信號與系統(tǒng)課件 §4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域

§4.2

拉普拉斯變換的定義、收斂域一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、拉氏變換的收斂域三、一些常用函數(shù)的拉氏變換返回四、對單邊拉氏變換的幾點注意一．從傅里葉變換到拉普拉斯變換信號f(t),乘以衰減因子e-st(s為任意實數(shù))后容易滿足絕對可積條件,依傅氏變換定義:令:s+jw=s,具有頻率的量綱,稱為復(fù)頻率。則1．拉普拉斯正變換2．拉氏逆變換其中:s=σ

+jω；若σ取常數(shù)，則ds=jdω所以:對于f(t)e-σt是F(σ

+jω)的傅里葉逆變換

兩邊同乘以eσt積分限:對ω為對s

為3．拉氏變換對返回考慮到實際信號都是有起因信號：采用0-系統(tǒng)，初始條件自動引入。（本書采用0-系統(tǒng)）記作：f(t)F(s)。

f(t)稱為原函數(shù)，F(xiàn)(s)稱為象函數(shù)所以：采用0_系統(tǒng)，相應(yīng)的單邊拉氏變換為：二．拉氏變換的收斂域收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實際上就是拉氏變換存在的條件；說明6.一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。返回5.等信號比指數(shù)函數(shù)增長快，找不到收斂坐標，為非指數(shù)階信號，無法進行拉氏變換。2.有界的非周期信號的拉氏變換一定存在。1.滿足的信號稱為指數(shù)階信號。三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂

3.單位沖激信號4．tnu(t)返回(c)0tf3(t)1eate-ate-at1(b)0tf2(t)四、對單邊拉氏變換的幾點注意f1(t)、f2(t)、f3(t)具有相同的單邊拉氏變換式：e-at1(a)0tf1(t)1.我們所討論的單邊拉氏變換是從t=0開始積分的，因此，t<0區(qū)間的函數(shù)值與變換結(jié)果無關(guān)。如圖所示：當取的逆變換時，只能給出范圍內(nèi)的函數(shù)值。即：又如：e-at1(a)0tf1(t)2.從圖(a)可以看出，此函數(shù)在t=0時產(chǎn)生了跳變，這樣，初始條件f(0)容易發(fā)生混淆，為使f(0)有明確意義，我們?nèi)砸詅(0-)與f(0+)分別表示t從左、右兩端趨于0時所得之f(0)值。對于圖(a)，f(0-)=0，f(0+)=1

單邊拉氏變換的這一特點，并未給其應(yīng)用帶來不便。因為在系統(tǒng)分析中，往往也是只需求解時的系統(tǒng)響應(yīng)，而t<0的情況由激勵接入前系統(tǒng)的狀態(tài)所決定。當函數(shù)f(t)在t=0處有跳變時，其導(dǎo)數(shù)將出現(xiàn)沖激函數(shù)項。為了便于研究在t=0點發(fā)生的跳變現(xiàn)象，這里我們規(guī)定單邊拉氏變換的積分下限從0-開始。返回這樣定義的好處是：把t=0處沖激函數(shù)的作用考慮在變換之中，當利用單邊拉氏變換法解微分方程時，可以直接引用已知的起始狀態(tài)f(0-)

而求得完全解，無需專門計算由0-~0+的跳變；否則，若取積分下限從0+開始，對于t從0-~0+發(fā)生的跳變還需另行處理。