經(jīng)驗(yàn)交流：關(guān)于離散數(shù)學(xué)的備考

第頁(yè)共頁(yè)經(jīng)歷交流：關(guān)于離散數(shù)學(xué)的備考經(jīng)歷交流：關(guān)于離散數(shù)學(xué)的備考離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是計(jì)算機(jī)科學(xué)中根底理論的核心課程。有不少院校將它列為計(jì)算機(jī)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試的備選科目。本文旨在將我們的一些復(fù)習(xí)經(jīng)歷總結(jié)出來(lái)，提供應(yīng)選考離散數(shù)學(xué)的朋友們參考。本文的撰寫(xiě)主要針對(duì)跨專業(yè)和本科階段離散數(shù)學(xué)根底不是很好的朋友，希望能有一定的幫助作用。第一個(gè)問(wèn)題是：怎樣的考生合適選考離散數(shù)學(xué)？離散數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)集中，抽象思維才能的要求較高。不管是哪本離散數(shù)學(xué)教材，都會(huì)在每一章節(jié)列出假設(shè)干定義和定理，接著就是這些定義定理的直接應(yīng)用。沒(méi)有較好的抽象思維才能的人，很難往深處學(xué)下去。同時(shí)，離散數(shù)學(xué)的題目較為"呆板"，出新題比擬困難，不管什么考試，許多題目是陳題，或者稍作變化的來(lái)的。在我們搜集到的各個(gè)院校的離散數(shù)學(xué)試題中，顯得比擬"異類"的僅有北大、復(fù)旦和中科院自動(dòng)化所的。其中北大是難度大，復(fù)旦與自動(dòng)化所是側(cè)重點(diǎn)與眾不同。其余院校那么大同小異。因此，思維嚴(yán)謹(jǐn)、標(biāo)準(zhǔn)、邏輯性強(qiáng)〔而不必要太活潑〕的朋友可以考慮選考離散數(shù)學(xué)，而從應(yīng)試的角度來(lái)說(shuō)，記憶力好的朋友也可通過(guò)強(qiáng)記各種題型〔甚至是大量典型題目的解法〕來(lái)獲得一個(gè)不錯(cuò)的分?jǐn)?shù)。第二個(gè)問(wèn)題是：選用什么書(shū)進(jìn)展復(fù)習(xí)？首先各位考友應(yīng)該與欲報(bào)考院校的研招辦聯(lián)絡(luò)，弄清專業(yè)課指定教材，根據(jù)所獲得的信息來(lái)買(mǎi)書(shū)。許多院校選用左孝凌教師的《離散數(shù)學(xué)》作為參考教材。報(bào)考這些院校的朋友應(yīng)設(shè)法找到此書(shū)的配套輔導(dǎo)書(shū)《離散數(shù)學(xué)理論、分析^p、題解》。這本輔導(dǎo)書(shū)總體質(zhì)量很好，即使作為一般學(xué)慣用的習(xí)題集也是不錯(cuò)的。此外我們?cè)侔哑渌鼤?shū)籍的情況介紹一下。1、北大三本離散教材。這是我們目前所知難度最大，覆蓋面最廣的離散數(shù)學(xué)教材?？急贝蟮呐笥驯貍洹Ｆ溆嗟目梢再I(mǎi)來(lái)作為備用。平時(shí)不用專門(mén)看，一旦在其它書(shū)上遇到生疏的知識(shí)點(diǎn)，這些書(shū)就派上用場(chǎng)了。2、耿素云教師等編寫(xiě)的《離散數(shù)學(xué)習(xí)題集》。與左教師的書(shū)大多數(shù)題都是一樣的，只是由于某些符號(hào)和定義的不同，使得題目的設(shè)定和解法有些不同而已。3、《全真題解〔離散數(shù)學(xué)分冊(cè)〕》。我們自己編寫(xiě)的習(xí)題集，搜集了大量近年來(lái)各院校的研究生入學(xué)考試試題，總結(jié)了多種題型并提出有針對(duì)性的解法，還有深化細(xì)致的分析^p與擴(kuò)展。對(duì)于備考來(lái)說(shuō)是很好的選擇。4、"全美經(jīng)典學(xué)習(xí)指導(dǎo)系列"中的《離散數(shù)學(xué)》、《2000離散數(shù)學(xué)習(xí)題精解》。這是今年〔2023〕剛剛出來(lái)的新書(shū)，國(guó)外的書(shū)〔已翻譯〕，科學(xué)出版社出版。是好書(shū)，不過(guò)不是很符合中國(guó)人的離散教學(xué)體系。作為進(jìn)步用書(shū)還是不錯(cuò)的。5、《DISCRETEMATHEMATICALSTRUCTURES》，高等教育出版社出版的英文影印版教材，深化淺出，絕對(duì)好書(shū)，然而用于備考那么顯得針對(duì)性不強(qiáng)。使用它的好處是一舉兩得，同時(shí)可以鍛煉英文才能。但需要在數(shù)學(xué)以及其它課程上花費(fèi)較多時(shí)間的朋友慎用。另外再說(shuō)一點(diǎn)，有些還在讀大一大二的非計(jì)算機(jī)專業(yè)的朋友，想跨專業(yè)考計(jì)算機(jī)研究生并且打算學(xué)離散數(shù)學(xué)。這些朋友，假如暫時(shí)還沒(méi)有選定要報(bào)考的院校，那么左孝凌教師的書(shū)是一本相當(dāng)好的入門(mén)教材，可以先買(mǎi)來(lái)打打根底。接著就該開(kāi)場(chǎng)復(fù)習(xí)了，整個(gè)過(guò)程可大致分為三個(gè)階段。第一階段，大量進(jìn)展知識(shí)儲(chǔ)藏的階段。離散數(shù)學(xué)是建立在大量定義上面的邏輯推理學(xué)科。因此對(duì)概念的理解是我們學(xué)習(xí)這門(mén)學(xué)科的核心。由于這些定義非常抽象，初學(xué)者往往不能在腦海中建立起它們與現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的聯(lián)絡(luò)。對(duì)于跨專業(yè)自學(xué)的朋友來(lái)說(shuō)更是如此。這是離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的第一個(gè)困難。因此，對(duì)于第一遍復(fù)習(xí)，我們提出一個(gè)最為重要的要求，即準(zhǔn)確、全面、完好地記憶所有的定義和定理。詳細(xì)做法可以是：在進(jìn)展完一章的學(xué)習(xí)后，用專門(mén)的時(shí)間對(duì)該章包括的定義與定理施行強(qiáng)記，直到可以全部正確地默寫(xiě)出來(lái)為止。無(wú)須強(qiáng)求一定要理解，記住并能準(zhǔn)確復(fù)述各定義定理是此階段的最高要求。也不需做太多的題〔甚至不做課后習(xí)題也是可以的，把例題看懂就行〕，重心要放在對(duì)定義和定理的記憶上。請(qǐng)牢記，這是為將來(lái)的向廣度和深度擴(kuò)張作必要的準(zhǔn)備。這一過(guò)程視各人情況不同耗時(shí)約在一到兩個(gè)月內(nèi)。第二階段，深化學(xué)習(xí)，并大量做課后習(xí)題的階段。這是最漫長(zhǎng)的一個(gè)階段，耗時(shí)也很難估計(jì)，一般來(lái)說(shuō)，假設(shè)能純熟解出某一章75%以上的課后習(xí)題，可以考慮完畢該章。解離散數(shù)學(xué)的題，方法非常重要，假如拿到一道題，立即可以看出它所屬的`類型及關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)，就不難選用正確的方法將其解決，反之那么事倍功半。例如在命題邏輯局部，無(wú)非是這么幾種題目：將自然語(yǔ)言表述的命題符號(hào)化，等價(jià)命題的互相轉(zhuǎn)化〔包括化為主合取范式與主析取范式〕，以給出的假設(shè)干命題為前提進(jìn)展推理和證明。相應(yīng)的對(duì)策也馬上就可以提出來(lái)。以推理題為例，主要是利用P、T規(guī)那么，加上蘊(yùn)涵和等價(jià)公式表，由給定的前提出發(fā)進(jìn)展推演，或根據(jù)題目特點(diǎn)采用真值表法、CP規(guī)那么和反證法。由此可見(jiàn)，在平常復(fù)習(xí)中，要擅長(zhǎng)總結(jié)和歸納，仔細(xì)體會(huì)題目類型和此類題目的解題套路。如此多作練習(xí)，那么即使遇到比擬生疏的題也可以較快地領(lǐng)悟其本質(zhì)，從而輕松解出。"熟讀唐詩(shī)三百首，不會(huì)做詩(shī)也會(huì)吟。"要是拿到一本習(xí)題集，從頭到尾做過(guò)，甚至背會(huì)的話。那么，在考場(chǎng)上就會(huì)發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)題見(jiàn)過(guò)或似曾相識(shí)。這時(shí)，要獲得較好的成績(jī)也就不是太難的事情了。這一情況具有普遍性，對(duì)許多院校的考試都適用。第三階段，進(jìn)展真題模擬訓(xùn)練，進(jìn)步整體程度和綜合才能的階段。這一階段從第二階段完畢一直持續(xù)到考試。除了上面介紹的教材之外，應(yīng)盡可能地弄到報(bào)考院校的專業(yè)課歷年試題。因?yàn)槊總€(gè)單位對(duì)該科目的側(cè)重點(diǎn)畢竟有不同，從歷年試題中可以獲取許多有用的信息。這些歷年試題此時(shí)就有了宏大的作用。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)理邏輯會(huì)是整個(gè)試卷中較為簡(jiǎn)單的一個(gè)局部。但這并不意味著你就能輕易將所有或大局部分?jǐn)?shù)收入囊中。它的陷阱主要在哪里呢？不是在試題本身，而是在復(fù)習(xí)中錯(cuò)誤的指導(dǎo)思想上。這一局部的題目往往因其簡(jiǎn)單，"一看就懂"，而被輕視了。從而導(dǎo)致練習(xí)缺乏，做起題來(lái)似乎大錯(cuò)不會(huì)犯，但小缺點(diǎn)總是不斷，難以做到百分之百正確。實(shí)際上，必須建立這樣的認(rèn)識(shí)，即：數(shù)理邏輯局部的試題一定要獲得85%以上的分?jǐn)?shù)。否那么整個(gè)離散數(shù)學(xué)科目的分?jǐn)?shù)將偏低，會(huì)置你于極為不利的境地。要時(shí)刻記住，這不是為期末考試做準(zhǔn)備，60分就萬(wàn)事大吉了。這是在準(zhǔn)備考研！每一分都是生死攸關(guān)的！因此要在做題時(shí)追求高準(zhǔn)確度、高效率。集合論局部的難度也不大，等價(jià)關(guān)系〔往往與等價(jià)類劃分結(jié)合起來(lái)考〕是該局部?jī)?nèi)容的重中之重，應(yīng)予以特別關(guān)注。代數(shù)構(gòu)造局部通常會(huì)有較難的題目出現(xiàn)，以區(qū)分中上程度的考生與高程度考生。但是，大家也不必發(fā)怵。應(yīng)該看到，這些難題的難度并不是由于解題思路過(guò)于靈敏，解題技巧過(guò)于復(fù)雜而造成的。恰恰相反，這些題目的解法常常是很標(biāo)準(zhǔn)的，總是根據(jù)一定的"套路"來(lái)解。只不過(guò)所涉及的知識(shí)點(diǎn)既多又生疏，才會(huì)覺(jué)得困難重重。對(duì)付這種題，只需做到兩點(diǎn)：1、熟悉與題目相關(guān)的知識(shí)；2、掌握解題"套路".圖論是離散數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)。相比于離散數(shù)學(xué)的其它局部，圖論的題目稍顯靈敏，且要求較高的空間思維和想象才能。但其解法仍然有章可循。常用的方法有：反證法、數(shù)學(xué)歸納法、最長(zhǎng)〔最短〕途徑法等。除了注意這些常規(guī)的東西之外，還要留心自己報(bào)考的院校的出題習(xí)慣，以確定重點(diǎn)來(lái)強(qiáng)化訓(xùn)練。這是直接關(guān)系到復(fù)習(xí)質(zhì)量的大事，不可輕視?？记耙坏絻芍軙r(shí)，還應(yīng)再穩(wěn)固一下對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的記憶。對(duì)遺忘了的內(nèi)容，要再次強(qiáng)記，確?？荚嚂r(shí)不致因此而喪失易得的分?jǐn)?shù)。各種解題方法也要再熟