協(xié)方差與相關系數(shù)

協(xié)方差與相關系數(shù)第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二3.協(xié)方差計算公式Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)（1）若X與Y獨立,則Cov(X,Y)=0注（2）D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)4.協(xié)方差的性質(zhì)（1）Cov(X,Y)=

Cov(Y,X)

（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b為常數(shù)

（3）Cov(X1+X2,Y)=

Cov(X1,Y)+

Cov(X2,Y)（4）當X與Y相互獨立時，有Cov(X,Y)=0第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二例1設二維隨機變量的聯(lián)合分布律為

XY010q010pX01Pqp其中p+q=1，求相關系數(shù)XY．解由(X,Y)的聯(lián)合分布律，可得X與Y的邊緣分布律為Y01Pqp均為0-1分布，于是有所以第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二求

解

因為同理可得

例2

設二維（X，Y）隨機變量的密度函數(shù)為第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

由協(xié)方差的性質(zhì)(2)知,協(xié)方差取值的大小要受到量綱的影響,為了消除量綱對協(xié)方差值的影響,我們把X,Y標準化后再求協(xié)方差第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

1.定義對于隨機變量X和Y,若D(X)≠０,D(Y)≠０,則稱為隨機變量X和Y的相關系數(shù)（標準協(xié)方差）。當ρXY=0時,稱X與Y不相關。（1）|ρXY|≤1；（2）|ρXY|=1當且僅當P{Y=aX+b}=1,其中a,b為常數(shù)。相關系數(shù)ρXY刻劃了隨機變量X和Y的線性相關程度。4.3.1相關系數(shù)（標準協(xié)方差）

２.性質(zhì)第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二證明

（1）即(2)由方差性質(zhì)得成立的充分必要條件為第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二而第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二的充要條件是即從而且第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二于是由:得這說明X與Y是不相關的,但顯然，X與Y是不相互獨立的

例3若X~N(0,1),Y=X2,問X與Y是否不相關？

解

因為X~N(0,1),密度函數(shù)為偶函數(shù),所以第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

解

X，Y的聯(lián)合密度f(x,y)及邊緣密度fX(x),fY(y)如下：

從而說明二維正態(tài)分布隨機變量X、Y相互獨立ρ=0，即X、Y相互獨立與不相關是等價的。例4設(X,Y)服從二維正態(tài)分布，求X,Y的相關系數(shù)。第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二1.將一枚不均勻硬幣投擲n次，以Ｘ和Ｙ分別表示出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)，則Ｘ和Ｙ的相關系數(shù)為（Ａ）－１；（Ｂ）０；（Ｃ）?；(D)1。2.設隨機變量Ｘ和Ｙ獨立同分布，記U=X+Y,V=X-Y,則Ｕ和Ｖ（Ａ）不獨立；（Ｂ）獨立；（Ｃ）相關系數(shù)為０；（D）相關系數(shù)不為０。3.設Ｘ是隨機變量，Ｙ=aX+b(a≠０),證明：４.設隨機變量Ｘ的概率密度為求Ｘ與|X|的協(xié)方差，問Ｘ和|X|是否不相關，是否相互獨立．練習題第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二選例1求ρXY解E(X)=2,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2；D(X)=1/2,D(Y)=1/2。E(XY)=Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6;???Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/4第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

選例2

設隨機變量X的方差D(X)≠０且Y=aX+b(a≠０),求X和Y的相關系數(shù)ρXY解第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二證明

(1)因為同樣E(Y)=0于是ρXY=0，所以X與Y不相關。選例3

已知（X,Y）的概率密度如下，試證X與Y既不相關，也不相互獨立。第十五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二顯然，