高數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分

高數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分第一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§6.2多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念二、二元函數(shù)概念三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性第二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二注：

設(shè)P0(x0

y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)

是某一正數(shù)點(diǎn)P0的鄰域記為U(P0

)它是如下點(diǎn)集鄰域

如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑則用U(P0)表示點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域點(diǎn)P0的某個(gè)去心鄰域記作下頁(yè)第三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二下頁(yè)

任意一點(diǎn)PR2與任意一個(gè)點(diǎn)集ER2之間必有以下三種關(guān)系中的一種

點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系

內(nèi)點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P)

使得U(P)E

則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)

外點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P)

使得U(P)E

則稱P為E的外點(diǎn)

邊界點(diǎn)如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)也有不屬于E的點(diǎn)則稱P點(diǎn)為E的邊點(diǎn)邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)

E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界記作E

第四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二開(kāi)集

如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則稱E為開(kāi)集.下頁(yè)閉集如果點(diǎn)集的余集Ec為開(kāi)集則稱E為閉集

舉例

點(diǎn)集E{(x

y)|1<x2y2<2}是開(kāi)集也是開(kāi)區(qū)域點(diǎn)集E{(x

y)|1x2y22}是閉集也是閉區(qū)域點(diǎn)集E{(x

y)|1x2y22}既非開(kāi)集也非閉集

區(qū)域(或開(kāi)區(qū)域)

連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域第五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二有界集

對(duì)于平面點(diǎn)集E

如果存在某一正數(shù)r

使得EU(O

r)

其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)則稱E為有界點(diǎn)集

無(wú)界集

一個(gè)集合如果不是有界集就稱這集合為無(wú)界集

點(diǎn)集{(x

y)|xy0}是無(wú)界閉區(qū)域

點(diǎn)集{(x

y)|xy0}是無(wú)界開(kāi)區(qū)域

舉例

點(diǎn)集{(x

y)|1x2y24}是有界閉區(qū)域

下頁(yè)第六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二注：二、二元函數(shù)概念下頁(yè)舉例二元函數(shù)的定義

設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集稱映射f

DR為定義在D上的二元函數(shù)通常記為zf(x

y)(x

y)D(或zf(P)

PD)其中D稱為該函數(shù)的定義域

x

y稱為自變量

z稱為因變量

函數(shù)值與自變量x、y的一對(duì)值(x

y)相對(duì)應(yīng)的因變量z的值稱為f在點(diǎn)(x

y)處的函數(shù)值記作f(x

y)

即zf(x

y)

值域

f(D){z|zf(x

y)(x

y)D}

函數(shù)也可以用其它符號(hào)如zz(x

y)

zg(x

y)等

第七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二多元函數(shù)的定義域

函數(shù)zln(xy)的定義域?yàn)?/p>

{(x

y)|xy>0}

函數(shù)zarcsin(x2y2)的定義域?yàn)?/p>

{(x

y)|x2y21}

舉例

下頁(yè)第八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二z=ax+by+c二元函數(shù)的圖形點(diǎn)集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)D}稱為二元函數(shù)zf(x,y)的圖形.

二元函數(shù)的圖形是一張曲面.

z=ax+by+c表示一張平面.舉例

方程x2+y2+z2a2確定兩個(gè)二元函數(shù)分別表示上半球面和下半球面,其定義域均為D={(x,y)|x2+y2a2}.首頁(yè)第九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

二重極限概念可以推廣到多元函數(shù)的極限.三、多元函數(shù)的極限二重極限的定義

設(shè)二元函數(shù)f(P)f(xy)也記作下頁(yè)第十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二下頁(yè)

例

設(shè)22221sin)(),(yxyxyxf++=,

求),(lim)0,0(),(?yxfyx.),(lim)0,0(),(?yxfyx=0第十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二必須注意

(1)二重極限存在,

是指P以任何方式趨于P0時(shí),

函數(shù)都無(wú)限接近于A

.

(2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時(shí),

函數(shù)趨于不同的值,

則函數(shù)的極限不存在.

提示討論下頁(yè)第十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二四、多元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)性定義

二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去.下頁(yè)第十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2(介值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值

結(jié)束第十四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§6.3偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法

類似地,可定義函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)有定義若極限存在則稱此極限為函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)

記作>>>第十六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)

如果函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)),記作偏導(dǎo)函數(shù)第十七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)>>>第十八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二偏導(dǎo)數(shù)的求法求函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只要把其它自變量看作常數(shù),然后按一元函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)即可.偏導(dǎo)函數(shù)第十九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例

求zx23xyy2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).

解

偏導(dǎo)函數(shù)第二十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

解

例

例

求zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù).

解

第二十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二證原結(jié)論成立．第二十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：１.２.求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解第二十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，

對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō),即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).第二十四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù).在點(diǎn)(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示：當(dāng)點(diǎn)P(x

y)沿直線ykx趨于點(diǎn)(00)時(shí)有因此函數(shù)f(x

y)在(00)的極限不存在當(dāng)然也不連續(xù)

第二十五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0z=f(x,

y0)z=f(x0,

y)

是截線z=f(x,

y0)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率.

是截線z=f(x0,

y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率.第二十六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0

是截線z=f(x,

y0)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率.

是截線z=f(x0,

y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率.第二十七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二設(shè)某產(chǎn)品的需求量偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義其中為該產(chǎn)品的價(jià)格，為消費(fèi)者收入。稱需求對(duì)價(jià)格的偏彈性需求對(duì)收入的偏彈性第二十八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)其中是由用品的成本）。偏導(dǎo)數(shù)分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力。個(gè)人力單位和個(gè)資本單位生產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)量（資本是機(jī)器、場(chǎng)地、生產(chǎn)工具和其它第二十九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、高階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)zf(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導(dǎo)數(shù),則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).

函數(shù)zf(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè):其中fxy(x,y)、fyx(x,y)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).

類似地可定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù).第三十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

解

此例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是相等的.

例

設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz??、33xz??、xyz???2和yxz???2.

第三十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等

定理

解

例

設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz??、33xz??、xyz???2和yxz???2.

第三十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

證

例

第三十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

證

例提示

第三十四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

證

例第三十五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、全微分的定義二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用§6.4全微分上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)應(yīng)用

一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差第三十六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分（perfectdifferential)第三十七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二全增量(perfectincrement)的概念第三十八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān),則稱函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)可微分,

而AxBy稱為函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)的全微分,

記作dz,

即

dzAxBy.

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分,

那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.

下頁(yè)

如果函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)的全增量

zf(xx,

yy)f(x,

y)可表示為第三十九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二可微分與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

這是因?yàn)?

如果z=f(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)可微,則

zf(xx,

yy)f(x,

y)AxByo(r),因此函數(shù)z=f(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)處連續(xù).下頁(yè)于是從而第四十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二可微分的必要條件>>>應(yīng)注意的問(wèn)題>>>下頁(yè)可微分與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

如果函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x

y)可微分則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)

偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要條件但不是充分條件

第四十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二可微分的充分條件

以上結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù).

下頁(yè)可微分的必要條件可微分與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

如果函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x

y)可微分則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.

第四十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二疊加原理

按著習(xí)慣,x、y分別記作dx、dy,

并分別稱為自變量的微分,這樣函數(shù)z=f(x,

y)的全微分可寫(xiě)作

二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理.

疊加原理也適用于二元以上的函數(shù),

例如uf(x,

y,

z)的全微分為下頁(yè)第四十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例1

計(jì)算函數(shù)zx2yy2的全微分.

解

所以

例2

計(jì)算函數(shù)zexy在點(diǎn)(2,1)處的全微分.

解

所以dz2xydx(x22y)dy.dze2dx2e2dy.

下頁(yè)因?yàn)橐驗(yàn)榈谒氖捻?yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二解第四十五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

解

首頁(yè)

例3

因?yàn)樗缘谒氖?yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二設(shè)解:

類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用下頁(yè)

當(dāng)函數(shù)zf(x,

y)在點(diǎn)(x0,

y0)處可微，那么函數(shù)L(x,y)

f

(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)fy(x,

y)(y-y0),

就稱為函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的線性化.近似式

f(x,

y)L(x,y)稱為函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的標(biāo)準(zhǔn)線性近似.

例求函數(shù)在點(diǎn)(3,2)處的線性化.第四十八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

當(dāng)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)連續(xù),并且|x|,|y|都較小時(shí),有近似等式zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,即f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.

我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算.第四十九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例4

有一圓柱體,

受壓后發(fā)生形變,

它的半徑由20cm增大到20.05cm,

高度由100cu減少到99cm.

求此圓柱體體積變化的近似值.

解

設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V,

則有V

r2h.

即此圓柱體在受壓后體積約減少了200cm3.

2201000.05202(1)VdV2rhrr2h200(cm3),VrrVhh下頁(yè)f(xx,

yy)f(x,

y)fx(x,

y)xfy(x,

y)y.

zdzfx(x,

y)xfy(x,

y)y,

已知r20,

h100,

r0.05,

h1,根據(jù)近似公式,

有第五十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例5

計(jì)算(1.04)2.02的近似值.

(1.04)2.02所以x

yyx

y1xx

ylnx

y,

f(xx,

yy)

f(x,

y)fx(x,

y)xfy(x,

y)y1.08.1221210.0412ln10.02

解

設(shè)函數(shù)f(x,

y)xy.

顯然,

要計(jì)算的值就是函數(shù)在

x1.04,

y2.02時(shí)的函數(shù)值f(1.04,2.02).

結(jié)束f(xx,

yy)f(x,

y)fx(x,

y)xfy(x,

y)y.

zdzfx(x,

y)xfy(x,

y)y,因?yàn)?/p>

取x1,

y2,

x0.04,

y0.02.第五十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二練習(xí)題第五十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第五十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二練習(xí)題答案第五十四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第五節(jié)、復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則微分法則第五十五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)情形第五十六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例如,上述定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).第五十七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二定理22.復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)情形第五十八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二鏈?zhǔn)椒▌t如圖示第五十九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

第六十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

設(shè)zf(u

v)

u(x

y)

v(x

y)

則

例.

解:

exy[ysin(xy)cos(xy)]

eusinv1eucosvyeusinvexy[xsin(xy)cos(xy)]1eucosvx

設(shè)zf(u

v)u(t)v(t)則第六十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

3.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元又有多元函數(shù)情形第六十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二特殊地即其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似第六十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:第六十四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例.解:第六十五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:

令則第六十六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)：無(wú)論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.全微分形式不變性二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分第六十七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第六十八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1.例.利用全微分形式不變性解例1.解:所以第六十九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、隱函數(shù)微分法隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第七十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例.

驗(yàn)證方程x2y210在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x),并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x0的值.

解:

設(shè)F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.隱函數(shù)存在定理:則

設(shè)函數(shù)F(x

y)在點(diǎn)P(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

F(x0

y0)0

Fy(x0

y0)0

則方程F(x

y)0在點(diǎn)(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)yf(x)

它滿足條件y0f(x0).

由隱函數(shù)存在定理,方程x2y210在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x).第七十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

解:

設(shè)F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.則由隱函數(shù)存在定理,方程x2y210在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x).提示:

由方程F(x,y)0確定的隱函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)為

例.

驗(yàn)證方程x2y210在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x),并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x0的值.第七十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

解:

設(shè)F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.則由隱函數(shù)存在定理,方程x2y210在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x).

例.

驗(yàn)證方程x2y210在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x),并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x0的值.第七十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二隱函數(shù)存在定理>>>

設(shè)函數(shù)F(x

y

z)在點(diǎn)P(x0

y0

z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且F(x0

y0

z0)0

Fz(x0

y0

z0)0

則方程F(x

y

z)0在點(diǎn)(x0

y0

z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)zf(x

y)

它滿足條件z0f(x0

y0)

并有第七十四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:令則第七十五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,3.隱函數(shù)微分法.第七十六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二練習(xí)題第七十七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法§6.6多元函數(shù)的極值及其求法上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第七十八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值下頁(yè)極值的定義

設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值

使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)

第七十九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

例

函數(shù)z3x24y2在點(diǎn)(0,0)處有極小值.提示:

當(dāng)(x,

y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,

y)(0,0)時(shí),z0.

因此z=0是函數(shù)的極小值.下頁(yè)第八十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

提示:

例

當(dāng)(x,

y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,

y)(0,0)時(shí),z0.因此z=0是函數(shù)的極大值.下頁(yè)第八十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二提示:

因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處的函數(shù)值為零,而在點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn).

例

函數(shù)zxy在點(diǎn)(0,0)處既不取得極大值也不取得極小值.下頁(yè)一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

第八十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二下頁(yè)定理1(取得極值的必要條件)

設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)具有偏導(dǎo)數(shù)且在點(diǎn)(x0

y0)處有極值則有fx(x0

y0)0

fy(x0

y0)0

類似地可推得如果三元函數(shù)uf(x

y

z)在點(diǎn)(x0

y0

z0)具有偏導(dǎo)數(shù)則它在點(diǎn)(x0

y0

z0)具有極值的必要條件為fx(x0

y0

z0)0

fy(x0

y0

z0)0

fz(x0

y0

z0)0

>>>第八十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

凡是能使fx(x

y)0

fy(x

y)0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0

y0)稱為函數(shù)zf(x

y)的駐點(diǎn)

駐點(diǎn)

設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)具有偏導(dǎo)數(shù)且在點(diǎn)(x0

y0)處有極值則有fx(x0

y0)0

fy(x0

y0)0

下頁(yè)討論

駐點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系怎樣？提示具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)

函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)>>>定理1(取得極值的必要條件)例如,有駐點(diǎn)(0,0),

但在該點(diǎn)不取極值.第八十四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二下頁(yè)定理2(取得極值的充分條件)

設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)又fx(x0

y0)0

fy(x0

y0)0

令fxx(x0

y0)A

fxy(x0

y0)B

fyy(x0

y0)C

則f(x

y)在(x0

y0)處是否取得極值的條件如下

(1)ACB2>0時(shí)具有極值且當(dāng)A<0時(shí)有極大值當(dāng)A>0時(shí)有極小值

(2)ACB2<0時(shí)沒(méi)有極值

(3)ACB20時(shí)可能有極值也可能沒(méi)有極值

第八十五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二極值的求法第一步解方程組fx(xy)0

fy(xy)0求得一切實(shí)數(shù)解即可得一切駐點(diǎn).

第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0

y0)求出fxx(x0

y0)

fxy(x0

y0)

fyy(x0

y0)

第三步定出fxx(x0

y0)fyy(x0

y0)

-fxy2(x0

y0)的符號(hào)

判定f(x0

y0)是否是極值、是極大值還是極小值

函數(shù)f(x

y)在駐點(diǎn)處如果fxxfyy-fxy2>0則函數(shù)在駐點(diǎn)處取得極值

如果fxxfyy-fxy2>0則函數(shù)在駐點(diǎn)處不取得極值在極值點(diǎn)處當(dāng)fxx<0時(shí)有極大值當(dāng)fxx>0時(shí)有極小值下頁(yè)第八十六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第八十七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;第八十八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例

討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為第八十九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二應(yīng)注意的問(wèn)題不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).

因此,在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí),除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮.下頁(yè)但(00)不是函數(shù)的駐點(diǎn)

第九十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二最大值和最小值問(wèn)題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.討論:

比較極值的大小就能確定函數(shù)的最大值和最小值嗎？提示:

不能,最大值和最小值也可能在區(qū)域的邊界上取得,而極值是在區(qū)域的內(nèi)部求得的.下頁(yè)第九十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部,也可能在D的邊界上.最大值和最小值的求法

將函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

如果函數(shù)f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得,而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),那么該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在D上的最大值(最小值).下頁(yè)最大值和最小值問(wèn)題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.第九十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二下頁(yè)

例某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí)才能使用料最省

解

根據(jù)題意可知水箱所用材料面積的最小值一定存在并在開(kāi)區(qū)域D{(x

y)|x>0

y>0}內(nèi)取得又因?yàn)楹瘮?shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)(22)

所以此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn)

設(shè)水箱的長(zhǎng)為xm

寬為ym

則所用材料的面積為水箱所用的材料最省

第九十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值.

上述問(wèn)題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下的最大值問(wèn)題,這是一個(gè)條件極值問(wèn)題.

例如,求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題.

設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x,y,z,則體積Vxyz.

又因假定表面積為a2,所以自變量x,y,z還必須滿足附加條件2(xyyzxz)a2.下頁(yè)第九十四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二求條件極值的方法(1)將條件極值化為無(wú)條件極值

例如,求Vxyz在條件2(xyyzxz)a2下的最大值.

有時(shí)可以把條件極值問(wèn)題化為無(wú)條件極值問(wèn)題.這就把求條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求無(wú)條件極值問(wèn)題.下頁(yè)二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值.第九十五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)用拉格朗日乘數(shù)法

在多數(shù)情況下較難把條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值,需要用一種求條件極值的專用方法,這就是拉格朗日乘數(shù)法.下頁(yè)求條件極值的方法(1)將條件極值化為無(wú)條件極值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值.第九十六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二拉格朗日乘數(shù)法

要找函數(shù)zf(x,y)在附加條件j(x,y)0下的可能極值點(diǎn),可以先作輔助函數(shù)(拉格朗日函數(shù))F(x,y)f(x,y)lj(x,y),其中l(wèi)為某一常數(shù)(拉格朗日乘子).

然后解方程組

上述方程組的解(x,y)就是所要求的可能的極值點(diǎn),

對(duì)于所求得的可能的極值點(diǎn)還需判斷是否是極值點(diǎn),在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定.下頁(yè)第九十七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例

求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.

設(shè)長(zhǎng)方體的三個(gè)棱長(zhǎng)x,y,z,則問(wèn)題就是求函數(shù)Vxyz在條件2(xyyzxz)=a2下的最大值.

作拉格朗日函數(shù)解方程組F(x,y,z)xyzl(2xy2yz2xza2),結(jié)束

因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在所以最大值就在這個(gè)可能的值點(diǎn)處取得此時(shí)

解

第九十八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法第九十九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問(wèn)題在條件求駐點(diǎn).第一百頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二解按題意，即求函數(shù)在條件第一百零一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第一百零二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二解由第一百零三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第一百零四頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、二重積分的概念二、二重積分的性質(zhì)§6.7二重積分的概念與性質(zhì)第一百零五頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、二重積分的概念1

曲頂柱體的體積

設(shè)一立體的底是xOy面上的閉區(qū)域D

它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面它的頂是曲面zf(x

y)

這里f(x

y)0且在D上連續(xù)這種立體叫做曲頂柱體

第一百零六頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二提示

相應(yīng)地把曲頂柱體分成了n個(gè)小曲頂柱體.提示其中l(wèi)為各小區(qū)域直徑的最大值.用小平頂柱體的體積近似代替小曲頂柱體的體積ViVif(i

i)i

用小平頂柱體的體積之和近似代替整個(gè)曲頂柱體體積

將分割加細(xì)取極限求得曲頂柱體體積的精確值si(xi,hi)一、二重積分的概念1

曲頂柱體的體積用曲線網(wǎng)把D分成小區(qū)域

1

2

n

第一百零七頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二重積分的定義

設(shè)f(x

y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)

將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域1

2

n

其中i表示第i個(gè)小閉區(qū)域也表示它的面積

在每個(gè)小閉區(qū)域i上任取一點(diǎn)(i

i)

作和

設(shè)為各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)

0時(shí)這和式的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(x

y)在閉區(qū)域D上的二重積分記為第一百零八頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二———積分號(hào)

二重積分的定義積分中各部分的名稱f(x

y)——被積函數(shù)

f(x

y)d—被積表達(dá)式

d———面積元素

x

y———積分變量

D————積分區(qū)域

——積分和

第一百零九頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：二重積分的幾何意義:當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．第一百一十頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，故二重積分可寫(xiě)為D則面積元素(arealelement)為第一百一十一頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則性質(zhì)2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2

則第一百一十二頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二注

二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則

如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和

性質(zhì)2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2

則第一百一十三頁(yè)，共一百四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則性質(zhì)2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2

則