中考數(shù)學(xué)精創(chuàng)專題-高頻考點(diǎn)突破-圓的切線的證明

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明1．如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作的切線，交的延長線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：與相切；(2)延長交的延長線于點(diǎn)F．若，，求的半徑長．2．如圖，在中，，以為直徑作⊙O交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：是⊙O的切線；(2)若，，求的長．3．如圖，在中，，以為直徑的與邊分別交于D，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H．(1)與的位置關(guān)系為__________，并證明你的結(jié)論．(2)若，，請你直接寫出__________．4．如圖，是的直徑，弦平分．(1)過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，與相似嗎？為什么？5．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)E，點(diǎn)D在上，，是的外接圓，交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為10，，求．6．如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連結(jié)AD．已知∠CAD=∠B,（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半徑．7．如圖，AB為⊙O的直徑，直線l經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，AC平分∠DAB．（1）求證：直線l是⊙O的切線；（2）若DC＝4，DE＝2，求線段AB的長．8．如圖，PB為⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC，AF，（1）求證：直線PA為⊙O的切線；（2）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC、EF是⊙O的弦，且EF垂直AB于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，CD與FE延長線交于D點(diǎn)，CD＝DH．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若H為BC中點(diǎn)，AB＝10，EF＝8，求CD的長．10．如圖，的直徑為，弦為，、分別是的平分線與，的交點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，且．求、的長；試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．11．如圖，⊙O的直徑AD長為6，AB是弦，CD∥AB，∠A=30°，且CD=．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求證：BC是⊙O的切線．12．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠BAC=60°，AD=6，求AC的長．13．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD=CB、連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的長．14．如圖，AB是⊙O的直徑，，E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)F，使EF=CE．連接AF交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BF．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若OB=2，求BD的長．15．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)且滿足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圓，過點(diǎn)P作PD∥AB交AC于點(diǎn)D．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若BC=8，tan∠ABC=，求⊙O的半徑．16．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，且AB=BC=CD，AB∥CD，連接BD．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若AB=10，cos∠BAC=，求BD的長及⊙O的半徑．17．如圖，△ABC中，∠C=90o，∠ABC=2∠A，點(diǎn)O在AC上，OA=OB,以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若BC=3，求圖中陰影部分的面積．18．如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作直線EP與CD的延長線交于點(diǎn)P，使∠PED=∠C．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）求證：ED平分∠BEP.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)見解析(2)3【分析】（1），垂徑定理得，得到，，為的切線，即與相切；（2）由（1）得，為的切線，即得，因?yàn)?，所以，，然后列出等式即可．【解析】?）證明：∵為的切線，∴，∵，∴，在和中∵∴，∴，與相切；（2）解：由（1）得，，∵，∴，，∵，∴在，設(shè)，則，，，∵，，，∴在，，，∵為的切線，∴，由（1）得，∵，∴，∵，∴∵在中，，∴，∵，∴．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理和相似三角形性質(zhì)等內(nèi)容．2．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，利用圓周角定理得到，再證，從而得到，最后證得結(jié)論；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，由圓周角定理得到，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義和勾股定理求得，證得是的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求出．【解析】（1）證明：如圖，連接，，是的直徑，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，是的切線；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，是直徑，，，不妨設(shè)，，則，，，解得，．，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線，．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．(1)與相切，證明見解析；(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)為直徑可得，結(jié)合，即可得到，根據(jù)圓周角定理可得，即可得到，即可得到，結(jié)合，即可得到答案；（2）由（1）得，，即可得到，根據(jù)，，，可得，結(jié)合勾股定理即可得到答案；【解析】（1）解：與相切，證明：連接，，∵為直徑，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴與相切；（2）解：由（1）得，∵，，∴，∵，，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得，，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得，；【點(diǎn)評】本題考查圓的切線證明，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線．4．(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則即為所求；（2）根據(jù)是的直徑，得出,根據(jù)，得出，則，根據(jù)角平分線的定義得出，即可證明【解析】（1）解：如圖所示，即為所求，理由如下，連接弦平分．∴∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；（2），理由如下，連接，如圖，又∵弦平分．∴，∵，∴，∴∴，∵是的切線，∴，∴，又∵是的直徑，∴，∴，∴．【點(diǎn)評】本題考查了作垂線，切線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由得到，為直徑，則，進(jìn)一步證明，由即可得到，結(jié)論得證；（2）證明得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到答案．【解析】（1）解：連接，∵，∴，∴為直徑，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線（2）∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)評】此題考查了圓的切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等知識，熟練掌握圓的切線的判定和相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．6．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接OD，由OD=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到∠1=∠3，求出∠4為90°，即可得證；（2）設(shè)圓的半徑為r，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長，再利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解析】（1）證明：連接，，，，，在中，，，，則為圓的切線；（2）設(shè)圓的半徑為，在中，，根據(jù)勾股定理得：，，在中，，，根據(jù)勾股定理得：，在中，，即，解得：．【點(diǎn)評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（1）詳見解析；（2）AB＝10．【分析】（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA；隨之利用垂直即可解答.(2)連接BE交CO于M,得出四邊形DEMC是矩形，利用勾股定理即可解答.【解析】（1）證明：連接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，又∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，又∵CD⊥AD，即∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，則CD是圓O的切線；（2）解：連接BE交CO于M，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴四邊形DEMC是矩形，∴OC⊥BE，∴BM＝EM＝CD＝4，在Rt△OMB中，BM2+OM2＝OB2，∴42+（r﹣2）2＝r2，∴r＝5，∴AB＝10．【點(diǎn)評】本題考查切線的判定，一般利用線段垂直或者證明直角三角形的方法來解決.8．（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OB，先由切線的性質(zhì)得出∠OBP=90°，再證明△OPA≌△OPB，由對應(yīng)角相等得出∠OAP=∠OBP=90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求得OD＝BC＝3，設(shè)AD＝x，再由tan∠F＝得FD＝2x，則OA＝OF＝2x﹣3，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出x，求出AB、AC的長，即可求出cos∠ACB的值求出．【解析】證明：（1）連接OB，∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴OA⊥PA，∴直線PA為⊙O的切線；（2）∵OA＝OC，AD＝DB，∴OD＝BC＝3，設(shè)AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，則OA＝OF＝2x﹣3，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即（2x﹣3）2＝32+x2，解得，x＝4，則AD＝4，AB＝8，∵AC是直徑∴∠ABC＝90°∴AC＝＝10∴cos∠ACB＝＝=【點(diǎn)評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵9．(1)見解析;(2).【分析】（1）要求證：DC是圓O的切線，只要證明OC⊥PC即可．（2）先求出，CH=，F(xiàn)H=4+，進(jìn)而判斷出△DHM∽△BHG，即可得出結(jié)論．【解析】（1）連接OD、OC相交于M，∵∠ACB＝90°，CO＝AO，∴∠ACO＝∠CAO，∠CAO+∠B＝90°，∠B+∠BHG＝90°．∴∠CAO＝∠BHG．∵DC＝DH，∴∠DCH＝∠DHC．∴∠DCH＝∠ACO．∴∠DCH+∠HCO＝∠ACO+∠OCH＝90°．∴OC⊥PC．即DC為切線．（2）∵AB＝10，EF＝8，EF垂直AB，∴EG＝4＝GF．∴OG＝3，∴BG＝2．如圖1，在Rt△BFG中，BF＝∵H為BC中點(diǎn)，∴BH＝CH，設(shè)EH＝x，則FH＝8﹣x，HG＝4﹣x，根據(jù)相交弦定理得，BH?CH＝EH?FH，∴BH2＝x（8﹣x），在Rt△BHG中，BH2﹣HG2＝BG2，∴x（8﹣x）﹣（4﹣x）2＝4，∴x＝4+（舍）或x＝4﹣，∴HG＝，BH＝CH＝，F(xiàn)H＝4+，過點(diǎn)D作DM⊥CH于M，∵CD＝HD∴MH＝CH＝∵∠DHM＝∠BHG，∠DMH＝∠BGH＝90°，∴△DHM∽△BHG，∴，∴，∴DH＝，∴CD＝．【點(diǎn)評】考查了切線的判定．證明一條直線是圓的切線，只要證明直線經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)，且垂直于這條半徑就可以．證明線段的積相等的問題可以轉(zhuǎn)化為三角形相似的問題．10．（1），；直線與相切，理由詳見解析．【分析】（1）連接BD，利用直徑所對的圓周角是直角得兩個(gè)直角三角形，再由角平分線得：∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所對的圓周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角邊AD=5，AC的長也是利用勾股定理列式求得；（2）連接半徑OC，證明垂直即可；利用直角三角形中一直角邊是斜邊的一半得：這條直角邊所對的銳角為30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度數(shù)，最后求得∠OCP=90°，結(jié)論得出.【解析】解:（1）連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°'，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°，∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=BD==5，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴AC==5，∴，；直線與相切，理由是：連接，在中，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴直線與相切．【點(diǎn)評】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交；重點(diǎn)是相切，本題是?？碱}型，在判斷直線和圓的位置關(guān)系時(shí)，首先要看直線與圓有幾個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定其位置關(guān)系，在證明直線和圓相切時(shí)有兩種方法：①有半徑，證明垂直，②有垂直，證半徑；本題屬于第①種情況.11．（1）60°；（2）見解析【分析】（1）連接BD，由AD為圓的直徑，得到∠ABD為直角，再利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BD的長，根據(jù)CD與AB平行，得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，確定出∠CDB為直角，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tanC的值，即可確定出∠C的度數(shù)；（2）連接OB，由OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由CD與AB平行，得到一對同旁內(nèi)角互補(bǔ)，求出∠ABC度數(shù)，由∠ABC﹣∠ABO度數(shù)確定出∠OBC度數(shù)為90，即可得證；【解析】（1）如圖，連接BD，∵AD為圓O的直徑，∴∠ABD=90°，∴BD=AD=3，∵CD∥AB，∠ABD=90°，∴∠CDB=∠ABD=90°，在Rt△CDB中，tanC=，∴∠C=60°；（2）連接OB，∵∠A=30°，OA=OB，∴∠OBA=∠A=30°，∵CD∥AB，∠C=60°，∴∠ABC=180°﹣∠C=120°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=120°﹣30°=90°，∴OB⊥BC，∴BC為圓O的切線．【點(diǎn)評】此題考查了切線的判定，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．12．（1）詳見解析（2）2【分析】（1）連接OD，如圖，先證明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到DE⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）作OH⊥AC于H，如圖，利用垂徑定理得到AH=CH，再在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出DE=AD=3，易得四邊形ODEH為矩形，所以O(shè)H=DE=3，然后在Rt△OAH中計(jì)算出AH，從而計(jì)算2AH即可得到AC的長．【解析】(1)證明：連接OD,如圖,∵∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，∴∠1=∠2，∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線；(2)作OH⊥AC于H，如圖，則AH=CH，∵∠BAC=60°，∴∠2=30°，在Rt△ADE中,DE=AD=3，易得四邊形ODEH為矩形，∴OH=DE=3，在Rt△OAH中,∵∠OAH=60°，∴AH==，∴AC=2AH=2.【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理與切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握圓周角定理與切線的判定與性質(zhì).13．（1）相切，證明見解析；（2）6.【分析】（1）欲證明CD是切線，只要證明OD⊥CD，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△OBE中，根據(jù)OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E=，推出，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解決問題．【解析】解：（1）相切，理由如下，如圖，連接OC，∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，AB=2r=6，∵tan∠E=，∴，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，AC=．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)知識解決問題是關(guān)鍵．14．（1）證明見解析；（2）BD=．【分析】（1）連接OC，由已知可得∠BOC=90°，根據(jù)SAS證明△OCE≌△BFE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得∠OBF=∠COE=90°，繼而可證明直線BF是⊙O的切線；（2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的長，然后由S△ABF=，即可求出BD=．【解析】解：（1）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，，∴∠BOC=90°，∵E是OB的中點(diǎn)，∴OE=BE，在△OCE和△BFE中，，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直線BF是⊙O的切線；（2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF=，∴S△ABF=，即4×2=2BD，∴BD=．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的不同表示方法，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．15．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）先根據(jù)圓的性質(zhì)得：，由垂徑定理可得：OP⊥AB，根據(jù)平行線可得：OP⊥PD，所以PD是⊙O的切線；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)設(shè)CG=x，BG=2x，利用勾股定理計(jì)算x=，設(shè)AC=a，則AB=a，AG=﹣a，在Rt△ACG中，由勾股定理列方程可得a的值，同理設(shè)⊙O的半徑為r，同理列方程可得r的值．【解析】解：（1）如圖1，連接OP，∵PA=PB，∴，∴OP⊥AB，∵PD∥AB，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切線；（2）如圖2，過C作CG⊥BA，交BA的延長線于G，Rt△BCG中，tan∠ABC=，設(shè)CG=x，BG=2x，∴BC=x，∵BC=8，即x=8，x=，AC=a，則AB=a，AG=﹣a，在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2，∴(﹣a)2+()2=a2，a=2，∴AB=2，BE=，Rt△BEP中，同理可得：PE=，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=r，OE=r﹣，由勾股定理得：r2=(r-)2+()2，r=，答：⊙O的半徑是．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理的計(jì)算等，綜合性較強(qiáng)，熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.16．（1）證明見解析；（2）BD=12，⊙O的半徑為【解析】【分析】（1）如圖1，作直徑BE，半徑OC，證明四邊形ABDC是平行四邊形，得∠A=∠D，由等腰三角形的性質(zhì)得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以BD是⊙O的切線；（2）如圖2，根據(jù)三角函數(shù)設(shè)EC=3x，EB=5x，則BC=4x根據(jù)AB=BC=10=4x，得x的值，求得⊙O的半徑為，作高線CG，根據(jù)等腰三角形三線合一得BG=DG，根據(jù)三角函數(shù)可得結(jié)論．【解析】（1）如圖1，作直徑BE，交⊙O于E，連接EC、OC，則∠BCE=90°，∴∠OCE+∠OCB=90°，∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴∠A=∠D，∵OE=OC，∴∠E=∠OCE，∵BC=CD，∴∠CBD=∠D，∵∠A=∠E，∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC+∠CBD=90°，即∠EBD=90°，∴BD是⊙O的切線；（2）如圖2，∵cos∠BAC=cos∠E=，設(shè)EC=3x，EB=5x，則BC=4x，∵AB=BC=10=4x，x=，∴EB=5x=，∴⊙O的半徑為，過C作CG⊥BD于G，∵BC=CD=10，∴BG=DG，Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC=，∴，∴DG=6，∴BD=12．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定、解直角三角形的應(yīng)用等，有一定的綜合性，正確添加輔助線構(gòu)建圖形是解題的關(guān)鍵.