電路的過(guò)渡過(guò)程課件

第5章電路的過(guò)渡過(guò)程5.1過(guò)渡過(guò)程的產(chǎn)生和換路定律5.2RC電路過(guò)渡過(guò)程及三要素法5.3RL電路的過(guò)渡過(guò)程5.4RC電路對(duì)矩形波的響應(yīng)思考題與習(xí)題5.1過(guò)渡過(guò)程的產(chǎn)生和換路定律5.1.1過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生的必然性在含有儲(chǔ)能元件的電路中，當(dāng)電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，會(huì)引起電路中電流和電壓的變化，而電路中電壓和電流的建立或其量值的改變，必然伴隨著電容中電場(chǎng)能量和電感中磁場(chǎng)能量的改變。這種改變是能量漸變，而不是躍變（即從一個(gè)量值即時(shí)地變到另一個(gè)量值），否則將導(dǎo)致功率P=dw/dt成為無(wú)限大，這在實(shí)際中是不可能的。在電容中儲(chǔ)能表現(xiàn)為電場(chǎng)能量

，由于換路時(shí)能量不能躍變，故電容上的電壓一般不能躍變。從電流的觀點(diǎn)來(lái)看，電容上電壓的躍變將導(dǎo)致其中的電流變?yōu)闊o(wú)限大，這通常也是不可能的。由于電路中總要有電阻，iC只能是有限值，所以有限電流對(duì)電容充電，電容電荷及電壓uC就只能逐漸增加，而不可能在瞬間突然躍變。對(duì)電感中儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量，電感中的電壓電流關(guān)系為，能量不能躍變，電壓為有限值，故電感中的電流一般也不能躍變。因此，當(dāng)電路結(jié)構(gòu)或電路參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，電感的電流和電容的電壓必然有一個(gè)從原先值到新的穩(wěn)態(tài)值的過(guò)渡過(guò)程，而電路中其他的電流、電壓也會(huì)有一個(gè)過(guò)渡過(guò)程。5.1.2換路定律和初始值的計(jì)算用直接求解微分方程的方法分析電路的過(guò)渡過(guò)程需要確定積分常數(shù)，因此就必須知道響應(yīng)的初始值，而初始值可由換路定律得到。電路理論中把電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)的改變稱(chēng)為換路。如圖5-1（a），開(kāi)關(guān)S由打開(kāi)到閉合，假設(shè)開(kāi)關(guān)動(dòng)作瞬時(shí)完成，開(kāi)關(guān)的動(dòng)作改變了電路的結(jié)構(gòu)，這就稱(chēng)為換路，開(kāi)關(guān)動(dòng)作的時(shí)刻選為計(jì)時(shí)時(shí)間的起點(diǎn)，記為t=0。我們研究的就是開(kāi)關(guān)動(dòng)作后，即t=0以后的電路響應(yīng)。圖5-1例5-1的圖在換路瞬間，電容元件的電流有限時(shí)，其電壓uC不能躍變；電感元件的電壓有限時(shí)，其電流iL不能躍變，這一結(jié)論叫做換路定律。把電路發(fā)生換路時(shí)刻取為計(jì)時(shí)起點(diǎn)t=0，而以t=0-表示換路前的最后一瞬間，它和t=0之間的間隔趨近于零；以t=0+表示換路后的最前一瞬間，它和t=0之間的間隔也趨近于零，則換路定律可表示為（5-1）電容上的電荷量和電感中的磁鏈也不能躍變，而電容電流、電感電壓、電阻的電流和電壓、電壓源的電流、電流源的電壓在換路瞬間是可以躍變的。它們的躍變不會(huì)引起能量的躍變，即不會(huì)出現(xiàn)無(wú)限大的功率。響應(yīng)在換路后的最初一瞬間（即t=0＋時(shí)）的值稱(chēng)為初始值。電容電壓的初始值uC(0+)和電感電流的初始值iL(0+)可按換路定律(5-1)式求出。t=0-時(shí)的值由換路前的電路求出，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，此時(shí)電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路。其他可以躍變的量的初始值可由t=0+時(shí)的等效電路求出。首先畫(huà)出0+等效電路，在0+等效電路中，將電容元件用電壓為uC(0+)的電壓源替代，將電感元件用電流為iL(0+)的電流源替代，若uC(0+)=uC(0-)=0，

iL(0+)=iL(0-)=0，則在t=0+這一瞬間電容相當(dāng)于短路，電感相當(dāng)于開(kāi)路。電路中的獨(dú)立電源則取其在0+時(shí)的值，0+等效電路是一個(gè)電阻性電路，可根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律求出其他相關(guān)初始值。［例5-1］作出圖5-1（a）所示電路t=0+時(shí)的等效電路，并計(jì)算iR3(0+)、iR2(0+)、

uC(0+)、

uL(0+)。已知開(kāi)關(guān)閉合前，電路無(wú)儲(chǔ)能。［解］因?yàn)閾Q路前電路無(wú)儲(chǔ)能，所以u(píng)C(0-)=0,

iL(0-)=0。作出t=0+時(shí)的等效電路如圖5-1（b）所示。因?yàn)閡C(0+)=uC(0-)=0，所以電容可看成短路；因iL(0+)=iL(0-)=0，所以電感可看成開(kāi)路。用直流電阻電路分析方法計(jì)算得：5.1.3研究過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生的實(shí)際意義研究電路的過(guò)渡過(guò)程有著重要的實(shí)際意義:一方面是為了便于利用它，例如電子技術(shù)中多諧振蕩器、單穩(wěn)態(tài)觸發(fā)器及晶閘管觸發(fā)電路都應(yīng)用了RC充放電電路；另一方面，在有些電路中，由于電容的充放電過(guò)程可能出現(xiàn)過(guò)電壓、過(guò)電流，進(jìn)行過(guò)渡過(guò)程分析可獲得預(yù)見(jiàn)，以便采取措施防止出現(xiàn)過(guò)電壓、過(guò)電流。5.2RC電路過(guò)渡過(guò)程及三要素法

5.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)電路沒(méi)有外加電源，只靠?jī)?chǔ)能元件初始能量產(chǎn)生的響應(yīng)稱(chēng)為零輸入響應(yīng)。設(shè)電路如圖5-2（a）所示，開(kāi)關(guān)S置于1的位置，電路處于穩(wěn)態(tài)，電容C被電壓源充電到電壓U0。在t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S倒向2的位置，電容C此時(shí)通過(guò)電阻R進(jìn)行放電。圖5-2（b）為換路后的電路，列寫(xiě)換路后的電路方程，可求出其電路響應(yīng)。圖5-2零輸入響應(yīng)電路根據(jù)圖5-2（b），在所選各量的參考方向下，由KVL得-uR+uC=0（5-2）

將元件的電壓電流關(guān)系uR=Ri,i=-C(負(fù)號(hào)表示電容的電壓和電流為非關(guān)聯(lián)參考方向)代入上式，得（5-3）解此RC電路的零輸入響應(yīng)方程，得到電容電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律。用一階常系數(shù)線性齊次常微分方程求解方法和初始條件解得它的通解為

uC=AePt

將其代入式（5-3），得特征方程

RCp+1=0

解得特征根所以（5-4）式中的常數(shù)A由電路的初始條件確定。由換路定律得

uC(0+)=uC(0-)=U0

即t=0+時(shí)uC=U0,將其代入式（5-4）得A=U0。最后得電容的零輸入響應(yīng)電壓（t≥0）（5-5）它是一個(gè)隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)，uC隨時(shí)間變化的曲線如圖5-3所示，在t=0時(shí)uC=u0，沒(méi)有躍變。uC求得后，可得電路中的電流響應(yīng)(t>0)(5-6)圖5-3uC變化曲線圖5-4i變化曲線它也是一個(gè)隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)，波形如圖5-4所示，在t=0時(shí)，電流由零躍變?yōu)閁0/R，發(fā)生了躍變,這正是由電容電壓不能躍變所決定的。在式（5-5）、（5-6）中,令（t≥0）（5-7）(t>0)（5-8）

e的指數(shù)項(xiàng)（-t/τ）必然是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)，因此R和C的乘積具有時(shí)間的量綱，與電路初始情況無(wú)關(guān)，所以把τ=RC叫做RC電路的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)C用法拉，R用歐姆為單位時(shí)，有下面以式（5-7）為例來(lái)說(shuō)明時(shí)間常數(shù)τ的意義。開(kāi)始放電時(shí)，uC=u0,經(jīng)過(guò)一個(gè)τ的時(shí)間，uC衰減為

uC(τ)=U0e-1=0.368U0時(shí)間常數(shù)就是按指數(shù)規(guī)律衰減的量衰減到它的初始值的36.8%時(shí)所需的時(shí)間?？梢宰C明，若以τ和τ的倍數(shù)標(biāo)注時(shí)間軸，那么，uC和i的指數(shù)曲線上任意點(diǎn)的次切距長(zhǎng)度都等于時(shí)間常數(shù)τ,即以任意點(diǎn)的切線勻速衰減到零所需要的時(shí)間為τ。當(dāng)t=4τ時(shí)，uC(4τ)=U0e-4=0.0183U0，

電壓已下降到初始值U0的1.83%，可認(rèn)為電壓已基本衰減到零。工程上一般認(rèn)為,換路后，時(shí)間經(jīng)過(guò)3τ～5τ，過(guò)渡過(guò)程就結(jié)束。由此可看出，電壓、電流衰減的快慢取決于時(shí)間常數(shù)τ的大小，時(shí)間常數(shù)越大，衰減越慢，過(guò)渡過(guò)程越長(zhǎng)；反之，時(shí)間常數(shù)越小，衰減越快，過(guò)渡過(guò)程越短。RC電路的零輸入響應(yīng)是由電容的初始電壓U0和時(shí)間常數(shù)τ=RC所確定的。τ對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響見(jiàn)圖5-5給出的RC電路在三種不同τ值下電壓uC隨時(shí)間變化的曲線。圖5-5不同τ值下的uC曲線在放電過(guò)程中，能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系是電容不斷放出能量，電阻則不斷消耗能量，最后，原來(lái)儲(chǔ)存在電容中的電場(chǎng)能量全部為電阻吸收而轉(zhuǎn)換為熱量。［例5-2］電路如圖5-6所示，開(kāi)關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)閉合，試求t>0時(shí)的電壓uC和電流iC、i1及i2。圖5-6例5-2的圖［解］在t>0時(shí)，左邊電路被短路，對(duì)右邊電路不起作用，這時(shí)電容經(jīng)電阻1Ω和2Ω兩支路放電，等效電阻為故時(shí)間常數(shù)為由式（5-7）和（5-8）得

5.2.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)電容的初始電壓為零時(shí)，電路與直流電壓源或電流源接通，由外施激勵(lì)引起的響應(yīng)稱(chēng)為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。電路如圖5-7所示，設(shè)開(kāi)關(guān)S合上前電容C未充電，t=0時(shí)合上開(kāi)關(guān)，此時(shí)的電路響應(yīng)求解可用與求解零輸入響應(yīng)同樣的方法，即求解微分方程的方法。圖5-7零狀態(tài)響應(yīng)電路由KVL得

uR+uC=us

把代入上式，得（t>0）（5-9）由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，式（5-9）是一個(gè)一階常系數(shù)線性非齊次微分方程，它的解由其特解uC′和相應(yīng)的齊次微分方程的通解uC″組成，即

uC=uC′+uC″

其特解為uC=us

而通解為與式（5-9）對(duì)應(yīng)的齊次方程式（5-10）的解：

由前面可知（5-10）因此，uC的解為(t≥0)將uC的初始值t=0時(shí)uC(0+)=uC(0-)=0代入上式確定出常數(shù)A：

0=us+A

A=-us

最后得出電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為(t≥0)

令τ=RC，則(t≥0)（5-11）進(jìn)而可得電路的電流i(t)和電阻電壓uR為(t＞0)(5-12)(t＞0)（5-13）

uC(t)、

uR(t)和i(t)隨時(shí)間變化的曲線如圖5-8所示。圖5-8零狀態(tài)響應(yīng)變化曲線由上述分析可知，電容元件與恒定的直流電壓源接通后，電容的充電過(guò)程是：電容電壓從零值按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，最后趨于直流電壓源的電壓Us；充電電流從零值躍變到最大值Us/R后按指數(shù)規(guī)律衰減到零；電阻電壓與電流變化規(guī)律相同，從零值躍變到最大值Us后按指數(shù)規(guī)律衰減到零。電壓、電流上升或下降的快慢仍然由時(shí)間常數(shù)τ決定，τ越大，uC上升越慢，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間越長(zhǎng)；反之，τ越小，uC上升越快，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間也越短。當(dāng)t=τ時(shí)，uC(τ)=(1-e-1)Us=0.632Us，電容電壓增至穩(wěn)態(tài)值的0.632倍。當(dāng)t=5τ時(shí)，uC=0.997Us,可以認(rèn)為充電已經(jīng)結(jié)束。電容充電過(guò)程中的能量關(guān)系為電源供給的能量一部分轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在電容中，一部分則被電阻消耗掉。在充電過(guò)程中，電阻所消耗的電能為圖5-9例5-3的圖［例5-3］電路如圖5-9所示，開(kāi)關(guān)在t＝0時(shí)閉合，在閉合前電容無(wú)儲(chǔ)能，試求t≥0時(shí)電容電壓以及各電流。［解］因?yàn)樵陂_(kāi)關(guān)閉合前無(wú)儲(chǔ)能，所以由換路定律得

uC(0+)=uC(0-)=0

因此，電路響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，電路的時(shí)間常數(shù)τ＝RC，其中則

τ=RC=15×103×20×10-6=0.3s

t＝∞時(shí)電容上的電壓為電源電壓Us，所以電路的零狀態(tài)響應(yīng)為(t≥0)(t＞0)由于并聯(lián)支路電阻相等，得(t＞0)［例5-4］電路如圖5-10所示，電容原未充電，

t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)從1扳向2，求uC（t)和iC(t)。［解］電容原未充電，所以u(píng)C(0+)=uC(0-)=0。根據(jù)開(kāi)關(guān)動(dòng)作后的電路，列寫(xiě)電路方程為

iC+iR=Is

將代入上式，得圖5-10例5-4的圖整理得零狀態(tài)響應(yīng)為（t≥0）（t>0）5.2.3RC電路的全響應(yīng)及三要素法電路的全響應(yīng)就是在初始狀態(tài)及外加激勵(lì)共同作用下的響應(yīng)。圖5-11所示電路中，設(shè)電容C原已被充電，且uC(0+)=U0，在t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)合上，RC串聯(lián)電路與直流電壓源接通。

顯然，換路后的電路響應(yīng)由輸入激勵(lì)Us和初始狀態(tài)U0共同產(chǎn)生，是全響應(yīng)。求解全響應(yīng)仍然可以用求解微分方程的方法，描述圖5-11RC電路全響應(yīng)的微分方程與前述RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)的電路方程一樣，為(t≥0)其解為(t≥0)圖5-11

但由于初始條件不同，待定系數(shù)A值不同，將初始值代入得

A=U0-Us

令τ＝RC，則全響應(yīng)(5-14)

(5-15)

(5-16)全響應(yīng)曲線如圖5-12所示。圖5-12全響應(yīng)曲線(a)Us＞U0;(b)Us＜U0

式（5-14）可以看作是由兩個(gè)分量組成的，第一項(xiàng)稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)分量，它僅決定于激勵(lì)的性質(zhì)；第二項(xiàng)稱(chēng)為暫態(tài)分量，按指數(shù)規(guī)律衰減。所以，全響應(yīng)也可表示為

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量這是全響應(yīng)的第一種分解形式。式（5-14）也可寫(xiě)成如下形式：(5-17)可以看出，第一項(xiàng)是uC的零輸入響應(yīng)，第二項(xiàng)則是uC的零狀態(tài)響應(yīng)，即

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)質(zhì)上，這是線性電路疊加的必然結(jié)果。因?yàn)槿憫?yīng)是由初始值和輸入激勵(lì)共同產(chǎn)生的，所以全響應(yīng)就等于初始值和輸入激勵(lì)分別作用產(chǎn)生的響應(yīng)之和。不難看出，電路中的任意電壓、電流的全響應(yīng)都可看成是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，而零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)都是全響應(yīng)的一種特例。圖5-13例5-5的圖［例5-5］電路如圖5-13所示，已知R=6Ω，

C=1F，Us=10V，

uC(0-)=-4V，開(kāi)關(guān)在t＝0時(shí)閉合，求t>0時(shí)的uC(t)、

iC(t)。［解］電路的微分方程為電路的時(shí)間常數(shù)為

τ=RC=6×1=6s方程的解為將初始值uC(0-)=-4V=uC(0+)代入上式得

-4＝10＋A所以

A＝-14V最后得（t≥0）（t>0）前面我們求解零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)都是采用解一階微分方程的方法，又知道零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)都是全響應(yīng)的特例，從解的形式可以發(fā)現(xiàn)，還有更直接的方法求出一階電路的全響應(yīng)。對(duì)RC電路的全響應(yīng)式進(jìn)行分析，如果將待求的電壓或電流用f(t)表示，其初始值和穩(wěn)態(tài)值分別為f(0+)和f(∞)，其響應(yīng)可寫(xiě)成在t=0+時(shí)有

f(0+)=f(∞)+A

A=f(0+)-f(∞)所以一階電路的解就可表達(dá)為

f(t)=f(∞)+［f(0+)-f(∞)］(5-18)式中f(∞)、f(0+)和τ稱(chēng)為一階電路的三要素，式（5-18）稱(chēng)為一階電路的三要素公式。直接利用三要素公式來(lái)求解一階電路稱(chēng)為求解一階電路的三要素法。一階電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為

f(t)=f(0+)

(5-19)f(t)=f(∞)(1-)(5-20)用三要素法求解一階電路時(shí)，只要求出待求電壓或電流的初始值（0＋值）、t＝∞時(shí)的穩(wěn)態(tài)值和電路的時(shí)間常數(shù)τ這三個(gè)量，將其代入式（5-18）即可得到所求電壓或電流的響應(yīng)。初始值f(0+)的求法已在5.1節(jié)中講述。穩(wěn)態(tài)值f(∞)由t＝∞時(shí)的等效電路求得，在等效電路中，電容相當(dāng)于開(kāi)路。同一電路只有一個(gè)時(shí)間常數(shù)τ＝RC，其中R應(yīng)理解為從動(dòng)態(tài)元件兩端看進(jìn)去的戴維南或諾頓等效電路中的等效電阻。［例5-6］電路如圖5-14所示，開(kāi)關(guān)S在t＝0時(shí)閉合，用三要素法求uC(t)、i(t)和iC(t)，并畫(huà)出其波形。［解］（1）求初始值uC(0+)、i(0+)和iC(0+)。

根據(jù)換路定律有

uC(0+)=uC(0-)=Us

因此，在t＝0＋瞬間，電容相當(dāng)于電壓源Us，得t＝0＋時(shí)的等效電路圖5-14(b)，由此得圖5-14例5-6的圖（2）求穩(wěn)態(tài)值uC(∞)、i(∞)和iC(∞)。

在穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路，等效電路如圖5-14(c)所示，所以有（3）求時(shí)間常數(shù)。電壓源用短路替代，從電容兩端看進(jìn)去，R1和R2并聯(lián)，其等效電阻為所以(4)將初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)代入三要素公式，寫(xiě)出全響應(yīng)為（t≥0）(t≥0）（t＞0）（t＞0）圖5-15uC(t)、i(t)和iC(t)波形圖5-15

5.3RL電路的過(guò)渡過(guò)程在5.2節(jié)中對(duì)RC電路的過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)的分析，對(duì)RL電路過(guò)渡過(guò)程的分析與RC電路類(lèi)似，這里討論的是含有一個(gè)電感元件的RL電路，描述電路的微分方程是一階微分方程。我們已知道，當(dāng)電感電壓為有限值時(shí)，電感電流不能躍變，假如在t＝0時(shí)換路，則

iL(0+)=

iL(0-)，即電感電流的初始值由換路定律求得，其他電壓或電流的初始值由0＋等效電路求出。在0＋等效電路中，電感元件用電流為iL(0+)的電流源替代。求t＝∞時(shí)的穩(wěn)態(tài)值時(shí)，電感相當(dāng)于短路。RL電路的時(shí)間常數(shù)τ＝L/R，R為從電感元件兩端看進(jìn)去無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。下面通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明如何求解RL電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。［例5-7］電路如圖5-16(a)所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開(kāi)關(guān)S在t＝0時(shí)閉合，求t≥0時(shí)的i(t)、

uL(t)、

uR(t)并畫(huà)出曲線。［解］換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路。由換路定律得電感電流初始值列換路后的電路方程。在所選各量參考方向下，由KVL得

uL+uR=0圖5-16將元件的電壓電流關(guān)系

，uR=Ri代入上式得（t＞0）（t＞0）它是一階常系數(shù)線性齊次常微分方程，求解微分方程即可得出電流的變化規(guī)律，在這里我們不再贅述。采用與RC電路零輸入響應(yīng)的微分方程

對(duì)照的辦法，其解可直接寫(xiě)出。得RL電路的零輸入響應(yīng)電流為(t≥0)電感電壓及電阻電壓為(t＞0)(t＞0)i(t)、

uL(t)、

uR(t)隨時(shí)間變化的曲線如圖5-16(b)所示。

RL電路的時(shí)間常數(shù)τ＝L/R，單位是秒（s），RL電路的零輸入響應(yīng)也是以初始值開(kāi)始按指數(shù)規(guī)律衰減的，衰減的快慢決定于時(shí)間常數(shù)的大小。τ越小，衰減越快。在這一過(guò)程中，電感中原先儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量逐漸被電阻消耗，轉(zhuǎn)化為熱能。RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)可直接按三要素法寫(xiě)出。［例5-8］圖5-17所示電路中，開(kāi)關(guān)S在t＝0時(shí)閉合，已知iL(0-)=0，求t≥0時(shí)的iL（t）、

uL（t）。［解］

因?yàn)閕L(0-)=0，故換路后的電路響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，因此電感電流可直接套用式（5-20）。又因?yàn)殡娏鞣€(wěn)定后，電感相當(dāng)于短路，故圖5-17例5-8的圖時(shí)間常數(shù)為所以（t≥0）（t＞0）［例5-9］電路如圖5-18（a）所示，開(kāi)關(guān)動(dòng)作前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，試求iL、

uL、i并畫(huà)出其波形。圖5-18例5-9的圖(a)電路；(b)0+等效電路［解］用三要素法。（1）求初始值。根據(jù)對(duì)換路前電路的分析及換路定律，有畫(huà)出0＋等效電路如圖5-18（b）所示，可得（2）求穩(wěn)態(tài)值。在穩(wěn)態(tài)時(shí)電感相當(dāng)于短路，所以（3）求時(shí)間常數(shù)。換路后的電路除電感外的等效電阻為（4）寫(xiě)出全響應(yīng)如下：（t≥0）（t＞0）（t＞0）（5）iL、i和uL的波形如圖5-19所示。圖5-19波形圖采用三要素法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要求出待求電壓和電流的初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)。對(duì)RL電路，電感電流的三要素一般必須求出，而且計(jì)算也不太復(fù)雜，其他的電壓和電流可由0+等效電路求出初始值，并由換路后電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的電路求出穩(wěn)態(tài)值。某些量的計(jì)算較復(fù)雜，根據(jù)換路后的電路中所求電壓、電流與電感電流的關(guān)系求出初始值可能更簡(jiǎn)便。在RC電路中，也可采用此方法，即先求出電容電壓，其他的電壓或電流根據(jù)其與電容電壓的關(guān)系求出。對(duì)例5-9中的i(t)和uL(t)即可按上述方法求出。前面已經(jīng)求出了則（t＞0）根據(jù)換路后的電路，有（t＞0）含有動(dòng)態(tài)元件的電路稱(chēng)為動(dòng)態(tài)電路，由于動(dòng)態(tài)元件的伏安關(guān)系為微分或積分關(guān)系，因此描述動(dòng)態(tài)電路的方程為微分方程。線性動(dòng)態(tài)電路由常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述。求解微分方程的解析法稱(chēng)為時(shí)域分析法。任何只含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的線性電路都是用一階常系數(shù)線性微分方程描述的，這種電路稱(chēng)為一階電路。一階電路的全響應(yīng)為利用此公式求解一階電路的方法稱(chēng)為一階電路的三要素法。f(0+)、f(∞)、τ稱(chēng)為一階電路的三要素。一階電路的零輸入響應(yīng)為一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)為5.4RC電路對(duì)矩形波的響應(yīng)在電子技術(shù)中，利用RC電路的過(guò)渡過(guò)程可以構(gòu)成周期性震蕩、周期性信號(hào)變換等各種功能電路，RC電路對(duì)矩形波的響應(yīng)就可以被用于進(jìn)行波形變換。例如，圖5-20(a)所示的RC電路，當(dāng)電容初始能量為零，外加電壓源波形如圖5-20(b)所示為單個(gè)矩形波時(shí)，電路的響應(yīng)可以分段求解如下。圖5-20RC電路輸入單個(gè)矩形波在t＝0～t0這一段，電路的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)；

t＞t0為零輸入響應(yīng)；t＝t0＋時(shí)的值為零輸入響應(yīng)的初始值。由于電容電壓不能躍變，因而uC(t0+)=uC(t0-)，

uC(t0-)為零狀態(tài)響應(yīng)t＝t0時(shí)的值，則

當(dāng)0≤t＜t0時(shí)，有當(dāng)t≥t0時(shí)，有響應(yīng)曲線如圖5-21所示。注意，t≥t0時(shí)的響應(yīng)式中，e的指數(shù)時(shí)間要用t-t0，這是因?yàn)閠＝t0時(shí)為e0。然后按指數(shù)規(guī)律衰減，t-t0＝3τ～5τ時(shí)，過(guò)渡過(guò)程結(jié)束。在分析線性電路的過(guò)渡過(guò)程時(shí)，特別是對(duì)矩形波或矩形脈沖序列激勵(lì)的響應(yīng)進(jìn)行分析時(shí)，利用階躍函數(shù)來(lái)描述電路的激勵(lì)和響應(yīng)有時(shí)比較方便。下面先介紹什么是階躍函數(shù)，然后介紹階躍響應(yīng)。圖5-21RC電路對(duì)單個(gè)矩形波的響應(yīng)曲線

1．單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)用符號(hào)1（t）表示，定義為

0

t＜01（t）=1t＞0

其波形如圖5-22（a）所示。圖5-22階躍函數(shù)(a)單位階躍函數(shù)；(b)幅度為A的階躍函數(shù)；(c)延時(shí)階躍函數(shù)

2．幅度為A的階躍函數(shù)躍變幅度為A的階躍函數(shù)為A·1(t)，其數(shù)學(xué)定義為t＜0t＞0（5-22）其波形如圖5-22（b）所示。利用單位階躍函數(shù)可以表示在t＝0時(shí)電路接入電壓源或電流源，單位階躍函數(shù)的起始特性代替了開(kāi)關(guān)的動(dòng)作，如圖5-23所示。于是，對(duì)于圖5-24(a)所示的矩形脈沖，可以被看作由圖5-24（b）、（c）所示的兩個(gè)階躍函數(shù)相加而成，表達(dá)式為

f(t)=A·1(t)-A·1(t-t0)(5-24)圖5-23用單位階躍函數(shù)代替開(kāi)關(guān)圖5-24矩形脈沖分解成階躍函數(shù)圖5-25RC串聯(lián)電路電路對(duì)階躍激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為階躍響應(yīng)。階躍響應(yīng)的求法與零狀態(tài)響應(yīng)求法相同。圖5-25所示的RC串聯(lián)電路的階躍響應(yīng)為

uC(t)=Us(1-

)·1(t)(5-25)

式（5-25）后面不需再標(biāo)明t≥0，因?yàn)?（t）已表示出這一條件。電路對(duì)單個(gè)矩形波的響應(yīng)若用階躍函數(shù)表示激勵(lì)，則圖5-20的RC電路激勵(lì)和響應(yīng)分別為激勵(lì)為us(t)=Us·1(t)-Us·1(t-t0)響應(yīng)為(5-26)式(5-26)是兩個(gè)階躍電壓響應(yīng)的疊加，波形圖如圖5-26所示。從前面的分析可看出，對(duì)矩形波的響應(yīng)既可以分段來(lái)求，也可以寫(xiě)成階躍響應(yīng)疊加的形式。圖5-26單個(gè)矩形波的響應(yīng)等于階躍響應(yīng)的疊加［例5-10］圖5-27（a）所示電路，如果T=10τ，求uC(t)和uR(t)，并畫(huà)出波形圖。圖5-27例5-10的圖［解］圖5-27（b）所示電壓波形是一周期為2T的周期函數(shù)，第一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)可表示為

us(t)=Us·1(t)-Us·1(t-T)V

此電壓加在RC串聯(lián)電路上時(shí)，電容在前半周期內(nèi)充電，在后半周期內(nèi)放電。由于T＝10τ，因此，在每半個(gè)周期結(jié)束時(shí)，已足夠精確地認(rèn)為充電過(guò)程和放電過(guò)程已經(jīng)完畢。即在前半個(gè)周期結(jié)束時(shí)，電容已充電到電壓Us；在后半個(gè)周期結(jié)束時(shí)，電容已放電到電壓為零。如此過(guò)程周而復(fù)始，不斷重復(fù)。第一個(gè)周期內(nèi)uC(t)為uC(t)、

uR(t)的波形如圖5-27（c）、（d）所示。通過(guò)求解RC電路對(duì)矩形波的響應(yīng)可以看出：（1）當(dāng)時(shí)間常數(shù)τ遠(yuǎn)小于T時(shí)，RC串聯(lián)電路如果從電阻上取輸出，則輸出波形uR對(duì)應(yīng)于矩形波的上升沿為正脈沖，對(duì)應(yīng)于下降沿為負(fù)脈沖，可以用作微分電路。

（2）如果從電容上取其輸出，則輸出波形uC對(duì)應(yīng)于矩形波輸入邊沿變平緩，體現(xiàn)了電容電壓的滯后作用。當(dāng)時(shí)間常數(shù)τ增大時(shí)，uC會(huì)將輸入的矩形波變成鋸齒波或三角波，此特性可在電子線路中用于波形變換；如時(shí)間常數(shù)τ遠(yuǎn)大于T，則由于電容充電的累積，uC會(huì)逐漸升高，這時(shí)該電路還可近似作為積分電路。本章小結(jié)含有儲(chǔ)能元件并處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的電路，由于能量不能躍變，當(dāng)電路參數(shù)或輸入激勵(lì)改變時(shí)，會(huì)逐漸變換到另一種穩(wěn)定工作狀態(tài)繼續(xù)工作，這個(gè)隨時(shí)間變換的過(guò)程被稱(chēng)為電路的過(guò)渡過(guò)程或暫態(tài)過(guò)程。電路換路的初始值f(0+)可以由換路定律確定。換路定律的基本含義是：電容兩端的電壓不能躍變，流過(guò)電感的電流不能躍變。具體表達(dá)式為

uC（0+）=uC（0-）iL（0+）=iL（0-）

一階電路過(guò)渡過(guò)程可以通過(guò)解一階微分方程的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)來(lái)求解，也可以由三要素法更快地求解，三要素法的計(jì)算公式為

f（t）=f(∞)+［f(0+)-f(∞)］換路后新的穩(wěn)態(tài)值f(∞)可利用新的穩(wěn)態(tài)電路求出。對(duì)直流電路應(yīng)注意將電感短路，電容開(kāi)路。一階電路過(guò)渡過(guò)程的時(shí)間長(zhǎng)短取決于電路的時(shí)間常數(shù)τ。在RC電路中，τ=RC；在RL電路中，τ=L/R,注意R為電路的等效電阻。過(guò)渡過(guò)程在經(jīng)歷一個(gè)τ時(shí)間后，f(t)的變化量達(dá)到總變化量的63.2%；在經(jīng)歷(3～5)τ時(shí)間后，可認(rèn)為f(t)到達(dá)穩(wěn)態(tài)。利用RC電路對(duì)矩形波的響應(yīng)可以在不同的τ參數(shù)下設(shè)計(jì)不同的R