復(fù)變函數(shù)與積分變北京郵電大學(xué)課后的習(xí)題答案

習(xí)題七1.證明：如果f<t>滿足傅里葉變換的條件.當(dāng)f<t>為奇函數(shù)時(shí).則有其中當(dāng)f<t>為偶函數(shù)時(shí).則有其中證明：因?yàn)槠渲袨閒<t>的傅里葉變換當(dāng)f<t>為奇函數(shù)時(shí).為奇函數(shù).從而為偶函數(shù).從而故有為奇數(shù)。=所以.當(dāng)f<t>為奇函數(shù)時(shí).有同理.當(dāng)f<t>為偶函數(shù)時(shí).有.其中2.在上一題中.設(shè).計(jì)算的值.解:3.計(jì)算函數(shù).解:4.求下列函數(shù)的傅里葉變換解：<2>解：因?yàn)樗愿鶕?jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得<3>解：<4>解:令.則在上半平面有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn).故.<5>解:同<4>.利用留數(shù)在積分中的應(yīng)用,令則.5.設(shè)函數(shù)F<t>是解析函數(shù).而且在帶形區(qū)域內(nèi)有界.定義函數(shù)為證明當(dāng)時(shí).有對(duì)所有的實(shí)數(shù)t成立.<書上有推理過(guò)程>6.求符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換.解:因?yàn)榘押瘮?shù).不難看出故：7.已知函數(shù)的傅里葉變換求解:8.設(shè)函數(shù)f<t>的傅里葉變換.a為一常數(shù).證明當(dāng)a>0時(shí),令u=at.則當(dāng)a<0時(shí),令u=at,則.故原命題成立.9.設(shè)證明.證明：10.設(shè).證明：以及證明：同理：11.設(shè)計(jì)算.解：當(dāng)時(shí).若則故=0.若則若則故12.設(shè)為單位階躍函數(shù).求下列函數(shù)的傅里葉變換.習(xí)題八1.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.<1>.<2>.<3><4>.<5>解:<1><2><3><4><5>2.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.〔1<2>解:<1><2>3.設(shè)函數(shù),其中函數(shù)為階躍函數(shù),求的拉普拉斯變換.解:4.求圖8.5所表示的周期函數(shù)的拉普拉斯變換解：5.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.<1><2><3><4><5<6<7><8>解:<1><2><4><5><6><7><8>6.記.對(duì)常數(shù).若.證明證明:7記.證明:證明：當(dāng)n=1時(shí),所以.當(dāng)n=1時(shí),顯然成立。假設(shè).當(dāng)n=k-1時(shí),有現(xiàn)證當(dāng)n=k時(shí)8.記.如果a為常數(shù),證明:證明：設(shè).由定義9.記.證明:,即證明：10.計(jì)算下列函數(shù)的卷積<1><2><3><4><5><6解：<1><2><3><4><5><6>11.設(shè)函數(shù)f,g,h均滿足當(dāng)t<0時(shí)恒為零.證明以及證明：12.利用卷積定理證明證明：設(shè).則.則.所以13.求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.<1><2><3><4><5><6解：<1><2><3故<4>因?yàn)樗?lt;5>其中所以<6>所以14.利用卷積定理證明證明：又因?yàn)樗?根據(jù)卷積定理15.利用卷積定理證明證明：因?yàn)樗?根據(jù)卷積定理有16.求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.<1><2><3><4>解:<1>故<2>：<3>故<4>故且所以17.求下列微分方程的解<1><2><3><4><5>解:<1>設(shè)方程兩邊取拉氏變換,得為Y<s>的三個(gè)一級(jí)極點(diǎn),則<2>方程兩邊同時(shí)取拉氏變換,得<3>方程兩邊取拉氏變換,得因?yàn)橛衫献儞Q的微分性質(zhì)知.若L[f<t>]=F<s>,則即因?yàn)樗怨视?lt;4>方程兩邊取拉氏變換,設(shè)L[y<t>]=Y<s>,得故<5>設(shè)L[y<t>]=Y<s>,則方程兩邊取拉氏變換,,得故18.求下列微分方程組的解<1><2>解:<1>設(shè)微分方程組兩式的兩邊同時(shí)取拉氏變換,得得<2>代入<1>.得<3>代入<1>.得<2>設(shè)方程兩邊取拉氏變換,得<3>代入<1>：所以故19.求下列