高中數學異面直線夾角自編

PAGE第4頁共12頁淺談異面直線所成的角異面直線所成角的求法求異面直線夾角主要有三種主要方法，一是幾何法，二是矢量法，三是公式法。一、幾何法：幾何法求異面直線所成角的思路是：通過平移把空間兩異面直線轉化為同一平面內的相交直線，進而利用平面幾何知識求解?；舅悸肥沁x擇合適的點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的點。常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現了中點）：補形平移法：“補形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉化為易于研究的幾何體來處理，利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。例：長方體ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小。直接平移：常見的利用其中一個直線a和另一個直線b上的一個已知點，構成一個平面，在此平面內做直線a的平行線。解法一：如圖④，過B1點作BE∥BC1交CB的延長線于E點。則∠DB1E就是異面直線DB1與BC1所成角，連結DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E=∴∠DB1E=。解法二：如圖⑤，在平面D1DBB1中過B點作BE∥DB1交D1B1的延長線于E，則∠C1BE就是異面直線DB1與BC1所成的角，連結C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=?！喈惷嬷本€DB1與BC1所成的角是。課堂練習：求異面直線A1C1與BD1所成的角在長方體ABCD-A1B1C1D1的面BC1上補上一個同樣大小的長方體，將AC平移到BE，則∠D1BE或其補角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，

二、矢量法。利用向量，設而不找，對于規(guī)則幾何體中求異面直線所成的角也是常用的方法之一。常有向量幾何法和向量代數法兩種。解法一：如圖⑦，連結DB、DC1，設異面直線DB1與BC1所成的角為，，而=()=+=〈，〉+〈，〉∵BB1∥DD1∴〈，〉=〈，〉=∠D1DB1∠D1DB1=〈，〉=180°－∠DB1C1∵∠DB1C1=∴〈，〉=－∠DB1C1=－=7∴=，解法二：如圖⑧，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。設和的夾角為，則=∴異面直線與所成的角為。課堂練習：長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。向量幾何法：為空間一組基向量

所以異面直線A1C1與BD1所成的角為向量代數法：<以D為坐標原點，DC、DA、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），

所以異面直線A1C1與BD1所成的角為

三、公式法公式法實質是矢量幾何法的推廣：公式一、定理：四面體ADBCD兩相對棱AC、BD間的夾角為則有證明，

所以有：例：長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。

解：連結BC1、A1B在四面體為，易求得

由定理得：

所以

已知平面的斜線a與內一直線b相交成θ角，且a與相交成1角，a在上的射影c與b相交成2角，則有公式2用幾何法研究：在平面的斜線a上取一點P，過點P分別作直線c、b的垂線PO、PB，垂足為O、B連接OB，則OB⊥b.在直角△AOP中，.在直角△ABC中，.在直角△ABP中，.所以所以成立（7）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（D）（A）（B）（C）(D)解：設的中點為D，連結D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選D講解習題：例1

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求異面直線A1B和AD1所成的角的余弦．（如圖1）例2

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1與BC1所成角的余弦．（如圖2）例3

已知正方體的棱長為a，M為AB的中點，N為B1B的中點．求A1M與C1N所成的角的余弦．（如圖3）（1992年高考題）例4

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1與BD所成的角的余弦．（如圖4）作業(yè)：3．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分別是AB，BC中點．求：（1）異面直線A1D1和CD的距離；（2）異面直線C1O和EF的距離．4．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB與A1C1所成的角的度數；（2）A1A與CB1所成的角的度數；（3）AB1與A1C1所成的角的余弦．5、如圖，在三棱錐S-ABC中，E、F分別是SC、AB的中點，且，則異面直線SA與BC的夾角為多少？將上例中的問題改為求SF與BE所成角的余弦值.解：連結CF，Q取CM的中點G，連結EG、BG，則EG//SF，∴∠BEG為異面直線SF、BE所成的角.在ΔBEG中，利用余弦定理可解得：COS∠BEG=.高考題:例1(2005年全國高考福建卷)如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角是（） A． B． C． D．解：連B1G，則A1E∥B1G，知∠B1GF就是異面直線A1E與GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得cosB1GF＝＝0，故∠B1GF＝90，應選(D)．評注：本題是過異面直線FG上的一點G，作B1G，則A1E∥B1G，知∠B1GF就是所求的角，從而納入三角形中解決．例2(2005年全國高考浙江卷)設M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點，DE⊥AB于E(如圖)．現將△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B為45°，此時點A在平面BCDE內的射影恰為點B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_________．解：取AE中點G,連結GM、BG∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ED，BN＝ED．∴GM∥BN，且GM＝BN．∴BNMG為平行四邊形，∴MN//BG∵A的射影為B．∴AB⊥面BCDE．∴∠BEA＝∠BAE＝45，又∵G為中點，∴BG⊥AE．即MN⊥AE．∴MN與AE所成角的大小等于90度．故填90．三、平移(或構造)幾何體有些問題中，整體構造或平移幾何體，能簡化解題過程.例3(2005年全國高考天津卷)如圖，平面，且，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于_____．解：將此多面體補成正方體，與所成的角的大小即此正方體主對角線與棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填．點評：本題是將三棱柱補成正方體，從而將問題簡化．［例4］在棱長為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點.(2)解：如圖所示，在平面ABCD內，過C作CP∥DE，交直線AD于P，則∠A′CP(或補角)為異面直線A′C與DE所成的角.在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′