初中數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)講義答案

第一部分高中數(shù) 第一章集合與簡易邏 第一節(jié)集 第二節(jié)簡易邏 第二章函 第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng) 第四章向 第五章推理與證 第六章統(tǒng)計(jì)與概 第七章坐標(biāo)系與參數(shù)方 第二部分高等數(shù) 第一章極限與連 第二章導(dǎo)數(shù)與微 第三章一元函數(shù)積分 第四章行列 第五章矩陣與線性變 第六章線性方程 第七章空間解析幾 第八章級(jí) 第九章常微分方 【答案】D.M{y|yx2x[1,1{y|0y1},N{y|yexx0}{y|y1}Bx3BAB。2【答案】A.解析：若存在0N，存在nNanA,則稱數(shù)列A，即limaA，故選x【答案】B.f(x

|x|

，在R【答案】Dfxf﹣x是偶函數(shù)，Afxfxfx的奇偶 【答案】B。解析：f(x)01xx 2

0f(x4f(0)1，f(-2)-3

f(-xf(xf'(-x)limf(-xx)limf[-(xx)]ff lim-f(xx)f(x)limf(xx)f(x)f' -f'(x在（﹣l，l）【答案】0.解析：因?yàn)閒(x可導(dǎo),且fxmsinxcos2x f'() 0,解得m0.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m0時(shí),函數(shù)f(x) sin2x在x處取 【答案】4x-y-3=0yx4的一條切線lx4y80垂直,可得切線l4.yx4y4x3y4x34x=1x=1yx4y=1,則切線l的方程y-1=4x-4，化簡得4x-y-3=0.【答案】D.解析：f，故選 便令p=1,則y=f(x) ，由于光滑則可導(dǎo)得到f(x) 。結(jié)合選項(xiàng)，先求出f'(2)=1f'(3=1f(2 4f(3) ，則通過計(jì)算可以得到f'(2)＞f'(3f(3)-f =f'(2).故選× ×

＋?＋lglg ＋?＋lg

1

2 【答案】D.f(xxx0f(x=0f(0)1，故Drr2

3.答案A.解析因?yàn)榉橇阆蛄?/p>

AC

所以AB＝AC.又cos∠BAC＝B →·→＝2，所以 |AB| 【答案】CDECBDAAECBDACBAECB1015.【答案】B.解析：由題意知→－→＝ →＋→＝，即 PB CB ∴ ＋→ →＋【答案】2.解析：由題意知 → → → → 即AB·AC－AB·BC＝AB·AC＋CB)＝AB＝2?c＝|AB|＝【答案】B.解析：假設(shè)a,bc都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，而abc(x1)2y1)2z1)2300（2）nk(3n1)7k19nk1[3(k1)1]7k11[21(k1)7]7k1[(3k1)(18k27)]7k3k17k19(2k37k[(3k17k1]9(2k3)7k9nk1時(shí)，命題成立.由（1）、（2）nN【答案】證明：以a，b長為直角邊作Rt△A1B1C1da2+b2=d2,又a2+b2=c2，所以c=d。則Rt△A1B1C1與△ABC全等，故△ABC是直角三角形?！敬鸢浮孔C明：由已知可得，整系數(shù)方程3x3bx2cx80qx-plx2mxn0，其中均為整數(shù)，展開后，得lqx3mqlpx2nqmpx-np03【答案】4基本空間為圖中邊長為1的正方形，所求即圖中陰影部分，陰影部分的面積111 【答案】解析：因?yàn)镻A=3=1，PB=2=1,兩個(gè)發(fā)生互不影響，而且A,B同時(shí) 生的概率為PAB=1，所以PAB=PAPB，所以A和B為獨(dú)立6【答案】解析：令甲跑一圈為A，乙跑一圈為B，因?yàn)镻A=3=1，PB=2=1, 個(gè)發(fā)生互不影響，而且A,B同時(shí)發(fā)生的概率為PAB=1，所以PAB=PAPB，所以6【答案】證明：（1）ABA(BAB)且A(BAB，由概率的可P(AB)P(A(BAB))P(A)P(BP(A)P(B)P(A、B、C獨(dú)P(AC)P(A)P(C),P(BC)P(B)P(C),P(AB)P(且PABCP那么，PABC)PACBP(AC)P(BC)P(ABP(A)P(C)P(B)P(C)P(P(C)(P(A)P(B)P(P(C)(P(A)P(B)P(AP(C)P(A所以AB與C獨(dú)立141336 623396 63316 663 19 9 1 43

23

2110.6826

PX4

4

1PX3

4

`110.1587X X 1 1 的概率是p1 ，乙的概率是p2 x，那么 的概率是p1x，因?yàn)榧祝? ，因此ppp，則1x13x 22解得x 25

1

2 A到D的線路有兩條分別是A-B-D，A-C-

)(1)1 A-C-DP111)(11)1

9

1 PP，所以走A-C-D1 pkk kBty2x3，∴BCty2x1【答案】Cxsiny1cos且sin2cos21.得到x2y22y由cos

2得到y(tǒng)2

z2.得到2y2

x2y22y.2yz22【答案】 .解析：圓C的普通方程為(x 3)2(y1)29，直線l的普通方程為2333xy0，圓心C到直線l的距離d 1，則直線l被33r2d9r2d9yx

xy2

】5

x2

：xy10（1：sin24cos02sin24cos0C（2yx21x21，【答案】1，-2.limn21anb)lim(1a)n2ab)nb1，

n

n所 可得a1,b2 (1)n，排除A；當(dāng)a1，排除B；當(dāng)ab，時(shí) D，故選2

lim1cosx1f(x)在x0 lim1cos

1

f(0)a f(10)2x2)x10f(10)

f(10)20

(10)f(xx1【答案】-1.解析：當(dāng)x

1x

x3

x

x3

(x1)(x (x1)(x2x

xx2x

lim( ) x 1 x1x x3 x1x2x (1)2(1)

t 1 lim(1

)x=lim(1+t)t=[lim(1+t)t]=ex t t【答案】3.limsin3xlim3sin3x(令3xt)3limsint3x x sin

【答案】1.解析：limtanx=limcosxlimsinx limsinx 111x x x0 cos x0 x0cos

ln(

1lnaln(1n

ln(1)nn1 1na1nn（2）當(dāng)0a1時(shí)，10N

即1lnaln(1)，即na1，即 1n【答案】Ba

1,b1

lima0,limb1,0＜1，a1b0 n n ab1B 12 12

)1n21

)n21

ee 1 1 11 (11

1

lim

lim

(11limln

1lim1n2limn2ln(11

n1 lim n2en1n22x

2 1 1 1lim1 lim1 lim1 1x1x 1x 1x 1x 1x12x12

2 11x 1

lim11x 1 ex1x

x

11x

f(xx1

f(x)m

f(x)0 limln(1

)nlim

en ne01B ey ＝lim xx 1 xx1【答案】.解析：當(dāng)n2.lim1(12n)lim1n(n1)limn1.n1

n2sin2

nsin2 sin

x【答案】.解析：lim1cosx= 2= 2=lim 2 = x x x x x→0 2(2 sinxsin

1cos【答案】.解析：limtanxsinx=limcos

x x x x x=limsinx lim1cosx1x0 x0cosx x

2 -lim )x=lim(1u)ulim[(1u)u(1u)2]=[lim(1u)u]1[lim(1u)2]=ex2 ε＞0，x1,x2∈R,要使不等式︱sinx1-sinx22︱cosx1x2︱×︱sinx1x2︱≤︱xx︱＜ε成立.取δ＝ε ε＞0，δ＝ε＞0，x1,x2∈R，︱x1-x2︱＜δ，有︱sinx1-sinx2︱＜εf(x)=sinxR

，x

x

，limf(x)f

)1

2n x nx n

x 總額為n

x x（2）limA(1)Alim[(1 )xx x

即當(dāng)n時(shí) 總菩額趨于a2b1f(x

xx1x

f(x

f(x)1，

f(xab；又因?yàn)閒(1)1ab1limy2limyaa2b1x0 x0 －x2)· 【答案】y= y'·cosy=01+cos 則y'= 1+cos

·xsinxyxsinxlnysinxlnx）x1·y'cosxlnxsinxy'cosxlnxsin xsin 0【答案】-1.0cos

(cos

－sinlim =lim =

=

2x－ 2x－ ，所以【答案】中公教育解析：因 x=t?sin ?x=1?cost，速度大，所以y=1?cos ?y=sin?? 1?cos??2+sin??2，所以t=1時(shí)速度大小v1=1?cos12+sin12 2?2cos1fx在閉區(qū)間上連續(xù)在開區(qū) 內(nèi)可導(dǎo)；則存在ξ∈(a,b)，使f'()f(b)f(a)b證明：已知在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，構(gòu)造輔助函驗(yàn)證可得 又因?yàn)楹?在閉區(qū)上連續(xù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且 根據(jù)羅爾定理可知在內(nèi)至少有一點(diǎn)使得即 【答案】Dlimf(1xf(1)limaf(xaf(0)af(0)ab

1cos

x【答案】1.解析：lim 極限不存在，故不能用羅必達(dá)法則，改用其他方法求xx1cosxsin

1sinlim x1.xxsin x2【答案】解析：dy= sinln(1+2x)dx1+【答案】ex(cosx－sinx)dx

dy=(excosx－exsinx)dx=[ex(cosx－sin( y求導(dǎo)得：

=1+

dy0

xy

0lim

1+x2=

x =1 x

—

x→+∞1+x【答案】解析：因?yàn)?/p>

f(xlimxsin10=f(0，所以f(x在x=0 y= 0 limsin1，極限不存在，所以f(xx=0x→0 【答案】證明：構(gòu)造f(x)ln(1x作為輔助函數(shù).容易驗(yàn)證f(x在[0，x]上滿足'()(

(0,x，使f（x)－f(0）=f

1+ 1+<x，從而有1+x<ln(1+x)<x成立【答案】證明：當(dāng)x=y時(shí)，顯然成立；當(dāng)xy時(shí)，根據(jù)Lagrange中值定理，有sinxsinycosc(xy)，其中cxysinxsinycoscxyxy連續(xù)，（2）（ab）內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(af(b，則至少存在一點(diǎn)(a,bf'(0。若

(ne (nR(1)6

xn1（0＜θ

333311111 f'()f(b)f (a,b)使得g'(

g(b)證明：由題意構(gòu)造輔助函數(shù)h(xf(xf(bf(a)g(xg(b)

（1 f(b)f f(b)fh()0,f(x) g(x)， g(b) g'(

g(b)

—32—3【答案】

x2C

5 2dx 3

x2【答案】xarctanxC1x2

x21111x21

1+ dx=－ 2dx xarctanx1+1+1【答案】－（3－5x)4C (35x)3dx1(35x)3d(35x)1(35x)4 【答案】2xsin24cos2C2 2x

dx2xd

2x

2

dx2xsin

24sind2xsinx4cosx 【答案】D.解析：(1cosx)dxxsinx)

sin[

)]2

組成區(qū)間內(nèi)的大小.只有x2x,x[1,2]，故選C.π 4∫∫ ∫∫

lntdt)

lntdt－lnx 【答案】2xsinx2Gxsin(x2x2)'=2xsinx2=af(x)在[a,b]連續(xù).所以選【答案】解析：由fxab上的連續(xù)函數(shù)，故存在最大值M和最小值m, mfxMmdxf(x)dxMdx即m(baf(x)dxM(bab- bf0，故有ma ba

，由中值定理存在εa,b

ff(ε) bbf(ε)(ba f(x)dx成立a【答案】lnlnlnxC.解析：連續(xù)三次應(yīng) d(ln|x|)d(ln|lnx|)ln|lnlnx|xlnxlnln lnxlnln

lnln

y

處y'

2 x=2y(x2

sin =2【答案】Bf'(x

ln(2t)dt)'2xln(2

x→00x0

x3

f(t)dtx兩邊求導(dǎo)得f(x313x21x317x=201

xsint

dtlnx1 【答案】A.解析：∵ 5

52 ∴

-2-

2t＋

4π4-21 1

13 1333

)dx=(x－3x)

x)1= 2 1 2 5（2）Vx=∫0(1－x)dx=5

x－

x+x)0

1512 x,y12S2 x11dx 4x1dx62 102002301020023000101000011212120300011001002210212020

= (1+1·1

2+0

0

000000000 000000000

=

12n（1）2×1×2×3×4=24值為0。【答案】D。解析：nn2-n+1個(gè)元素為零，則至少有一行（或列）的元素全是零，所以它所對(duì)應(yīng)的行列式的值為0。21107211071010022=02214607D7=－2

D1D2D3D4

81198119022046281190021062181190221406211089 =∴x=D1=81=3,x=D2 108= x=D3

27=

x=

=

=D=0=0，=2，或=3時(shí)，齊次方程組有非零解. 0 0 0 0 【答案】B.解析：A= 2

c 1 4 4 4 0 0c2

03

2 02 0 0 2 4.【答案】B.解析：若=2為A的特征向量，則3A對(duì)應(yīng)的特征值為3，所以3A 3為4【答案】C.解析：因?yàn)?、2Ax0A1A20.對(duì)于選向量；對(duì)于選項(xiàng)DA330A(333A333DAEA

【答案】B.解析：（,,,）=（,,,）B，其中B= 1 1 2 3 A 230x2-xy+y2 2Aiii（i=1,2,3）A1,2,3122,33 1=- 所以矩陣P可逆，因此可得A=BP .而P1 2 6 2 3

19 9

,所以1 3 1 29

3 2

0 x x

xx 0y2yy'則y1y'故其 (程為(x1)2(

(y2)2(

0

z

1z3 2【答案】B。解析：設(shè)特征向量α=1所對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則Aα=λα 0 32 4 2 11=221λ=2 10 0 0 2TX=AX+B2y 1y2 2 y

31x=2x’-1y=3y’-2，代入9x2+4y2+18x+16y-110x2+y2=1L的方程x2+y2=11x1x 0 x y 【答案】B.解析：由已知的設(shè)曲面經(jīng)矩陣A變化后為 y y y 其

x

1y

4( ( A 2

4 Ae11,1,31,Ae30,1,13A(R3)Aa|aR3,, ,, 0 1 所以rank1,2,32又因?yàn)?,2A(R31,2將1,2smitch11222,114,7,1,

11 11 ,11 7 0

1

0

5

r r 0 4 0 0 0 7r42r1

0rr

7

7 4

0r

rr

2

0A 24, 213,A(1)13 4 A(1)12 12, (1)22 16, 2 A(1)13 10, 11, 2

0

c2c

從而A*

A

1c3

16

26 0

1A 2A 1x1axxay，即xxay,P(xy)在直線lx2y10 b0y

yxay2bx10(2b1)xay10

2b1a

1（2）由（1）知矩陣A 1 ，特征矩陣為 ．特征多項(xiàng)式 f() 121，令f()0，解得矩陣A的特征值＝ ，

2 1 1.設(shè)xyy2xy0【答案】xy2.解析：由M 可得M1 0 1x

1x' ，可得 1y y' 得：y'2x'y'y'0，化簡可得x'y'2，即xy2.所以曲線y2xy0在矩陣M1對(duì)應(yīng)的線 xy2.【答案】證明：設(shè)行向量分別為i(ai1,ai2 故選D.，故選【答案】D.Ax=0A2－3C，3－1=－（12）+32，也線性相關(guān)；故D正確. axby 當(dāng)非齊次性方程組：

bya線性相關(guān)，則nkm，即bka,bka，原方程組可化為axkay

當(dāng)ac a方程組有無窮多解，與方程組有唯一 ； a

c解，所以m(a,a)，n(b,b)線性無關(guān)

b x b1c（2）m(aan(b,b)

可逆，則

bcaxbyaxbyc

y

【參考答案】由題意得系數(shù)矩陣為

111 12 23 2

，經(jīng)過初等行變換得到

104 01 00 0 4 5 x4x 4，所以AX=0的基礎(chǔ)解系為1 ,2 所以通解為xkk，其x3x

1

0 1 2 0 11 4由題意得增廣矩陣為111 1，經(jīng)過初等行變換得到101 42 2 0 0 4 5x4x5x

x3x4x 1 0

9

0 1 ，所以通解為X=β+k1α1+k2α2=7k3k4，其中1 1 11 20 0 0 10 得出，從而各k10，即12,3線性表示.（2）4不能由1,2,3線性表示.如，1(1,0, ,2(1,0,0)T，3(0,1,0)T0,0,1)T，顯然，,,,,4,,

x

【答案】解析 矩陣的乘法、待定系數(shù)法，容易解題.設(shè)y，由A得 2x 3x2y x ，所以 ，則 3y 4x3y y 2A A

0

x3x0 4

4x4 4 3 3 即x x，取x4，得ξ4,9,4,3為原方程組的基礎(chǔ)解系，故通解為X kR xx3x 4 1 (Ab)

4

5510 5 0 0 5

x

2xx13x35x4

5原方程組等價(jià)于

x

x ，此方程組對(duì)應(yīng)導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為

9x2

x x 5 ξ2,0,9,5Tη1,0,1,0TXkkR A,, 1 6

1

31rr31

1

1,2

2 6

求解方程組，求x1,x2,x3. 1 1 a b 3 b 1 a a

1b 100 00

b45b

11a0b45b

11)x1x2x3的線性組合，且表示法惟一.此時(shí)得方程組axb4)x (a5b12)x x30,x2a,x11a(1a)1a2 0 1 1 1 1 k m1 k m1 k當(dāng)m1時(shí),rA)rA)3當(dāng)m1,k1時(shí),rA)rA當(dāng)m1,k1時(shí),rArA23)2x13x2x3027x2

0x13x2x3方程組 7x2

17x0,得

3，非齊次方程組的一個(gè)特解為3,10)T 737 1 xt7t0tR 0

axbyczd a b c d

若向量v v

，

axbycz2 2

ax

b c 3 3 3 x1v1y1v2z1v3d，（1）

兩式作差得(xx)vyy)vzz

，因

2

2

2

2

3 3 3

c1d

axbycz

有唯一解(x,y

，假設(shè)v

，v

，vc 2 2 2axb 2 2 2 3 3 31 1 1 程組axbyczd的解，與線性方程組有唯一 。綜上，線性方程組axbycz axbycz

a b c 有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)向量v

a，a

2c b cc3 3 3 的切面方：2xy2z16，故選B.方法二：曲 x2y2z22x2y4z3 的球面.標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)2(z1)2dg

2121(-1)22 22(1)2

x2

1；

1f(y,z)

【答案】B.解析：拋物線Γ：x f x2y2z0Γ

y22x x2y222pzx2y22pz 為x2y2

1 x1y2z3x1y2z3.

11

,平面的法向量n{4,2,1}1:4

1:2

11,,24 故sn,所以,直線與平面垂直.(2s{3,0,2}n{0,1,0}【答案】解析：繞z軸旋轉(zhuǎn),所以在方程(yb)2z2a2中保留z不變,而y用 替就得到旋轉(zhuǎn)曲面方程( b)2z2a2,或(x2y2z2b2a2)24b2(x2y2)x y

x,在方程a2b20(abxx y zx2y用 代x2y

b2b21ax2y2z a2

a2

x y z c 則入射光線所在直線過原點(diǎn)且在yoz坐標(biāo)面上所以入射光線的直線方 ztan600y 3y(y0)，反射光線與入射光線關(guān)于z軸對(duì)稱，所以反射光線的直線方 z3y(y0)。而此時(shí)法線為z軸， 得到 z x2y2,z23(x2y2)x y z【答案】A。解析：直線L的標(biāo)準(zhǔn)方

x

y

z

【答案】B(acbabcb，故選B【答案】解析：因?yàn)榍蛎娣絰?12+y?12+z?12=169，所以可以轉(zhuǎn)化fx,yz=x12+y12+z12169，所以Fxx,yz=2x1，F(xiàn)yx,yz=2y1Fzx,yz=2z1，所以Fx4,5,13=2×41=6，F(xiàn)y4,5,13=2×51=8，F(xiàn)z4,5,13=2=切平面方6x?4+8y?5+24z?13=0【答案】相交，

=（2，1，1， mn1n2 13i3j3k=（-3，3，3）.mn=-9-3+6=-6lπ sincosm,nmnm

42 2222cos 3解得λ4

平面束中未包含平面x-z+4=0，驗(yàn)證可知也滿足題意，所以所求平面方x+20y+7z-12=0或x2y21與平面π：px+qy+z=0的交線。平面π坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的P（x，y，zx2y2