江蘇南京、鹽城2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析

鹽城市、南京市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測試高三數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分條件與必要條件的證明即可得出答案.【詳解】如果數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項的擴(kuò)展可得一定有，反之成立，不一定有數(shù)列是等差數(shù)列，故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點組成圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷在復(fù)平面對應(yīng)的點是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點，進(jìn)而求出其面積.【詳解】在復(fù)平面對應(yīng)的點是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點，，故選：D.3.已知集合.若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對參數(shù)進(jìn)行分類討論，求出集合的解集即可求解.【詳解】若，則，故；若，滿足條件；若，則，滿足條件.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是：.故選：D.4.把5個相同的小球分給3個小朋友，使每個小朋友都能分到小球的分法有（）A.4種 B.6種 C.21種 D.35種【答案】B【解析】【分析】元素相同問題用隔板法.【詳解】利用隔板法：由題可知使每個小朋友都能分到小球的分法有種.故選：.5.某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線兩漸近線所成的角可求離心率的大小，聯(lián)想到反比例函數(shù)的圖象也是雙曲線，據(jù)此可進(jìn)一步推斷雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.5【答案】A【解析】【分析】由雙曲線漸近線垂直得其為等軸雙曲線，從而可得離心率．【詳解】雙曲線兩漸近線垂直，故為等軸雙曲線，離心率為，故選：.6.中，為邊上的高且，動點滿足，則點的軌跡一定過的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，以為原點，、方向為、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知得出點的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)列式得出點的軌跡方程為，即可根據(jù)三角形四心的性質(zhì)得出答案.【詳解】設(shè)，，以為原點，、方向為、軸正方向如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則，，，，則，設(shè)，則，，，即，即點軌跡方程為，而直線平分線段，即點的軌跡為線段的垂直平分線，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得點的軌跡一定過的外心，故選：A.7.若函數(shù)滿足對一切實數(shù)恒成立，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析出關(guān)于點對稱，進(jìn)而求出不等式的解集.【詳解】由，對上式求導(dǎo)可得，即，所以關(guān)于對稱，因為，所以圖像的開口向上，對稱軸為，由，得，解得.故選：C.8.四邊形ABCD是矩形，，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形AEFD繞旋轉(zhuǎn)至與四邊形重合，則直線所成角在旋轉(zhuǎn)過程中（）A.逐步變大 B.逐步變小C.先變小后變大 D.先變大后變小【答案】D【解析】【分析】根據(jù)初始時刻ED與BF所成角可判斷BC，由題可知在平面內(nèi)的投影一直落在直線上，進(jìn)而某一時刻，可得與所成角為，可判斷AD.【詳解】由題可知初始時刻與所成角為0，故錯誤，在四邊形AEFD繞旋轉(zhuǎn)過程中，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故在平面內(nèi)的投影一直落在直線上，所以一定存在某一時刻，而平面，，又平面，所以平面，此時與所成角為，然后開始變小，故直線所成角在旋轉(zhuǎn)過程中先變大后變小，故選項A錯誤，選項D正確.故選：D.二?多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.若，則下列說法正確的有（）A.B.C.不隨的變化而變化D.隨的變化而變化【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)對選項一一驗證即可.【詳解】對于A、B：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得出與，故A正確，B錯誤；對于C、D：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得出與都不隨的變化而變化，表示的概率為定值，故C正確，D錯誤；綜上：選項A、C正確，故選：AC.10.已知函數(shù).若，分別為的極大值與極小值，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由輔助角公式得出，即可根據(jù)已知得出，，、，則，設(shè)，則，，再根據(jù)誘導(dǎo)公式對選項一一驗證.【詳解】根據(jù)輔助角公式可得：，其中，，，分別為的極大值與極小值，，，、，則，、，，設(shè)，則，，則，，故A錯誤，B正確；，故C正確；，故D正確；故選：BCD.11.已知直線的方程為為原點，則（）A.若，則點一定不在直線上B.若點在直線上，則C.直線上存在定點D.存在無數(shù)個點總不在直線上【答案】BD【解析】【分析】利用點到直線距離公式進(jìn)行判斷.【詳解】到直線的距離為，所以與圓相切，因此選項A錯誤，B正確，D正確；由可得，，若直線存在定點，則，這樣的不存在，因此直線上不存在定點，選項C錯誤.故選：BD.12.如圖，圓柱的底面半徑為1，高為2，矩形是其軸截面，過點A的平面與圓柱底面所成的銳二面角為，平面截圓柱側(cè)面所得的曲線為橢圓，截母線得點，則（）A.橢圓的短軸長為2B.的最大值為2C.橢圓的離心率的最大值為D.【答案】ACD【解析】【分析】短軸長為底面圓直徑，可以判斷A選項；的最大值為，可以判斷B選項；長軸長最長為時，可以判斷C選項；利用幾何關(guān)系判斷D選項；【詳解】橢圓在底面上的投影為底面圓，所以短軸長為底面圓直徑，即為2，故A正確；當(dāng)平面過AC時，的最大值為，故B錯誤；橢圓短軸長為定值2，所以長軸長最長為時，離心率最大為，故C正確；過作橢圓所在平面和底面的交線垂線，垂足為，連接AE，設(shè)則，由題意可得，由余弦定理可得，由，則，由題意可得，所以，故D正確.故選:ACD.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.展開式中的系數(shù)為__________.【答案】80【解析】【分析】根據(jù)展開式通項公式進(jìn)行求解.【詳解】因為展開式通項公式為：所以的系數(shù)為.故答案為：80.14.設(shè)函數(shù)，則使在上為增函數(shù)的的值可以為__________.（寫出一個即可）.【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)在，上單調(diào)遞增，使在上為增函數(shù)，令，，解得，則取0，此時函數(shù)的單調(diào)遞增為，則，即可列式得出，即可得出答案.【詳解】，令，，解得，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，令，，解得，，則取0，此時函數(shù)的單調(diào)遞增為，則，則，解得，則使在上為增函數(shù)的的值的范圍為，故答案為：（答案不唯一，滿足即可）15.在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量的取值集合均為，則的散度.若，的概率分布如下表所示，其中，則的取值范圍是__________.0101【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知公式得出，根據(jù)二次函數(shù)最值與不等式性質(zhì)得出，即可根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出，即可得出答案.【詳解】根據(jù)已知公式，得，，令，開口向下，對稱軸為，在上，，則，則，故答案為：16.已知數(shù)列滿足其中，是公比為的等比數(shù)列，則__________（用表示）；若，則__________.【答案】①.②.1024【解析】【分析】根據(jù)已知得出，則，即可得出，根據(jù)已知得出，可得到，根據(jù)已知得出，結(jié)合條件即得.【詳解】時，，即，，則，是公比為的等比數(shù)列，，即；，中的項同號，時，，，則中的項都為正，即，，，，，，，，，，即，，，解得，.故答案為：；1024.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列滿足.（1）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，可知該數(shù)列不是等比數(shù)列，利用遞推關(guān)系即可求出；（2）利用裂項相消法即可求和.【小問1詳解】，故數(shù)列不是等比數(shù)列.∵，∴同理，迭代得，即所以.【小問2詳解】，所以.18.在中，，，為內(nèi)的一點，滿足，.（1）若，求的面積；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再在中求出，利用正弦定理求出，最后由面積公式計算可得；（2）中利用余弦定理求出，令，則，表示出，，再由正弦定理求出，即可得解.【小問1詳解】解：在中，因為，且，所以.由，可得.又，則.在中，因為，，所以，則，解得，從而.【小問2詳解】解：在中，由，解得或（舍去）.令，則在中.在中，，所以，則，即，得.因為，所以，從而.19.為深入貫徹黨的教?方針，全面落實《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校從2022年起積極推進(jìn)勞動課程改革，先后開發(fā)開設(shè)了具有地方特色的家政?烹飪?手工?園藝?非物質(zhì)文化遺產(chǎn)等勞動實踐類校本課程.為調(diào)研學(xué)生對新開設(shè)勞動課程的滿意度并不斷改進(jìn)勞動教育，該校從2022年1月到10月每兩個月從全校3000名學(xué)生中隨機抽取150名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月份246810滿意人數(shù)8095100105120（1）由表中看出，可用線性回歸模型擬合滿意人數(shù)與月份之間的關(guān)系，求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測12月份該校全體學(xué)生中對勞動課程的滿意人數(shù)；（2）10月份時，該校為進(jìn)一步深化勞動教育改革，了解不同性別的學(xué)生對勞動課程是否滿意，經(jīng)調(diào)研得如下統(tǒng)計表：滿意不滿意合計男生651075女生552075合計12030150請根據(jù)上表判斷是否有的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對勞動課程是否滿意有關(guān)？參考公式：.，其中.【答案】（1），2540（2）有把握【解析】【分析】（1）根據(jù)線性回歸方程公式求出，進(jìn)而求出回歸直線方程，預(yù)測出結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出，判斷出有的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對勞動課程是否滿意有關(guān).【小問1詳解】由題意可得，則可得，故關(guān)于的回歸直線方程為.令，得，據(jù)此預(yù)測12月份該校全體學(xué)生中對勞動課程的滿意人數(shù)為人.【小問2詳解】提出假設(shè)：該校的學(xué)生性別與對勞動課程是否滿意無關(guān).則.因為，而，故有的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對勞動課程是否滿意有關(guān).20.如圖，在四棱錐中，底面，平面平面，四棱錐的體積為4.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，在平面內(nèi)過點作，垂足為,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和判斷定理求解即可；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】設(shè)，在平面內(nèi)過點作，垂足為,因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，因為平面平面，所以,因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】在中，由，可得，，由（1）知，則，解得，因為平面，平面，所以兩兩垂直，以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，又，則解得，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21.如圖，已知橢圓的左?右頂點分別為，點是橢圓上異于的動點，過原點平行于的直線與橢圓交于點的中點為點，直線與橢圓交于點，點在軸的上方.（1）當(dāng)時，求；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)分析出點滿足的方程，求出點坐標(biāo)，進(jìn)而求出；（2）利用弦長公式求出和，再利用基本不等式求出最值.【小問1詳解】由題知,設(shè)，則，則.因為，所以在圓上，又在橢圓上，所以滿足，所以，，所以或（舍去），又在軸上方，所以，所以直線的斜率為，故直線的斜率為，所以直線與直線關(guān)于軸對稱.設(shè)直線的傾斜角，【小問2詳解】當(dāng)直線斜率為，則直線，直線，滿足，所以，所以，同理，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，所以的最大值為10.【點睛】方法點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）已知，求證：.【答案】（1）0（2）證明見解析【