高中數(shù)學(xué)平面解析幾何初步經(jīng)典例題

直線(xiàn)和圓的方程一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1．兩點(diǎn)間的距離公式:不論A(1，1)，B(2，2)在坐標(biāo)平面上什么位置，都有d=|AB|=，特別地，與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段的長(zhǎng)|AB|=|2－1|或|AB|=|2-1|.2．定比分點(diǎn)公式:定比分點(diǎn)公式是解決共線(xiàn)三點(diǎn)A(1，1)，B(2，2)，P(，)之間數(shù)量關(guān)系的一個(gè)公式，其中λ的值是起點(diǎn)到分點(diǎn)與分點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線(xiàn)段的數(shù)量之比.這里起點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)的位置是可以任意選擇的，一旦選定后λ的值也就隨之確定了.若以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，P為分點(diǎn)，則定比分點(diǎn)公式是.當(dāng)P點(diǎn)為AB的中點(diǎn)時(shí)，λ=1，此時(shí)中點(diǎn)坐標(biāo)公式是.3．直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系（1）每一條直線(xiàn)都有傾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直線(xiàn)，其斜率與傾斜角α之間的關(guān)系是=tanα.4．確定直線(xiàn)方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。直線(xiàn)方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線(xiàn)方程的適用范圍.名稱(chēng)方程說(shuō)明適用條件斜截式為直線(xiàn)的斜率b為直線(xiàn)的縱截距傾斜角為90°的直線(xiàn)不能用此式點(diǎn)斜式()為直線(xiàn)上的已知點(diǎn)，為直線(xiàn)的斜率傾斜角為90°的直線(xiàn)不能用此式兩點(diǎn)式=()，()是直線(xiàn)上兩個(gè)已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)不能用此式截距式+=1為直線(xiàn)的橫截距b為直線(xiàn)的縱截距過(guò)（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)不能用此式一般式，，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不全為零5．兩條直線(xiàn)的夾角。當(dāng)兩直線(xiàn)的斜率,都存在且·≠-1時(shí)，tanθ=，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，可結(jié)合圖形判斷.另外還應(yīng)注意到：“到角”公式與“夾角”公式的區(qū)別.6．怎么判斷兩直線(xiàn)是否平行或垂直？判斷兩直線(xiàn)是否平行或垂直時(shí)，若兩直線(xiàn)的斜率都存在，可以用斜率的關(guān)系來(lái)判斷；若直線(xiàn)的斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來(lái)判斷.（1）斜率存在且不重合的兩條直線(xiàn)1∶，2∶，有以下結(jié)論：①1∥2=，且ｂ1＝ｂ2②1⊥2·=-1（2）對(duì)于直線(xiàn)1∶，2∶，當(dāng)1，2，1，2都不為零時(shí)，有以下結(jié)論：①1∥2=≠②1⊥212+12=0③1與2相交≠④1與2重合==7．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.（1）已知一點(diǎn)P（）及一條直線(xiàn)：，則點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離d=；（2）兩平行直線(xiàn)1:，2:之間的距離d=.8．確定圓方程需要有三個(gè)互相獨(dú)立的條件。圓的方程有兩種形式，要知道兩種形式之間的相互轉(zhuǎn)化及相互聯(lián)系（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中（，b）是圓心坐標(biāo)，是圓的半徑；（2）圓的一般方程：（＞0），圓心坐標(biāo)為（-，-），半徑為=.即整理得12k2-25k+12＝0解得k＝或k＝L′的方程為y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0因L和L′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)故L的方程為4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求過(guò)直線(xiàn)和圓的交點(diǎn)，且滿(mǎn)足下列條件之一的圓的方程：過(guò)原點(diǎn)；（2）有最小面積.解：設(shè)所求圓的方程是：即：（1）因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以，即故所求圓的方程為：.將圓系方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，有：當(dāng)其半徑最小時(shí)，圓的面積最小，此時(shí)為所求.故滿(mǎn)足條件的圓的方程是.點(diǎn)評(píng)：（1）直線(xiàn)和圓相交問(wèn)題，這里應(yīng)用了曲線(xiàn)系方程，這種解法比較方便；當(dāng)然也可以待定系數(shù)法。（2）面積最小時(shí)即圓半徑最小。也可用幾何意義，即直線(xiàn)與相交弦為直徑時(shí)圓面積最小.［例6］（06年遼寧理科）已知點(diǎn)A()，B()（≠0）是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿(mǎn)足｜｜＝｜｜.設(shè)圓C的方程為（1）證明線(xiàn)段AB是圓C的直徑；（2）當(dāng)圓C的圓心到直線(xiàn)的距離的最小值為時(shí)，求的值.解：（1）證明∵｜｜＝｜｜，∴（）2＝（）2，整理得：＝0∴＋＝0設(shè)M（）是以線(xiàn)段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則＝0即＋＝0整理得：故線(xiàn)段AB是圓C的直徑.（2）設(shè)圓C的圓心為C（），則∵，∴又∵＋＝0，＝－∴－∵≠0，∴≠0∴＝－4＝所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線(xiàn)的距離為ｄ，則＝當(dāng)＝時(shí)，ｄ有最小值，由題設(shè)得＝∴＝2.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1．直線(xiàn)截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為（） A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)2.已知直線(xiàn)x=a(a＞0)和圓(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是()A.5B.4C.3D.23.如果實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足等式(x-2)2+y2＝３，則的最大值為：.4.設(shè)正方形ABCD（A、B、C、D順時(shí)針排列）的外接圓方程為x2+y2-6x+a=0（a<9），C、D點(diǎn)所在直線(xiàn)l的斜率為.（1）求外接圓圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)及正方形對(duì)角線(xiàn)AC、BD的斜率；（2）如果在x軸上方的A、B兩點(diǎn)在一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)上，求此拋物線(xiàn)的方程及直線(xiàn)l的方程；（3）如果ABCD的外接圓半徑為2，在x軸上方的A、B兩點(diǎn)在一條以x軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)上，求此拋物線(xiàn)的方程及直線(xiàn)l的方程.5.如圖，已知圓C：（x+4）2+y2=4。圓D的圓心D在y軸上且與圓C外切。圓D與y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為(-3，