2015年全國碩士研究生考試《數(shù)學二》試題（網(wǎng)友回憶版）

2015年全國碩士研究生考試《數(shù)學二》試題（網(wǎng)友回憶版）[單選題]1.下列反常積分收斂的是()。A.INCLUDEPICT（江南博哥）URE\d"/huixue_img/importSubject/6b1e77dc9e974a0589b2a064d0916642.png"INETB.C.D.參考答案：D參考解析：不定積分故反常積分存在。所以是收斂的。故選D項。[單選題]2.函數(shù)在（－∞，＋∞）內(nèi)()。A.連續(xù)B.有可去間斷點C.有跳躍間斷點D.有無窮間斷點參考答案：B參考解析：∵∴f（x）在x＝0點左右極限都存在且f（0＋）＝f（0－）＝1，又由于f（x）在x＝0無定義，根據(jù)間斷點定義及性質(zhì)判斷，f（x）有可去間斷點x＝0。故選B項。[單選題]3.設(shè)函數(shù)若f′（x）在x＝0處連續(xù)，則()。A.α－β＞1B.0＜α－β≤1C.α－β＞2D.0＜α－β≤2參考答案：A參考解析：當x＜0時，f′（x）＝0，f－′（0）＝0。當x＞0時，有運用單側(cè)極限的定義，有∵f′（x）在x＝0處連續(xù)，∴得到α－1＞0。又綜上可得α－β－1＞0，故答案選A項。[單選題]4.設(shè)函數(shù)f（x）在（－∞，＋∞）連續(xù)，其2階導函數(shù)f″（x）的圖形如圖1所示，則曲線y＝f（x）的拐點個數(shù)()。圖1A.0B.1C.2D.3參考答案：C參考解析：函數(shù)f（x）在（－∞，＋∞）內(nèi)連續(xù)，觀察圖1可知，函數(shù)f（x）在除去點x＝0外處處二階可導。如圖1所示，雖然f″（0）不存在，但在點x＝0兩側(cè)f″（x）異號，因此（0，f（0））是y＝f（x）的拐點。A點處二階導數(shù)為0，且A點兩側(cè)f″（x）異號，根據(jù)拐點的定義知，A點為曲線的拐點。B點處雖然二階導數(shù)也為0，但是B點兩側(cè)f″（x）都是大于0，因此，B點不是拐點。[單選題]5.設(shè)函數(shù)f（u，v）滿足f（x＋y，y/x）＝x2－y2，則與依次是()。A.1/2，0B.0，1/2C.－1/2，0D.0，－1/2參考答案：D參考解析：令u＝x＋y，v＝y(tǒng)/x，則x＝u/（1＋v），y＝uv/（1＋v）。將上式代入f（x＋y，y/x）＝x2－y2，可以得到f（x＋y，y/x）關(guān)于u，v的表達式，即∵∴故答案選D項。[單選題]6.設(shè)D是第一象限中的曲線2xy＝1，4xy＝1與直線y＝x，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f（x，y）在D上連續(xù)，則()。A.B.C.D.參考答案：B參考解析：平面區(qū)域D的圖形為圖2中陰影部分。圖2作極坐標變換，令則該二重積分區(qū)域變?yōu)樗怨蚀鸢高xB項。[單選題]7.設(shè)矩陣若集合Ω＝{1，2}，則線性方程Ax＝b有無窮多個解的充分必要條件為()。A.a?Ω，d?ΩB.a?Ω，d?ΩC.a?Ω，d?ΩD.a?Ω，d∈Ω參考答案：D參考解析：Ax＝b的增廣矩陣，即∵線性方程Ax＝b有無窮多個解的充要條件是r（A）＝r（A，b）＜3?！郺＝1或a＝2同時d＝1或d＝2。故答案選D項。[單選題]8.設(shè)二次型f（x1，x2，x3）在正交變換x＝Py下的標準型為2y12＋y22－y32，其中P＝（e1，e2，e3），若Q＝（e1，－e3，e2</sub>），則f＝（x1，x2，x3）在正交變換x＝Qy下的標準型為()。A.2y12－y22＋y<sub>3sub>2B.2y12＋y22－y_{3sub>2C.2y12－y22－y_{3sub>2D.2y12＋y22＋y_{3sub>2參考答案：A參考解析：∵正交變換x＝Py下的標準型f（x）＝xTAx＝y(tǒng)T（PTAP）y＝2y12＋y22－y3²，即得到∴f（x）＝xTAx＝y(tǒng)T（QTAQ）y＝2y12－y22＋y3²，故答案選A項。[問答題]1.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x＋aln（1＋x）＋bxsinx，g（x）＝kx3，若f（x）與g（x）在x→0是等價無窮小，求a，b，k的值。參考答案：方法一：利用泰勒公式展開，ln（1＋x）＝x－x2/2＋x3/3＋o（x3），sinx＝x－x3/3?。玱（x3），則有可得方法二：運用洛必達法則求解因為分母極限為0，若需極限存在，則分子的極限為0，故可得a＝－1。因為分母極限為0，若需極限存在，則分子的極限為0，故可得b＝－1/2。故可得k＝－1/3。綜上可得a＝－1，b＝－1/2，k＝－1/3。[問答題]2.（本題滿分10分）設(shè)A＞0，D是由曲線段y＝Asinx（0≤x≤π/2）及直線y＝0，x＝π/2所圍成的平面區(qū)域，V1，V2分別是D繞x軸與y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積，若V1＝V2，求A的值。參考答案：由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，得（下式中的f（x）即為y）由V1＝V2求得A＝8/π。[問答題]3.（本題滿分10分）已知函數(shù)f（x，y）滿足fxy″＝2（y＋1）ex，fxsub>′（x，0）＝（x＋1）ex，f（0，y）＝y(tǒng)2＋2y，求f（x，y）的極值。參考答案：fxy″＝2（y＋1）ex兩邊對y積分，得到fx′（x，y）＝2（y2/2＋y）ex＋φ（x）＝（y2＋2y）ex＋φ（x）。所以fx}′（x，0）＝φ（x）＝（x＋1）ex，即fx}′（x，y）＝（x＋1）ex＋（y2＋2y）ex。兩邊再對x積分，得又f（0，y）＝y(tǒng)2＋2y＋?（y）＝y(tǒng)2＋2y，解得?（y）＝0，所以f（x，y）＝（y2＋2y）ex＋xex。令解得∵fxx″＝（y2＋2y）ex＋2ex＋xex，fxyb>″＝2（y＋1）ex，fyy}″＝2ex?！喈敃r，A＝fxx″（0，－1）＝1，B＝fxy″（0，－1）＝0，C＝fyy″（0，－1）＝2。∵AC－B2＞0，∴f（x，y）的極小值為－1，極小值點（0，－1）。[問答題]4.（本題滿分10分）計算二重積分∫∫x（x＋y）dxdy，其中D＝{（x，y）x2＋y2≤2，y≥x2}。參考答案：根據(jù)對稱性可知，所以有[問答題]5.（本題滿分10分）已知函數(shù)求f（x）零點的個數(shù)。參考答案：令得駐點為x＝1/2?！咴冢ǎ蓿?/2）內(nèi)，f（x）單調(diào)遞減，在（1/2，＋∞）內(nèi)，f（x）單調(diào)遞增，∴f（1/2）為唯一的極小值，也是最小值。∵當t∈（1/2，1）時，當t∈（1/4，1/2）時，∴從而f（1/2）＜0。運用洛必達法則，考察所以故函數(shù)f（x）在（－∞，1/2）及（1/2，＋∞）上各有一個零點，所以零點的個數(shù)為2。[問答題]6.（本題滿分11分）已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時刻物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為120℃的物體在20℃的恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后，該物體溫度降至30℃，若要物體的溫度繼續(xù)降至21℃，還需要冷卻多長時間？參考答案：設(shè)t時刻物體的溫度為x（t）（t單位：小時），比例常數(shù)為k（＞0），介質(zhì)溫度為m，則dx/dt＝k（x－m），從而x（t）＝Cekt＋m，x（0）＝120，m＝20，所以C＝100。則t時刻物體溫度方程為x（t）＝100ekt＋20?！選（1/2）＝30，∴k＝－（ln10）/30?！喈攛＝21時，t＝60。故還需要冷卻30min。[問答題]7.（本題滿分11分）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，＋∞）上具有2階導數(shù)，f（a）＝0，f′（x）＞0，f″（x）＞0，設(shè)b＞a，曲線y＝f（x）在點（b，f（b））處的切線與x軸的交點是（x0，0），證明：a＜x0＜b。參考答案：證明：根據(jù)題意，切線方程為y＝f′（b）（x－b）＋f（b）。切線方程與x軸的交點為，則∵f′（x）＞0，b＞a，∴f（b）＞f（a）＝0，故下面證明由于f′（b）＞0，故不等式可化為bf′（b）－f（b）＞af′（b）。令F（x）＝xf′（x）－f（x）－af′（x），F(xiàn)（a）＝0，F(xiàn)′（x）＝（x－a）f″（x）＞0，故F（x）在[a，＋∞）單調(diào)遞增。于是可知x＞a時，F(xiàn)（x）＞0，即xf′（x）－f（x）－af′（x）＞0，令x＝b即得證畢。[問答題]8.（本題滿分11分）設(shè)矩陣且A3＝O。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若矩陣X滿足X－XA2－AX＋AXA2＝E，其中E為3階單位矩陣，求X。參考答案：（Ⅰ）由A3＝O，得得a＝0。（Ⅱ）由題意知X－XA2－AX＋AXA2＝E?X（E－A2）－AX（E－A2）＝E?（E－A）X（E－A2）＝E?X＝（E－A）－1（E－A2）－1＝[（E－A2）（E－A）]－1?X＝（E－A2－A）－1上式由行初等變換得到。所以[問答題]9.（本題滿分11分）設(shè)矩陣相似于矩陣（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求可逆矩陣P，使P－1AP為對角矩陣。參考答案：（Ⅰ）矩陣A相似于矩陣B，則tr（A）＝tr（B），得3＋a＝1＋b＋1。又所以（Ⅱ）C的特征值為λ1＝λ2＝0，λ3＝4。當λ＝0時，（0E－C）x＝0的基礎(chǔ)解系為ξ1＝（2，1，0）T，ξ2sub>＝（－3，1，0）T；當λ＝4時，（4E－C）x＝0的基礎(chǔ)解系為ξ3＝（－1，－1，1）T。A的特征值λA＝1＋λC＝1，1，5?！嗲襕填空題]1.設(shè)，則()。參考答案：48參考解析：∵∴∴[填空題]2.函數(shù)f（x）＝x2·2x在x＝0處的n階導數(shù)f（n）（0）＝()。參考答案：n（n－1）（ln2）n－2參考解析：根據(jù)萊布尼茨公式得所以[填空題]3.設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，若φ（1）＝1，φ′（1）＝5，則f（1）＝()。參考答案：2參考解析：已知求導得從而有則f（1）＝2。[填空題]4.設(shè)函數(shù)y＝f（x）是微分方程y″＋y′－2y＝0的解，且在x＝0處y（x）取得極值3，則y（x）＝()。參考答案：e－2x＋2ex參考解析：根據(jù)題意得：y（0）＝3，y′（0）＝0。由微分方程y″＋y′－2y＝0得特征方程：λ2＋λ－2＝0解得λ1＝－2，λ2＝1，所以微分方程的通解為y＝C1ex＋C2e^－2x。將y（0）＝3，y′（0）＝0代入，解得C1＝2，C2＝1，故y（x）＝e－2xup>＋2ex。[填空題]5.若函數(shù)z＝z（