高數(shù)第十二章冪級數(shù)

高數(shù)第十二章冪級數(shù)第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù).對若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域

;若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域

.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二為級數(shù)的和函數(shù)

,并寫成若用令余項(xiàng)則在收斂域上有表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前n

項(xiàng)的和,即在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例如,

等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?

級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二二、冪級數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.的情形,即稱機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式證:

設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使阿貝爾目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二當(dāng)時(shí),收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.時(shí)冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R=0時(shí),冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=

時(shí),冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二定理2.

若的系數(shù)滿足證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時(shí),1)當(dāng)≠0時(shí),2)當(dāng)＝0時(shí),3)當(dāng)＝∞時(shí),即時(shí),則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(或)第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意

x原級數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二對端點(diǎn)

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點(diǎn)x=1,級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域?yàn)槔?.求冪級數(shù)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例3.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例4.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2

時(shí),級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時(shí),級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域?yàn)楣试墧?shù)的收斂域?yàn)榧礄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

求冪級數(shù)解:定理2的條件不滿足,故不能直接應(yīng)用定理2。考慮用根值求法：的收斂半徑.從而說明:

可以證明比值判別法成立根值判別法成立第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例2

求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二三、冪級數(shù)的運(yùn)算定理3.

設(shè)冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二乘法(其中柯西乘積第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二說明:兩個(gè)冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個(gè)冪級數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二定理4

若冪級數(shù)的收斂半徑(證明見第六節(jié))則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同:注:

逐項(xiàng)積分時(shí),運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二說明：利用定理4,我們可以求得一些冪級數(shù)的和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束和函數(shù),具體的步驟如下:(1)先求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域；(2)在收斂區(qū)間內(nèi),利用逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)求導(dǎo)得到關(guān)于和函數(shù)的積分方程式或微分方程式,解方程求和函數(shù)；(3)討論端點(diǎn)的情況,給出收斂域的和函數(shù).第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二解兩邊積分得第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二解:

由例2可知級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數(shù).因此得設(shè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例6.

的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時(shí)級數(shù)發(fā)散,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例7.

求級數(shù)的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二解第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二解收斂區(qū)間(-1,1),第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例8.解:

設(shè)則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二而故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)第三十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)1.

已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時(shí)