2021-2022學(xué)年上海市金山區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年上海市金山區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.半徑為2的球的體積為

32

—71

【答案】3.

【分析】由球體體積公式可得答案.

V=-7tT?3=-n

【詳解】33.

32

一兀

故答案為：3

2.直線工+卜-1=°的傾斜角是.

3兀

【答案】彳

【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，進(jìn)而可得傾斜角

【詳解】解：由已知y=-x+L則直線斜率々=-1,

又傾斜角的范圍為［°'夕）.

34

故直線％+yt=°的傾斜角是T.

3兀

故答案為：彳.

3.己知基函數(shù)＞的圖象過點(diǎn)I2九則實(shí)數(shù)公

【答案】-1

卜;）*

【分析】將點(diǎn)I2〃弋入y=x求解即可.

【詳解】解：將點(diǎn)I'2）代入

-=2k

可得2,

即有2T=2、

解得％=T.

故答案為：-1

4.已知"（L2）,8（-1,1）,則直線的兩點(diǎn)式方程為

x-1_y-2

【答案】1-（-1）2-1

【分析】直接由直線的兩點(diǎn)式方程公式得出答案.

【詳解】當(dāng)直線過兩點(diǎn)（*'乂），（“2,九）時(shí)，其兩點(diǎn)式方程為玉-%%一%,

x-1_y-2

則直線48的兩點(diǎn)式方程為IT7）2-1

x-1_y-2

故答案為：1-（-1）2-1.

M、N分別在線段4G與BD上,MN的最小值為.

【分析】方法一，該題可以結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，將其轉(zhuǎn)化為兩異面直線的距離來求;

方法二，可設(shè)出變量，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的最值求解;

方法三，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)以及距離公式表示出目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)方法求

解最值.

【詳解】方法一（定義轉(zhuǎn)化法）：因?yàn)橹本€4a與8。是異面直線，所以當(dāng)w是兩直線的共垂線段

時(shí)，取得最小值.取4G的中點(diǎn)p,8。的中點(diǎn)。.則線段P0就是兩異面直線4G與8。的共垂

線段.

下證明之.

在矩形8004中，尸。為中位線，所以PQ/g,

又因?yàn)?耳，平面/5CZ）,所以尸0/平面/8C0

又因?yàn)?OU平面/8CO,

所以尸

同理可證尸。：心,

而PQcBD=Q,PQcA?=P,

所以線段尸。就是兩異面直線4G與BD的共垂線段，且尸。=1.

由異面直線公垂線段的定義可得MN*P0=1,故MN的最小值為1.

方法二：（參數(shù)法）如圖，取4G的中點(diǎn)P,8。的中點(diǎn)。.則線段P0就是兩異面直線4G與8。的共

垂線段.由正方體的棱長(zhǎng)為1可得尸0=1.

連結(jié)/C,則'C〃4G,所以為兩異面直線4G與8。所成角

在正方形A5CO中，AC1BD,所以N80c=90。

過點(diǎn)M作AW/C,垂足為H,連結(jié)NH,則必/〃尸°,且==1

設(shè)PM=m,QN=i,則QH=m

在中，HN2=QN2^QH2=n2+m2

在RtAM/W中，MN2=MH2+HN2=12+n2+m\

顯然，當(dāng)機(jī)=〃=0時(shí)，MF取得最小值i,即MN的最小值為i.

方法三：（向量法）如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線加、℃、"2為x、J\z軸建立空間直角坐

標(biāo)系.

恪金。］

設(shè)DN=m,4M=〃則%(m8545。,小山45。,0),即22

M(\-ncos45。,〃sin45°,1)即22

MN2「與4—與門與一41=(m2+7726(加+〃)+2

2222

所以LI)\[)

加=〃=0>

故當(dāng)2時(shí)，MN-取得最小值］,即"N的最小值為1.

故答案為：1.

6.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半圓，則該圓錐的母線與底面所成的角的大小是

【答案】‘0'

【詳解】試題分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面展開扇形的周長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，分別設(shè)出圓錐的母線長(zhǎng)

和圓錐的底面半徑，利用上述關(guān)系得到關(guān)系式求出兩者的比值即可，然后得到其正弦值，求得夾

角.

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R,底面半徑為r,???圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，二圓錐的側(cè)面展開扇形的弧

長(zhǎng)為：成，?.?圓錐的側(cè)面展開扇形的周長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，???出=2口，出：r=2：1,所以母線

與底面夾角為60°.

【解析】圓錐的計(jì)算.

7.從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則甲、乙兩人都沒有被選到的概率為

（用數(shù)字作答）.

【答案】6

【解析】先計(jì)算出從4名同學(xué)中選2名同學(xué)的情況，再計(jì)算出甲、乙兩人都沒有被選到的情況，即

可求出概率.

吠=七-6

【詳解】解：從4名同學(xué)中選2名同學(xué)共有42x1種，

甲、乙兩人都沒有被選到有1種，

甲、乙兩人都沒有被選到的概率為9.

8.已知直線。，b,平面a,P,滿足&0/=6且。_1力，貝心工工灰,是“a_L力,,的條

件.

【答案】必要非充分條件

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義即可求解.

【詳解】如圖長(zhǎng)方體中，滿足an夕=6且

取［5=a,滿足貝Ijau/?,

取“尸=。，滿足力］，則

取EF=a,滿足［二，則"http://￡,

所以由“1_L3，，得不出“a’。,故充分性不成立，

因?yàn)閏A尸=/）,所以'up,若a，夕，由線面垂直的性質(zhì)可得3,人故必要性成立，

故答案為：必要非充分條件.

2兀

9.一個(gè)圓錐軸截面的頂角為丁，母線為2,過頂點(diǎn)作圓錐的截面中，最大截面面積為_.

【答案】2

【分析】截面三角形為等腰直角三角形時(shí)，截面面積最大，進(jìn)而計(jì)算面積即可.

【詳解】解：由題知I,過圓錐頂點(diǎn)的截面中，截面三角形為等腰直角三角形（直角邊為母線）時(shí)，

截面面積最大，

5=-x2x2=2

所以，最大截面面積為2

故答案為：2

10.正四棱錐P-Z8co的所有棱長(zhǎng)均相等，E是PC的中點(diǎn)，那么異面直線8E與P/所成角的余

弦值為.

旦

【答案】3

【分析】連接ZC交8。于。點(diǎn)，連接OE,則〃4，所以就是異面直線BE與尸/所成

的角，在直角三角形EO8中求解即可.

【詳解】如下圖：

B

連接NC交8。于。點(diǎn)，連接則OE〃尸兒所以N°EB就是異面直線BE與尸/所成的角，連

接尸。，因?yàn)槭?面/BCO,所以尸。，。8,又因?yàn)閆C1O8,ACLPO=O,所以面

OE=-,BE=—a

POC,所以所以直在角三角形E08中，設(shè)4=。，則22,

/cmOE也

cos/OEB==——

BE3

73

故答案為：3.

11.若一個(gè)三棱錐中，有一條棱長(zhǎng)為。，其余棱長(zhǎng)均為1,則其體積％"）取得最大值時(shí)。的值為

76

【答案】2

【分析】方法一由題意畫出圖，根據(jù)圖由三棱錐的體積公式換元由二次函數(shù)求得最值時(shí)。的值.

方法二由三棱錐的體積可知，底面積一定，要使體積最大，只需高最大，即可得出垂直時(shí)最大，再

由勾股定理即可求出。的值.

【詳解】方法一：

由題意畫出棱錐的圖形，AB=BC=CD=BD=AC=l,AD=a.

取5C、的中點(diǎn)分別為E、F,所以平面/加垂直5C,

S-ED=；4D.EF￡尸=J（曰＞

令/=/,y=3/-/=3-2,關(guān)于/的二次函數(shù)，

_3~~a~~

當(dāng)'=5,即a"-彳時(shí)，體積尸（幻取得最大值，故”了.

方法二：由題意畫出棱錐的圖形，4B=BC=CD=BD=AC=1,AD^a.

A

C

要使三棱錐力-88的體積最大，只需點(diǎn)A到底面的距離最大，此時(shí)面Z8C，面8CO,取8c的

中點(diǎn)分別為E,連接“區(qū)￡。

片+仍=倬2圖邛

3L+（逅

即2

V6

故答案為：2

12.在棱長(zhǎng)為3的正方體/8C。-中，瓦F分別是棱8C、CG的中點(diǎn)，點(diǎn)G在四邊形

8CG4內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），若直線4G與平面/跖無交點(diǎn)，則線段CG的取值范圍是

9y/23后

【答案】L」

【分析】作出輔助線，證明平面4尸2〃平面/EF,故點(diǎn)G在線段尸2上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)位置），當(dāng)

G與。或尸重合時(shí)，CG最大，當(dāng)CG'P。時(shí)，CG最小，由勾股定理求出最值，得到取值范圍.

【詳解】正方體"88-440"的體積為27,所以正方體的棱長(zhǎng)為3,

分別取線段4G、布的中點(diǎn)P、。,連接4尸、40、P0,

瓦尸分別是棱8C、C￡的中點(diǎn),

則尸Q//E尸，又P°C平面/EEEFu平面/￡7?,

所以PQ//平面4P//4E,

又4尸色平面4EF,AEu平面AEF,所以4。//平面AEF,

又P。n4P=尸，。。，4Pu平面4尸。，

所以平面4P°〃平面NEF,故點(diǎn)G在線段2°上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)位置）,

當(dāng)G與?；騪重合時(shí)，CG最大，

CG=CQ=ylQB2+BC2=Y+32=

此時(shí)隊(duì)212,

.CG=-CS,=-X>/32+32=—

當(dāng)CrrGJ.尸p。n時(shí)，CG最小，此時(shí)444,

-9723瓜

所以CG的取值范圍為L(zhǎng)42

9723店

故答案為：L」

二、單選題

13.下列命題中，正確的是（）

A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.垂直于同一直線的兩條直線平行

C.若直線/與平面&上的無數(shù)條直線都垂直，則,‘a(chǎn)

D.若〃、b、c是三條直線，?！āＧ遗c。都相交，則直線八6、c在同一平面上

【答案】D

【分析】利用空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系直接判斷.

【詳解】A.不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；

B.由墻角模型，顯然B錯(cuò)誤；

C.根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線/與平面夕內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線/與平面。垂直，若

直線,與平面a內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線/與平面a不一定垂直，故C錯(cuò)誤；

D.因?yàn)閍/",所以。、人確定唯一一個(gè)平面，又。與。、人都相交，故直線。、bc共面，故D正確；

故選：D.

14.在正方體"8CO-48G2中，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.直線8c與直線ZC所成的角為60°B.直線8c與平面"AC所成的角為60°

C.直線8C與直線,4所成的角為90°D.直線8c與直線N8所成的角為90°

【答案】B

【解析】連接“用，求出/4°鳥可判斷選項(xiàng)人；連接8a找出點(diǎn)用在平面/。。上的投影0,設(shè)直線

cOC

cos0=---

8c與平面“AC所成的角為仇由耳C可判斷選項(xiàng)B；利用平移法找出選項(xiàng)C和D涉及的

異面直線夾角，再進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，即可得解.

【詳解】連接為等邊三角形，...4C4=60。，即直線8。與4c所成的角為60。，故選

項(xiàng)A正確；

連接BQ,陽(yáng)=8c=CD1=AD,，，四面體是正四面體，

OC=—

二點(diǎn)用在平面上的投影為A'RC的中心，設(shè)為點(diǎn)o,連接4°,OC,則3

設(shè)直線B'c與平面gc所成的角為仇

AOC3風(fēng)包1

則B（gBC32）故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

連接8G,...四||g,且8clg,...直線AC與物所成的角為go。，故選項(xiàng)c正確;

?.?力81平面8。?！?..."8_18（,即直線8。與所成的角為90。，故選項(xiàng)D正確.

故選：B.

15.已知函數(shù)/（x）="sin（5+*）（/>0，0>°）的圖象與直線、="°<6<力）的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)分別是1,2,4,下列區(qū)間是函數(shù)/G）的增區(qū)間的是（）

A.[四3C.[3,6]

B.rD.

【答案】D

/（x）=-Acos—x

【分析】首先根據(jù)已知條件得到3,再求其單調(diào)增區(qū)間即可.

r=—=4-1=3<y=—

【詳解】由題知函數(shù)的周期④，解得3

1+23

x=-----=—

由°<6<Z知，當(dāng)22時(shí)，函數(shù)取得最大值,

2萬3…萬川冗

——x—+0=2k兀+—(D-2k兀

.?.322,解得2,kwZ

乃71八，、,24

一+244=-Acos——x

23

2k兀<—x<2k冗+肛左EZ3k<x<3k+—

令3，解得2,keZ,

...當(dāng)％=1時(shí)，/（X）的增區(qū)間是一

故選：D

16.定義域在［出可的函數(shù)，=/（"）圖像的兩個(gè)端點(diǎn)為4、B,向量°"='04+（1-'）°8,設(shè)

"（XJ）是“X）圖像上任意一點(diǎn)，其中x=M+（l-沙，設(shè)［0,1］若不等式眼M?恒成立，則

稱函數(shù)/（X）在［“'1上滿足V范圍線性近似“，其中最小的正實(shí)數(shù)人稱為該函數(shù)的線性近似閾值.下

列定義在口，2］匕的函數(shù)中，線性近似閾值最小的是（）

21.4

y=—_2y=x—y=sin——x

A.XB.y~xC.XD.3

【答案】C

【分析】由題意可得點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)N在線段48上，然后可得=然后

每個(gè)選項(xiàng)逐一求解即可.

【詳解】由題意可得點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)N在線段"8上，所以1歷訓(xùn)=比”一凹3

_2

對(duì)于A,因?yàn)?一嚏，所以“（L2），BQ/），直線N8的方程為N=r+3

所以N（X，-X+3）,因?yàn)?NJ,

\MN\=^\yM-yN\=-x+3--=3-x--<3-272「

所以XX，當(dāng)且僅當(dāng)》=夜時(shí)等號(hào)成立

所以％23-2及，所以該函數(shù)的線性近似閾值為3-20；

對(duì)于B,因?yàn)閂=x,所以'（1,1）,8（2,4）,直線48的方程為y=3x-2

所以N（X,3X-2）,因?yàn)镸（X，X）

所以叱山一酢"2-小;當(dāng)且僅當(dāng)'號(hào)時(shí)等號(hào)成立

kJ1

所以4,所以該函數(shù)的線性近似閾值為4；

13

y=X---B（2一）

對(duì)于C,由函數(shù)X,得/（1，0）,'2,

y——（x—1）

???直線”8方程為2

1Q

<--72--42

2，線性近似閥值為5

.718唔,”方程為尸生

y=sin—x

對(duì)于D,由函數(shù)3可得

|W|<1--1--

由三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可知2,線性近似閥值為2,

->3-272>1-->--V2y=x--

因?yàn)?22所以線性近似閥值最小的是x

故選：C

三、解答題

ZBAC=-

17.如圖，直三棱柱4BG中，AB=AC=\,~2,44=4,點(diǎn)M為線段44的中

點(diǎn).

(1)求三棱錐4-38。的體積；

(2)求異面直線8M與4G所成角的大小.

V=-

【答案】(1)3

V10

arccos-----

⑵1°

V――SABC-AA,

【分析】(1)根據(jù)3求解.

(2)NMBC或其補(bǔ)角即為異面直線BM與B￡所成的角，根據(jù)余弦定理

八,“BM2+BC2-CM2710

cosZ,MBC-------------------------=------

2BMBC10求解.

ZBAC=-S=lxlxl=l

【詳解】⑴因?yàn)?C=l,2,所以皿22,

又因?yàn)橹比庵?8C-4AG中，所以平面/8C

即4"是三棱錐同一"8C的高，

則三棱錐4-"8C的體積為展3乂血”4=3X5X4=§

(2)因?yàn)锽C//4G,所以NM8C或其補(bǔ)角即為異面直線身/與所成的角,

在4MBC中，BM=CM=V5,BC=V2,

cosNMBC=BM?BC2-CM：叵

由余弦定理得，2BMBC10

ZA/5C=arccos—

所以io

V10

arccos-----

故異面直線BM與qG所成角的大小為10.

18.已知兩條直線4：加'+了=加+1,/2：x+W=2w,判斷兩直線的位置關(guān)系.

【答案】答案見解析.

【分析】以加2T是否為0判斷兩條直線相交或不相交，注意考慮垂直的情況；當(dāng)"?2-1=°時(shí)，判

斷兩直線平行或重合.

【詳解】令川-120,解得加*±1,所以當(dāng)"-±1時(shí)，4與12相交；

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，4與4互相垂直；

令/-1=0,解得機(jī)=±1；

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，4的方程為x+y=2,4的方程為x+y=2,4與4重合；

當(dāng),”-1時(shí)，4的方程為x-y=o,4的方程為x-v=-2,此時(shí)〃〃2；

所以當(dāng)〃?#±1時(shí)，4與72相交，其中機(jī)=°時(shí)，4與12互相垂直；當(dāng)機(jī)=1時(shí)，4與4重合；當(dāng)

加=_［時(shí)，〃〃2.

19.如圖，“中國(guó)天眼”是我國(guó)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡，其

反射面的形狀為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的

球體直徑被截得的部分為球冠的高，設(shè)球冠底的半徑為廠，球冠的高為九球冠底面圓周長(zhǎng)為C

(1)求球冠所在球的半徑R(結(jié)果用h、r表示)；

r

(2)已知球冠表面積公式為$=2萬血，當(dāng)S=6500(U,C=500萬時(shí)，求元的值及球冠所在球的表面

積.

【答案】⑴2h

5

(2)B.1690000萬

【分析】(1)根據(jù)給定信息結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)，再借助勾股定理列式計(jì)算即得.

(2)根據(jù)給定條件結(jié)合(1)的結(jié)論求出球半徑R即可計(jì)算作答.

【詳解】(1)如圖，點(diǎn)。是球冠所在球面的球心，點(diǎn)0/是球冠底面圓圓心，點(diǎn)/是球冠底面圓周

上一點(diǎn)，線段0/8是球冠的高，

依題意，08垂直于球冠底面，顯然0/8=〃，OOt=R-h,O,A=r,

,,,〃二一+-

2222

在RtZXOO/中，OA-=OOf+OtA1g|j/?=(R-h)+r1整理化簡(jiǎn)得：-2h,

區(qū);心

所以球冠所在球的半徑/?有：2h.

r--^―=250

(2)因球冠底面圓周長(zhǎng)C=500T,則2乃，

,S32500?h2+r

h=----=------R=-----

又球冠表面積公式為S=27的，且S=6500(hr,則InRR,由⑴知2h

3250()2

65000=+2502

即R2解得R=650,

r_250_5

于是得??-650-13,球0的表面積為4萬丈=4tx6502=1690000萬,

r_$

所以下的值是否，球冠所在球的表面積是1690000》.

20.如圖，在四棱錐尸UZ8CQ中，底面是矩形，且NO=2,AB=-PA=\,平面

ABCD,E,尸分別是線段48,8c的中點(diǎn).

(3)求直線PE與平面PFD所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

7+2及+逐

(2)

,而

arcsin----

⑶10

【分析】（1）利用勾股定理證得。尸，“尸，再由線面垂直證得。尸，尸力，由此證得得。尸工平面

PAF,進(jìn)一步得到尸尸，￡0；

（2）利用線面垂直的性質(zhì)證得尸8,8C,PDLCD,PALAB,PA^ADt從而分別求出各面面積,

由此得到四棱錐P/8CD的表面積；

（3）連接EP、ED.EF,由等體積法求點(diǎn)E到平面PFD的距離，即可求直線PE與平面PFD所

成角的正弦值，則所求得解.

【詳解】（1）連結(jié)NF,

則在RM/3尸中，AF=y/AB2+BF2=VI,同理：血，又AD=2,

.■.DF'+AF^AD2,則DFA.AF,

PAIjg?ABCD,DFu面4BCD,；.DFLPA,

又P4fUF=40平面p/尸，...OF工平面尸4R

而尸尸u平面尸/尸，則P尸，尸。；

(2)已知尸4,底面Z8CD,所以P/L8C,

因?yàn)樵诰匦蝂8C。中，AB1BC,

又PAc4B=A,PA,ABu面pJ4B,所以3cl面P/8,

又PBu面P4B,所以尸8L8C,

同理：PD工CD,又P4工4B,P4L4D,

S^PA/i=-PA-AB=-SPAD--PA-AD=1cADDr,o

因此22,2,SMCD=AB.BC=2,

22

S.PBC='PB-BC=LyjPA?+AB?衣=6Spnc=-PDCD=~ylPA+AD-CD=—

c22DC222

S」+l+2+0+―=7+2夜+石

二四棱錐PUZ8CZ)的表面積222

(3)連接E尸、ED、EF,

21113

vSQEFD=SABCD-S.BEF-S&ADE-^CDF=4224,

131

V1cP.1

=§S曲.尸/_§*4>1=彳

M~fzr-PE=-JPA2+AE2=—

yPF=vPB~+BF~=V3；DF=五，2

設(shè)點(diǎn)E到平面PFD的距離為人則由VEPFD=VPEFD,

15

h=-x-PFFDh=h=

得3皿3264,解得

.八h國(guó)

設(shè)直線PE與平面PFD所成角的大小為0,則PE10,

,730

arcsin----

則直線尸E與平面P/吟所成角的大小為10.

21.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)锧21，且〃x）的圖像連續(xù)不間斷，若函數(shù)"X）滿足：對(duì)于給定的實(shí)數(shù)

m且0<加<2,存在與€[0,2_叫使得/[）=/@+叫則稱/（X）具有性質(zhì)尸（M.

（1）已知函數(shù)/（勸=^^方,判斷