《矩形的判定》練習(xí)及答案

《矩形的判定》練習(xí)滿分100分80分過(guò)關(guān)限時(shí)30分鐘一．選擇題（共4小題，每題10分，共40分）1．下列命題中正確的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形 C．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形2．下列關(guān)于矩形的說(shuō)法，正確的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形 C．矩形的對(duì)角線相等且互相平分 D．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分3．如圖，□ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝3，若要使平行四邊形ABCD為矩形，則OB的長(zhǎng)度為（）A．4 B．3 C．2 D．14．對(duì)于四邊形ABCD，給出下列6組條件，①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°；⑤AC＝BD；⑥AB∥CD，AD∥BC．其中能得到“四邊形ABCD是矩形”的條件有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組二．填空題（共4小題，每題10分，共40分）5．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，要使它變?yōu)榫匦危枰砑拥臈l件是（寫(xiě)一個(gè)即可）．6．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，從①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°這六個(gè)條件中，可選取三個(gè)推出四邊形ABCD是矩形，如①②⑤→四邊形ABCD是矩形．請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出符合要求的兩個(gè)：；．7．如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)D出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓鼐匦蜛BCD的邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為3cm/s和2cm/s，則最快s后，四邊形ABPQ成為矩形．8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值是．三．解答題（共2小題，每題10分，共20分）9．在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．（1）如圖1，求證：四邊形ADCF是矩形；（2）如圖2，當(dāng)AB＝AC時(shí)，取AB的中點(diǎn)G，連接DG、EG，在不添加任何輔助線和字母的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有的平行四邊形（不包括矩形ADCF）．10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交∠ACB的角平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F（1）求證：EO＝FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形CEAF是矩形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．（3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，請(qǐng)直接寫(xiě)出凹四邊形ABCE的面積為．參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）1．【分析】根據(jù)矩形的判定方法：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）可以選出答案．【解答】解：A、對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，等腰梯形的對(duì)角線也相等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是矩形，例如菱形，菱形的對(duì)角線互相垂直，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故此選項(xiàng)正確；D、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．2．【分析】由矩形的判定與性質(zhì)分別作出判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：A、對(duì)角線相等的四邊形是矩形，不正確；B、對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形，不正確；C、矩形的對(duì)角線相等且互相平分，正確；D、矩形的對(duì)角線互相垂直且平分，不正確；故選：C．3．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四邊形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故選：B．4．【分析】根據(jù)矩形的判定，用排除法即可判定所選答案．【解答】解：①由∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故①正確；②由∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故②正確；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四個(gè)角都是直角，故③正確；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三個(gè)角是直角的四邊形為矩形，故④正確；⑤AC＝BD，只有一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是矩形，故⑤錯(cuò)誤，⑥AB∥CD，AD∥BC，只能得到四邊形為平行四邊形，故⑥錯(cuò)誤，∴正確的有4個(gè)，故選：D．二．填空題（共4小題）5．【分析】根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，填空即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為AC＝BD．6．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定（有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）得出平行四邊形ABCD，再根據(jù)矩形的判定定理推出即可．【解答】解：①②⑥或③④⑥，理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：①②⑥，③④⑥．7．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得BC與AD的關(guān)系，根據(jù)矩形的判定定理，可得BP＝AQ，構(gòu)建一元一次方程，可得答案．【解答】解；設(shè)最快x秒，四邊形ABPQ成為矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案為：4．8．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn)，∵當(dāng)AP的值最小時(shí)，AM的值就最小，∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最?。逜P×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝∴AM＝，故答案為：．三．解答題（共2小題）9．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四邊形ADCF是平行四邊形，只要證明∠ADC＝90°，即可推出四邊形ADCF是矩形．（2）四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，……………………1分∵E是AC中點(diǎn)，∴AE＝EC，…………2分在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，………………3分∴EF＝DE，………………………4分∵AE＝EC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，…………………5分∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCF是矩形．…………6分（2）∵線段DG、線段GE、線段DE都是△ABC的中位線，又AF∥BC，…………7分∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，………8分∴四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形．…………………10分10．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠OEC＝∠OCE，證出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；（2）由對(duì)角線互相平分證明四邊形CEAF是平行四邊形，再由對(duì)角線相等即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)勾股定理求出AC，得出△ACE的面積＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面積＝AB?AC，凹四邊形ABCE的面積＝△ABC的面積﹣△ACE的面積，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，……………………1分∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE，……………………2分∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO，……………3分同理：FO＝CO，∴EO＝FO；……………4分（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEAF是矩形；理由如下：……5分由（1）得：EO＝FO，又∵O是AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，∴四邊形CEAF是平行四邊形，……………………6分∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO，∴EF＝AC，……………7分∴四邊形CEAF是矩形；……………8分（3）解