信號與系統(tǒng)課件 習(xí)題課4

內(nèi)容摘要拉氏變換的定義和收斂域典型信號的拉氏變換三．拉氏變換的基本性質(zhì)二．單邊拉氏變換逆變換的求法

一．拉普拉斯變換四．用拉普拉斯變換法分析電路五．系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的定義由零極點(diǎn)決定系統(tǒng)的時域特性由零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性由零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的頻響特性部分分式展開法圍線積分法六．雙邊拉氏變換，及正變換、逆變換的求法

七．單邊拉氏變換、雙邊拉氏變換、及傅氏變換之間的關(guān)系

例題例題1：求拉氏變換例題2：求拉氏變換，拉氏變換的性質(zhì)例題3：拉氏變換的微分性質(zhì)例題4：系統(tǒng)函數(shù)，求解系統(tǒng)的響應(yīng)例題5：用拉氏變換法分析電路返回例4-1求下列函數(shù)的拉氏變換

拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換,為了區(qū)別起見,本書以F(s)表示f(t)單邊拉氏變換，以FB(s)表示f(t)雙邊拉氏變換。若文字中未作說明，則指單邊拉氏變換。單邊拉氏變換只研究t≥0的時間函數(shù)。因此，它和傅里葉變換之間有一些差異，例如在時移定理，微分定理和初值定理等方面。本例只討論時移定理。請注意本例各函數(shù)間的差異和時移定理的正確應(yīng)用。例4-1求下列函數(shù)的拉氏變換

返回例4-24-2（a）求三角脈沖函數(shù)如圖4-2（a）所示的象函數(shù)和傅里葉變換類似，求拉氏變換的時，往往要借助基本信號的拉氏變換和拉氏變換的性質(zhì)，這比按拉氏變換的定義式積分簡單，為比較起見，本例用多種方法求解。t112of(t)方法一：按定義式求解

方法二：利用線性疊加和時移性質(zhì)求解方法三：利用微分性質(zhì)求解

方法四：利用卷積性質(zhì)求解返回方法一：按定義式求解返回方法二：利用線性疊加和時移性質(zhì)求解

于是由于返回方法三：利用微分性質(zhì)求解

信號的波形僅由直線組成，信號導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)容易求得，或者信號經(jīng)過幾次微分后出現(xiàn)原信號，這時利用微分性質(zhì)比較簡單。將微分兩次，所得波形如圖4-2（b）所示。圖4-2（b）o112t1-o12t()1()1()2-顯然根據(jù)微分性質(zhì)由圖4-2（b）可以看出于是返回方法四：利用卷積性質(zhì)求解

可看作是圖4-2(c）所示的矩形脈沖

自身的卷積所以于是，根據(jù)卷積性質(zhì)而圖4-2（c）返回o11tf1(t)例4-3應(yīng)用微分性質(zhì)求圖4-3（a）中的象函數(shù)。圖4-3（a）下面說明應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)注意的問題，圖4-3（b）是的導(dǎo)數(shù)的波形。ot1f3(t)=u(t)ot3f1(t)=3u(t)ot32f2(t)=2+u(t)ot(3)ot(1)ot(1)圖4-3（b）()()()()()，因而，但雖然tftfsFsF212121=（1）對于單邊拉氏變換,故二者的象函數(shù)相同，即:這是應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)特別注意的問題。因而由圖4-3（b）知返回例4-4當(dāng)輸入x2(t)=u(t)時，系統(tǒng)的輸出為y2(t)=3e-tu(t);某線性時不變系統(tǒng)，在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵信號作用于系統(tǒng)。當(dāng)輸入x3(t)為圖中所示的矩形脈沖時，求此時系統(tǒng)的輸出當(dāng)輸入x1(t)=時，系統(tǒng)的輸出為y1(t)=+e-tu(t);則所以階躍響應(yīng)返回由得又由例4-5電路如圖4-5（a）所示（1）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。（3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)，使系統(tǒng)對u(t)的完全響應(yīng)仍為u(t)使系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)等于沖激響應(yīng)。（2）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)（1）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。

系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)是一對拉氏變換的關(guān)系。對H(s)求逆變換可求得h(t)，這種方法比在時域求解微分方程簡便。利用s域模型圖4-5（b）可直寫出圖4-5（a）電路的系統(tǒng)函數(shù)。()()()121112++=++==sssCsLRsCsEsVsHo沖激響應(yīng)（2）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)為求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，應(yīng)寫出系統(tǒng)的微分方程或給出帶有初值的s域模型。下面我們用s域模型求解。圖4-5(a)電路的s域模型如圖4-5(b)。由圖4-5(b)可以寫出上式中第二項只和系統(tǒng)起始狀態(tài)有關(guān)，因此該項是零輸入響應(yīng)的拉氏變換。依題意的要求，該項應(yīng)和相等，從而得故系統(tǒng)的起始狀態(tài)通過本例可以看出，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)可以使系統(tǒng)的完全響應(yīng)滿足某些特定要求。本質(zhì)上，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，對一個穩(wěn)定系統(tǒng)而言，零輸入響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)中的一部分，因此，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)只能改變系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，使暫態(tài)響應(yīng)滿足某些特定要求