高中數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)設(shè)計(jì)第一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二目錄一.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性二.數(shù)學(xué)概念教學(xué)“教什么”三.數(shù)學(xué)概念教學(xué)典型案例分析第二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二一.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性知名華人數(shù)學(xué)家、哈佛大學(xué)教授丘成桐興沖沖地趕到杭州，去與一群剛在高考中取得好成績(jī)的數(shù)學(xué)尖子見面。結(jié)果卻讓他頗為失望：“大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)根本沒有清晰的概念，對(duì)定理不甚了了，只是做習(xí)題的機(jī)器。這樣的教育體系，難以培養(yǎng)出什么數(shù)學(xué)人才。”第三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二李邦河院士：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”概念教學(xué)常常采用“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法，嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正．否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空．第四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二數(shù)學(xué)是用概念思維的，在概念學(xué)習(xí)中養(yǎng)成的思維方式，其遷移能力也最強(qiáng)．?dāng)?shù)學(xué)概念教學(xué)的意義，不僅在于使學(xué)生掌握“書本知識(shí)”，更重要的是讓他們從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦，學(xué)會(huì)用概念思維，進(jìn)而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力。第五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二二.數(shù)學(xué)概念教學(xué)“教什么”1.教數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)概念：反映事物本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物.數(shù)學(xué)：空間形式和數(shù)量關(guān)系.數(shù)學(xué)概念：反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物.本質(zhì)屬性：共有性，特有性，整體性；相對(duì)性：在一定范圍內(nèi)保持不變的性質(zhì)是“本質(zhì)屬性”，而可變的性質(zhì)則是“非本質(zhì)屬性”。第六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（1）概念教學(xué)的關(guān)鍵是揭示本質(zhì)屬性示例1：集合概念的教學(xué)幼兒園孩子學(xué)習(xí)集合。應(yīng)如何學(xué)習(xí)集合？示例2：數(shù)列概念的教學(xué)數(shù)列的本質(zhì)是什么？應(yīng)如何學(xué)習(xí)數(shù)列？第七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二示例3：函數(shù)概念的本質(zhì)設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A.其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.第八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二進(jìn)一步思考：函數(shù)的本質(zhì)究竟是什么？A.“非空數(shù)集”是函數(shù)的本質(zhì)屬性之一嗎？B.“單值對(duì)應(yīng)”是函數(shù)的本質(zhì)屬性之一嗎？C.“對(duì)應(yīng)法則”是函數(shù)的本質(zhì)屬性之一嗎？D.A同f同、但B不同的兩個(gè)函數(shù)，是否為同一個(gè)函數(shù)？E.函數(shù)本質(zhì)上是一種人為約定的特殊“對(duì)應(yīng)”.第九頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二第十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)凸顯概念本質(zhì)的基本策略是“變式教學(xué)”變化當(dāng)中保持不變的屬性就是事物的本質(zhì)屬性。變式是變更對(duì)象的非本質(zhì)屬性或本質(zhì)屬性特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對(duì)象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素。概念變式和非概念變式，統(tǒng)稱為概念性變式.第十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二示例4：復(fù)數(shù)的本質(zhì)二元的復(fù)數(shù)不僅有數(shù)量意義,而且還有方向意義，“數(shù)量加方向”是復(fù)數(shù)的本質(zhì)屬性。用幾何形式表示：它的意義是一個(gè)向量，其本質(zhì)特征是向量的長(zhǎng)度和方向;用三角形式表示：在z=r(cosθ+isinθ)中，r表示復(fù)數(shù)向量的長(zhǎng)度，θ表示復(fù)數(shù)向量的方向；用代數(shù)形式表示:在z=a+bi中，復(fù)數(shù)向量的長(zhǎng)度是“

”，“

”就表示了復(fù)數(shù)向量的方向。第十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二示例5：向量的數(shù)量積①代數(shù)表征：，說明兩個(gè)向量的數(shù)量積是3個(gè)實(shí)數(shù)的乘積。②幾何意義：叫做在的方向上的投影，故數(shù)量積在圖形上表征為兩條線段“長(zhǎng)度”的乘積。③變式理解：第十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二(3)背會(huì)數(shù)學(xué)定義不等于掌握了數(shù)學(xué)概念示例6：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么事件發(fā)生的概率P（A）=p。頻率穩(wěn)定于概率，是不是說頻率的極限是概率？頻率穩(wěn)定于p，能不能寫成：第十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二①只有大量試驗(yàn)的頻率才能作為概率的估計(jì).頻率總可以作為概率的估計(jì),試驗(yàn)次數(shù)的多少只是影響估計(jì)的精度,試驗(yàn)次數(shù)隨實(shí)際問題而定.

②把“用頻率估計(jì)概率”錯(cuò)誤地理解為用頻率的穩(wěn)定值估計(jì)概率或頻率的穩(wěn)定值是概率的估計(jì)等.

頻率的穩(wěn)定值就是概率,但僅從試驗(yàn)中我們無法知道頻率的穩(wěn)定值具體是多少.第十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二③

“試驗(yàn)次數(shù)少頻率不準(zhǔn)確”

“隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加頻率越來越接近概率”.頻率隨試驗(yàn)結(jié)果而改變,沒有準(zhǔn)確與不準(zhǔn)確的問題.試驗(yàn)結(jié)果確定了,頻率就定了.試驗(yàn)次數(shù)的增加，不能絕對(duì)保證頻率越來越接近概率.只是當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.第十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（4）概念教學(xué)應(yīng)“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”陳省身：“當(dāng)然不能考定義、定理，只能考具體問題，看你能不能把定義落實(shí)到例子上”。示例7：對(duì)稱軸，角；導(dǎo)數(shù)，定積分思考：，是指數(shù)函數(shù)嗎？，是對(duì)數(shù)函數(shù)嗎？給出一個(gè)函數(shù)，怎么知道它能否變成一個(gè)指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)呢？第十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.教數(shù)學(xué)概念的過程示例8：直線的方向向量與平面的法向量①為什么要提出方向向量與法向量的概念？如何來刻畫直線與平面的方向？為什么要用向量平行來刻畫直線的方向？為什么要用向量的垂直來刻畫平面的方向？①李祎.基于探究學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究,《數(shù)學(xué)通報(bào)》，2009年第2期第十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二示例9：函數(shù)的單調(diào)性（形式化過程）單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)大體從三個(gè)層次展開：首先，觀察圖像，描述變化規(guī)律，如上升、下降，從幾何直觀角度加以認(rèn)識(shí)；其次，結(jié)合圖、表，用自然語言描述，即因變量隨自變量的增大而增大（或減?。?；最后，用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述變化規(guī)律，逐步實(shí)現(xiàn)用精確的數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的變化規(guī)律。第十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二教學(xué)的困惑：從圖像上不難獲得圖像“上升”或“下降”的直觀特征，但為什么還要進(jìn)一步來研究它呢？解釋和說明：“上升”“下降”是一種日常語言，用日常語言描述“單調(diào)增”“單調(diào)減”這樣的數(shù)學(xué)性質(zhì)是不夠準(zhǔn)確的。能否用數(shù)學(xué)語言來描述函數(shù)的這種特點(diǎn)呢？如果可以的話，又該如何來描述呢？這時(shí)結(jié)合圖像的特點(diǎn)，即它是“函數(shù)”的圖像，從而根據(jù)函數(shù)的意義，自然過渡到第二個(gè)層次。第二十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二教學(xué)的難點(diǎn)：如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語言來描述遞增的特征，這其中有兩個(gè)難點(diǎn)：第二十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.教數(shù)學(xué)概念的方法數(shù)學(xué)概念是基于問題解決的需要而建立的。但有的數(shù)學(xué)概念本身就蘊(yùn)含著解決問題的方法。這時(shí)教師在教學(xué)中需要著重思考：概念解決的是什么類型的問題？解決問題的思路與方法是什么？不能將數(shù)學(xué)概念教學(xué)簡(jiǎn)單化，以為學(xué)生會(huì)利用概念進(jìn)行推理和運(yùn)算就是理解了概念。第二十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二示例10：古典概型與幾何概型解決問題：隨機(jī)試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率；適用條件：兩者均是等可能概型，古典概型適用于試驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)的情形，幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果無限多的情形。

解決方法：辨別；計(jì)算。

第二十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二概率模型的類型，是相對(duì)而言的。一個(gè)靶子如圖所示，飛鏢手隨機(jī)地?cái)S一個(gè)飛鏢扎在靶子上，假設(shè)飛鏢既不會(huì)落在靶心，也不會(huì)落在兩個(gè)區(qū)域之間，求飛鏢落在4號(hào)區(qū)域的概率。

第二十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二示例11：導(dǎo)數(shù)與定積分解決問題：導(dǎo)數(shù)求解的是瞬時(shí)變化率問題；定積分求解的是總量問題。解決思路：導(dǎo)數(shù)是辯證轉(zhuǎn)化與否定之否定思想的成功運(yùn)用；定積分是“化整為零、積零為整”的辯證思想的成功應(yīng)用。第二十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二導(dǎo)數(shù)概念的引入——百米跑老師：小王的100米成績(jī)是12秒，很快的速度。這里講的是他跑這100米的平均速度，在他撞線時(shí)肯定有速度，我們能否知道他撞線時(shí)的速度？學(xué)生議論：不知道加速度呀；也不一定是勻加速呀……老師明確說明：百米賽跑剛起跑加速度大，中間幾乎是勻速，沖刺時(shí)又可能加速，整個(gè)過程不可能是勻加速運(yùn)動(dòng)。第二十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二學(xué)生的討論陷入了僵局。這時(shí)老師就處于不能自己講又不能一味等的兩難境地。合理的問題引導(dǎo)才是讓學(xué)生思維突破的上策。老師引導(dǎo)：速度是路程與時(shí)間的比值，我們能不能找一種近似的方法來描述撞線的速度呢？受到啟發(fā)后，隨即有同學(xué)舉手回答：用最后1秒里跑的路程除以時(shí)間，或者是找出最后一段時(shí)間里的路程除以時(shí)間。(很多同學(xué)認(rèn)可！)第二十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二老師繼續(xù)引導(dǎo)：假設(shè)第12秒里小王跑了10米，那么第12秒里的平均速度就是10米/秒，我們可以用10米/秒來近似地描述他撞線的速度。如果他在最后的0.5秒里跑了5.5米，那么他在最后半秒里的速度是11米/秒，我們也可以用這個(gè)速度近似描述他撞線的速度。請(qǐng)同學(xué)思考：這種用一段較短時(shí)間里的平均速度近似描述撞線速度的辦法，怎樣描述才會(huì)更精確一些呢？第二十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二學(xué)生搶著回答：時(shí)間取得越短越精確。另一學(xué)生又站起來說：時(shí)間越來越小漸漸趨向于0時(shí)，平均速度就越來越接近于瞬時(shí)速度。同學(xué)們喜形于色，議論紛紛。老師繼續(xù)引導(dǎo)：那平均速度與瞬時(shí)速度是不是一回事呀？同學(xué)齊答：不是?！诙彭?yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.教數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系在講某個(gè)概念時(shí)，首先要在宏觀上認(rèn)識(shí)這個(gè)概念在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位與作用，不要一開始就把焦點(diǎn)放在概念的定義、內(nèi)涵等具體內(nèi)容上。首先思考“為什么要引入這個(gè)概念，這個(gè)概念與相鄰概念之間有何聯(lián)系與區(qū)別”等問題，這樣就能在頭腦中建立由基本概念構(gòu)成的概念系統(tǒng)。第三十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二教師在教學(xué)中把這種觀念傳遞給學(xué)生，學(xué)生就會(huì)圍繞這個(gè)概念逐步構(gòu)建起一個(gè)概念網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)越多、通道越豐富，概念理解就越深刻，面臨復(fù)雜問題時(shí)，就容易產(chǎn)生思維指向，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、遷移，這正是形成數(shù)學(xué)能力的基本要素!示例12：函數(shù)的零點(diǎn)定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。第三十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二示例13：?jiǎn)握{(diào)性、斜率、正切、導(dǎo)數(shù)A.單調(diào)性B.斜率直線是線性的，它描述的是均勻變化，是最簡(jiǎn)單的變化。即直線在某個(gè)區(qū)間

上的平均變化率

，與直線上任意一點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）

是相同的，都等于這條直線的斜率k。

第三十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二C.正切D.導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，即表示瞬時(shí)變化率。其幾何意義是切線的斜率：遞增；遞減。第三十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二三.數(shù)學(xué)概念教學(xué)典型案例分析數(shù)學(xué)中的概念大多有其發(fā)生、發(fā)展和完善的經(jīng)歷，教師在講概念之前一定要研究清楚概念的來龍去脈，對(duì)概念本身要有深入的理解．對(duì)概念的“前世今生”理解不透徹，就不能揭示概念產(chǎn)生的合理性和必然性，還有可能誤導(dǎo)學(xué)生．所以，概念課前教師必須深入研究概念、正確理解概念，做到知其然，知其所以然．第三十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二人教版教材：數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的!如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味!第三十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二在教學(xué)前需要對(duì)概念進(jìn)行學(xué)術(shù)解構(gòu)和教學(xué)解構(gòu)：學(xué)術(shù)解構(gòu)是指從數(shù)學(xué)學(xué)科理論角度對(duì)概念的內(nèi)涵及其所反映的思想方法進(jìn)行解析,包括概念的內(nèi)涵和外延、概念所反映的思想方法、概念的歷史背景和發(fā)展、概念的聯(lián)系、地位作用和意義等。第三十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二教學(xué)解構(gòu)是在學(xué)術(shù)解構(gòu)的基礎(chǔ)上,對(duì)概念的教育形態(tài)和教學(xué)表達(dá)進(jìn)行分析,重點(diǎn)放在概念的發(fā)生發(fā)展過程的解析上,包括對(duì)概念抽象概括過程的“再造”、辨析過程(內(nèi)涵與外延的變式，正例和反例的舉證)和概念的運(yùn)用(變式應(yīng)用)等。第三十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二案例1：函數(shù)的奇偶性（1）學(xué)習(xí)背景分析小學(xué)數(shù)學(xué)：二年級(jí)“美麗的對(duì)稱圖形”（認(rèn)識(shí)并畫出：畫一畫）；五年級(jí)“圖形的變換——軸對(duì)稱”（方格紙上研究軸對(duì)稱：量一量，數(shù)一數(shù)）初中數(shù)學(xué)：初二“軸對(duì)稱”（坐標(biāo)系中研究軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)）高中數(shù)學(xué)：函數(shù)的對(duì)稱性——奇偶性；方程曲線的對(duì)稱性第三十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）學(xué)習(xí)價(jià)值分析認(rèn)識(shí)論的價(jià)值：經(jīng)歷從特殊（具體函數(shù)）到一般（抽象函數(shù)）、從具體（運(yùn)算）到抽象（概括）的思維過程，經(jīng)由直觀分析到演繹證明、從自然語言到符號(hào)表示，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)研究是一條從感性走向理性、從粗糙走向精細(xì)的發(fā)展之路。方法論的價(jià)值：奇偶性概念蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想是“轉(zhuǎn)化思想”。即對(duì)于一個(gè)確定的奇函數(shù)或偶函數(shù)，如果已知該函數(shù)圖像在y軸一側(cè)的特征，便可推知該函數(shù)圖像y軸另一側(cè)的特征。第三十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（3）直觀特征為何要量化？為什么需要將圖像的對(duì)稱特征用形式化的符號(hào)表示出來，并以此作為函數(shù)奇偶性的定義?“符號(hào)表示是一種數(shù)量關(guān)系的表示，目的是準(zhǔn)確地表達(dá)圖像上點(diǎn)與點(diǎn)之間位置關(guān)系的規(guī)律”；“從數(shù)量角度研究空間形式是數(shù)學(xué)上的要求”；“圖像特征本質(zhì)上是函數(shù)性質(zhì)的直觀表現(xiàn)，用函數(shù)符號(hào)來反映圖像的對(duì)稱性是一種回歸”；“函數(shù)的奇偶性是函數(shù)自身的一種性質(zhì)，因而需要用對(duì)應(yīng)關(guān)系體現(xiàn)的性質(zhì)來下定義”等。第四十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（4）需要嚴(yán)格證明嗎？結(jié)合具體函數(shù)圖像觀察和運(yùn)算檢驗(yàn),不難得出“y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,等價(jià)于f(-x)=f(x)”.是否要求學(xué)生對(duì)該結(jié)論進(jìn)行證明呢?數(shù)學(xué)是講“道理”的科學(xué),看上去“顯然成立”的結(jié)論往往需證明,這是理性精神的體現(xiàn).培養(yǎng)理性精神、發(fā)展理性思維能力是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格證明,不僅可以發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力,對(duì)于學(xué)生形成言必有據(jù)的科學(xué)態(tài)度也頗有裨益.第四十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二①

在函數(shù)y=f(x)的圖像上任取一點(diǎn)P(x,f(x))；②

寫出點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-x,f(x))；③

根據(jù)圖像對(duì)稱性的定義，(-x,f(x))也在函數(shù)y=f(x)的圖像上，由此得到f(-x)=f(x)；④

由于以上步驟可逆，因而從“對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，都有“f(-x)=f(x)”出發(fā)，也可獲得“y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱”的結(jié)論．第四十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（5）能培養(yǎng)哪些能力？一是直觀基礎(chǔ)上的分析和概括能力．①?gòu)恼w到局部，即“函數(shù)圖像的特征”向“點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系”的轉(zhuǎn)化——分析能力．②從“形”到“數(shù)”，即“點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系”向“點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系”的轉(zhuǎn)化——分析能力．第四十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二③從特殊到一般，即借助具體的x的值和對(duì)應(yīng)的f(x)的值，歸納得到“圖像上橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，其縱坐標(biāo)相等”——概括能力．④形式化表示,即“若x1=-x2，則f(x1)=f(x2)”，簡(jiǎn)記為“f(-x)=f(x)”——符號(hào)表達(dá)能力．第四十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱→存在點(diǎn)與點(diǎn)之間位置關(guān)系的規(guī)律性→因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別表示自變量的值和其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，所以自變量的值之間具有某種特殊關(guān)系時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之間也會(huì)呈現(xiàn)特定的關(guān)系→列出函數(shù)值對(duì)應(yīng)表，觀察和歸納得到“若x1=-x2，則f(x1)=f(x2)”→“f(-x)=f(x)”第四十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二二是推理論證能力．引導(dǎo)學(xué)生利用對(duì)稱性的定義證明非邏輯手段獲得的以下命題，發(fā)展學(xué)生的演繹證明能力．命題:若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(-x)=f(x)；反之，也成立．第四十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（6）遷移價(jià)值分析發(fā)揮思維的遷移作用,獲得超越課本的數(shù)學(xué)知識(shí)。一般地，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若其圖像關(guān)于直線x=m對(duì)稱，如何用對(duì)應(yīng)關(guān)系f來表示這一圖像特征呢？若其圖像關(guān)于點(diǎn)Q(a,b)對(duì)稱，又如何用對(duì)應(yīng)關(guān)系f來表示這一圖像特征呢？第四十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二函數(shù)圖象的對(duì)稱性：第四十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二方程曲線的對(duì)稱性：第四十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二案例2：斜率不同版本的教材，其處理方式不同。大體有兩類：（1）用傾斜角的正切值定義斜率人教A版、鄂教版、湘教版。比如人教A版：確定直線位置的幾何要素→傾斜程度→傾斜角→斜率→過任意兩點(diǎn)的斜率公式第五十頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二①傾斜角代數(shù)化的理由斜率公式反映出斜率在聯(lián)系兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線傾斜角的優(yōu)越性；(解析思想)(列方程之需)斜率在研究直線平行與垂直上的作用；一次函數(shù)y=kx+b中k的幾何意義。第五十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二②斜率使用正切的理由首先與“坡度”概念一致。坡面的鉛直高度和水平長(zhǎng)度的比。（垂直變化率）其次，不管是銳角變化，還是鈍角變化，反映的都是傾斜角越大，斜率越大。第三，正切值就是直線的變化率，這樣，采用正切值與導(dǎo)數(shù)保持了一致性。第五十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二③用傾斜角的正切值定義斜率的弊端為什么有了角已能確定直線的前提下，還一定要將其代數(shù)化？采用坡度的例子只能說明傾斜角為銳角的情形，傾斜角為鈍角時(shí)是解釋不清楚的．把代數(shù)形式的表示縮小到了“正切”，為何要用正切？學(xué)生可能知其然，不知其所以然。第五十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）直接用變化率定義斜率根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”可知，兩點(diǎn)就可刻畫直線的傾斜程度?！奥省笔侵竷蓚€(gè)相關(guān)數(shù)的比值，x變化單位長(zhǎng)時(shí)，看y變化了多少，實(shí)質(zhì)是對(duì)x和y變化的快慢程度的刻畫。角越大，傾斜程度越大，該特定比值越大。第五十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二比如北師大版：傾斜角0≤A<90時(shí)，??當(dāng)橫坐標(biāo)x從0到l，增加一個(gè)單位時(shí)，縱坐標(biāo)y從0增加到k(k>0)，我們稱k為這條直線的斜率．??通常我們把tanA也叫做直線的斜率．傾斜角90≤A<180時(shí)，??當(dāng)橫坐標(biāo)x從0到l，增加一個(gè)單位k時(shí)，縱坐標(biāo)y從0減少到k(k>0)，我們稱-k為這條直線的斜率．第五十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二解析幾何的本質(zhì)是用“數(shù)”刻畫“形”，因而用數(shù)刻畫直線的傾斜程度，符合解析幾何的思想。傾斜角本身包含了形，用它來刻畫直線的傾斜程度，就像“傾斜角相等→兩直線平行”一樣，看似直觀，卻不能體現(xiàn)解析幾何的思想。第五十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二教學(xué)思路新構(gòu)想：兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)呢？→一點(diǎn)無法確定直線的方向→兩點(diǎn)可以確定直線的方向→直線定、傾斜程度定→用兩點(diǎn)刻畫直線的傾斜程度→聯(lián)想坡度引出斜率概念→已知兩點(diǎn)與任一動(dòng)點(diǎn)→直線的兩點(diǎn)式。第五十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二一點(diǎn)加一傾斜角也可確定直線→任一動(dòng)點(diǎn)和已知點(diǎn)，與傾斜角存在怎樣的聯(lián)系？→動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的直線的傾斜程度，用斜率刻畫，發(fā)現(xiàn)它就是傾斜角的正切值→直線的點(diǎn)斜式。第五十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，編輯于2023年，星期二案例3：三角函數(shù)（1）三角函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時(shí)又是銳角三角函數(shù)的上位概念；教學(xué)要以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以銳角三角函數(shù)概念為認(rèn)知起點(diǎn)，突破用直角三角形定義三角函數(shù)的思維局限，以坐標(biāo)系和單位圓為定義工具，促進(jìn)任意角三角函數(shù)定義的有效生成。第五十九頁(yè)，共六十四頁(yè)