上,一段上與(ii)一樣是的一段.所以(見(ii))沿空間有向曲線的第二型曲線積分的計算公式也與

(6)式相仿.設(shè)空間有向光滑曲線L的參量方程為因此起點為

終點為則這里要注意曲線方向與積分上下限的確定應(yīng)該一致.L是螺旋線:例3

計算第二型曲線積分上的一段(參見圖20－5).解由公式(7),例4

求在力作用下,(i)質(zhì)點由

沿螺旋線所作的功(圖20-5),其中

(ii)質(zhì)點由A沿直線所作的功.解如本節(jié)開頭所述,在空間曲線L上力F所作的功為(i)由于(ii)的參量方程由于所以例5設(shè)L為球面和平面的交線,若面對x軸正向看去,L是沿逆時針方向的,求(i)(ii)(i)由對稱性，解

L的參數(shù)方程為因此，(ii)由對稱性，*例6

設(shè)G是R2中的有界閉域，

是

上的連續(xù)

可微函數(shù),是在G上的連續(xù)函數(shù).則對任意,存在

對于任意分割只要

必有

其中

為端點的折線.證由的有界性,存在使得令

由P,Q在G的一致連續(xù)性,存在

使得就有由在上的一致連續(xù)性,存在

使得就有.任意分割,滿足令

設(shè)

為連接與

的線段,其斜率為設(shè)的方程為則于是

設(shè)在到的那段曲線為

則

因此注例6告訴我們曲線上的積分可用折線上的積分來逼近.*三.兩類曲線積分的聯(lián)系在規(guī)定了曲線方向之后,可以建立它們之間的聯(lián)系.的有向光滑曲線,它以弧長s為參數(shù),雖然第一型曲線積分與第二型曲線積分來自不同的物理原型,且有著不同的特性,但在一定條件下,如于是其中l(wèi)為曲線L的全長,且點

的坐標(biāo)分別為

曲線L上每一點的切線方

向指向弧長增加的一方.現(xiàn)以分別表示

切線方向

軸正向的夾角,則在曲線上的

每一點的切線方向余弦是上的連續(xù)函數(shù),則由(6)

式得最后一個等式是根據(jù)第一型曲線積分化為定積分的公式.注當(dāng)(9)式左邊第二型曲線積分中L改變方向時,積

分值改變符號,相應(yīng)在(9)式右邊第一型曲線積分中,

曲線上各點的切線方向指向相反