《等比數(shù)列的前n項和公式》說課稿(附教案)

《等比數(shù)列的前n項和公式》說課稿《等比數(shù)列前n項和》是人教版必修5第二章數(shù)列中第五節(jié)第一課時的內(nèi)容。下面，我從教材分析，情境創(chuàng)設(shè)、公式推導，公式應(yīng)用，教學反思等幾個方面,談?wù)勛约旱墓芨Q之見,與各位老師探討。教材分析等比數(shù)列的前n項和是“等差數(shù)列的前n項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、是進一步學習數(shù)列知識和解決一類求和問題的重要基礎(chǔ)和有力工具。它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導過程中所蘊涵的類比、分類討論、方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)。學情分析就學生而言，等差、等比數(shù)列的定義和通項公式，等差數(shù)列的前ｎ項和的公式是學生在學習之前已經(jīng)具備的知識基礎(chǔ)。學生具體研究學習了等差數(shù)列前n項和公式的推導方法，具備了一定的探究能力?；诖耍瑢W生會產(chǎn)生思考，等比數(shù)列前n項和公式應(yīng)該如何推導，公式是從什么新的角度建構(gòu)？其重要性和普遍性體現(xiàn)在哪里？應(yīng)該說學生從內(nèi)心來講，有想探究等比數(shù)列前n項和公式的欲望和驅(qū)動力。教學目標在知識方面：理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導方法，掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。在能力方面：提高學生的建模意識，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想，優(yōu)化思維品質(zhì)。在情感方面：培養(yǎng)學生將數(shù)學學習放眼生活，用生活眼光看數(shù)學的思維品質(zhì)。重點難點重點：使學生掌握等比數(shù)列的前項和公式，用等比數(shù)列的前n項和公式解決實際問題。難點：由研究等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點推導等比數(shù)列的前ｎ項和公式。情境創(chuàng)設(shè)《數(shù)學課程標準》中明確指出:教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境,從具體實例出發(fā),展現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程,使學生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程,了解知識的來龍去脈.是對課堂教學實踐的要求.我選擇的問題情景是國王賞麥的故事.國際象棋起源于古代印度,關(guān)于國際象棋有這樣一個傳說:相傳古印度宰相達依爾，發(fā)明了國際象棋。當時的國王大為贊賞，就問他想要什么。達依爾說：“請在棋盤的64個方格上，第一格放1顆麥粒，第二格放2顆麥粒，第三格放4顆麥粒，依次類推，每一格放的麥粒數(shù)都是前一格的兩倍，直到第64格，請您給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求?！边x擇這個故事作為問題情景首先是因為經(jīng)典永遠是經(jīng)典,這正是基于數(shù)學教師對數(shù)學史知識的廣泛認同.通過數(shù)學史料,可以擴展學生的數(shù)學視野,提高學生對數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值、文化價值的認識.其次,將學生的角色設(shè)計成國王的謀士，更加激發(fā)了學生的探究熱忱，同時也讓學生明白數(shù)學和生活息息相關(guān)，把學以致用的思想滲透到課堂中。最后,通過讓學生大膽預(yù)測麥粒的重量產(chǎn)生懸念,在公式推導后讓學生運用公式解決問題,收尾呼應(yīng).在教師的引導下，學生根據(jù)自己掌握的知識和經(jīng)驗，很快建立起等比數(shù)列的數(shù)學模型。數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列。當學生躍躍欲試要求這個數(shù)列的前64項和時，課題的引入水到渠成。公式推導豐富學生的學習方式,改進學生的學習方法是高中數(shù)學新課程的基本理念.《數(shù)學課程標準》明確指出:教學中,應(yīng)鼓勵學生積極參與教學活動,包括思維的參與和行為的參與.既要有教師的講授和指導,也有學生的自主探索與合作交流.鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途徑,使他們經(jīng)歷知識形成的過程.公式推導是這節(jié)課的重難點突破的地方，是整節(jié)課的核心。我進行了深入的思考,以教學實踐與經(jīng)驗為基礎(chǔ),設(shè)計的教學方案是通過復習類比等差數(shù)列求和方法尋求等比數(shù)列求和的突破，重點主要是為什么要在等比數(shù)列前n項和這一等式兩邊同乘以公比q。首先推導等差數(shù)列前n項和公式，形式上采用倒序相加法，本質(zhì)上是根據(jù)等差數(shù)列的定義，從公差為這一特性出發(fā)，抓住倒序后兩式中上下對應(yīng)項的和均為這個特點，構(gòu)造相同項，進而化繁為簡，推得公式。由此學生自然會聯(lián)想等比數(shù)列是不是也可以用倒序相加法求和?學生進行嘗試發(fā)現(xiàn)時行不通的.在此情景下引領(lǐng)學生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，如何在等比數(shù)列前n項和中構(gòu)造相同項，從而化繁為簡是解決問題的關(guān)鍵。引導學生抓住等差數(shù)列求和是根據(jù)定義，由公差切入。自然，等比數(shù)列求和也應(yīng)根據(jù)定義，由公比來探究。關(guān)注等比數(shù)列的定義：，如果對其稍加變形，就會發(fā)現(xiàn)=即等比數(shù)列中的每一項乘以都等于其后項，由于這是每一項共有的特點，所以將這一特點應(yīng)用在前n項和上，即。這樣一來，等式兩邊為何乘，迎刃而解。通過如上分析，學生也體會到：這兩種數(shù)列求和公式的推導方法，從數(shù)學思想上來講是一致的，將不同項轉(zhuǎn)化為相同項，從而將不易求轉(zhuǎn)化為易求，只是具體的處理形式略有差異。正是由于這些異同，學生數(shù)學思維深刻性、廣闊性等品質(zhì)就得到了提高，思維能力得到了鍛煉。下面如何對這一等式進一步的化簡整理，由學生分析思考，合作完成。在整合的過程中，學生會出現(xiàn)兩個問題。第一：由此，學生會發(fā)現(xiàn)②式中的前（n-1）項與①式中的后（n-1）項對應(yīng)相同，這樣一來就構(gòu)造出了相同項。但是，在表征形式上的處理有差異。有些學生注意到如果將等式右邊各項均往后錯一位，那么兩式中相同項的對應(yīng)就更加清晰，在此基礎(chǔ)上，用①式減②式，這些相同的（n-1）項立即抵消為0，得到,從而完美的達到了化繁為簡的目的。因此，對于學生深入細致的思考應(yīng)給予高度的肯定和贊賞。同時，強調(diào)指出，這樣的處理方法被形象的喻為：錯位相減法。第二：進一步化簡，有些學生容易忽視：等式兩邊同時除以（1—）時除數(shù)要求不為0，因此要特別強調(diào)對1—做分類討論，當1—=0即=1時，數(shù)列為常數(shù)列，，當1—≠0即≠1時，，從而通過錯位相減法推出公式。在此基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學生由等比數(shù)列的通項公式推出求和公式的第二種形式：≠1時，在探究的過程中，學生還有其他的推導公式的想法，我們都給予了學生高度的肯定，并且讓學生在課下整合自己的探究過程，在班級的學習園地中展示，同學們共享研究成果。同時，錯位相減法是解決一類求和問題的重要基礎(chǔ)和有力工具。要引起學生的高度重視。數(shù)學探究是高中數(shù)學課程中引入的一種新的學習方式,它有利于學生形成功能良好的認知結(jié)構(gòu).在問題探究過程中,學生通過思考、操作、內(nèi)化等學習過程,深化知識和方法的建構(gòu),同時也不斷地促進學生主動參與學習,使課堂教學真正做到讓學生“動起來”,讓課堂“活起來”.公式應(yīng)用公式推出后,又通過對公式特征的分析幫助學生弄清公式形式和本質(zhì)，明確其內(nèi)涵和外延，為靈活運用公式打下基礎(chǔ)。首先回到國王賞麥的故事中，我給學生提供了相應(yīng)的數(shù)據(jù)，讓學生運用公式解決問題，從數(shù)據(jù)出發(fā)，用事實說話。同時再次使學生明確學習的意義在于學以致用。退去故事的外衣，就是等比數(shù)列求和的問題，所以在此基礎(chǔ)上的變式練習就是公式的直接應(yīng)用，目的是加強對公式的認識和記憶，幫助學生明確解題步驟，規(guī)范解題格式，提高運算能力。例2是關(guān)于“知三求二”的應(yīng)用問題，目的是深化公式本質(zhì)，滲透方程思想。教學反思結(jié)果因過程而精彩,現(xiàn)象因方法而生動.無論是情境創(chuàng)設(shè),還是探究設(shè)計,都必須以學生為主體、教師為主導、訓練為主線,設(shè)法從龐雜的知識中引導學生去尋找關(guān)系,挖掘書本背后的數(shù)學思想,建構(gòu)基于學生發(fā)展的知識體系,教學生學會思考,讓教學真正成為發(fā)展學生能力的課堂活動。因此，本課例在公式的推導及證明中舍得花大量時間，便是為了培養(yǎng)學生學會探究與創(chuàng)新，它就像一縷溫暖的陽光，不一定能喚醒萬物，卻能催開人世間最絢麗的花朵。整節(jié)課采取了“情境——問題”的教學模式，以實際問題作為背景創(chuàng)設(shè)教學情境。在具體問題上，抽象出解決一般問題的方法，由“特殊到一般，再由一般到特殊”，讓學生親歷提出問題，解決問題，反思總結(jié)的全過程。在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上主動建構(gòu)新知識。同時，運用了學案，成果展示等新的教學理念。既保留了傳統(tǒng)教學的優(yōu)勢，又增添了新式教學的輔助。新老結(jié)合，效果顯著。從學生的課堂積極性和學習成果來看，學生較好的完成了等比數(shù)列前n項和的學習，在獲得知識的基礎(chǔ)上提高了分析問題解決問題的能力。當然，一節(jié)課的知識與能力的提高時有限的，特別是數(shù)學思想的滲透。但是，我們能夠從一節(jié)課中吸取精華，讓一節(jié)又一節(jié)的課堂活動連貫起來，促進學生學習能力的提高，數(shù)學素養(yǎng)的提升。在整個過程當中，從開始準備到此刻，我深刻的體會到了鉆研教材的艱辛與快樂，解惑授業(yè)時的責任與幸福。學無止境，路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索?！兜缺葦?shù)列的前n項和》教案教學目標：（1）知識目標：理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題；（2）能力目標：提高學生的建模意識，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想；（3）情感目標：培養(yǎng)學生將數(shù)學學習放眼生活，用生活眼光看數(shù)學的思維品質(zhì)；教學重點：（1）等比數(shù)列的前n項和公式；（2）等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用；教學難點：等比數(shù)列的前n項和公式的推導；教學方法：問題探索法及啟發(fā)式講授法教具：多媒體教學過程：一、復習提問回顧等比數(shù)列定義，通項公式。（1）等比數(shù)列定義：（，（2）等比數(shù)列通項公式：（3）等差數(shù)列前n項和公式的推導方法：倒序相加法。二、問題引入：閱讀:課本第55頁“國王賞麥的故事”。問題:如何計算引出課題:等比數(shù)列的前n項和。三、問題探討：問題：如何求等比數(shù)列的前n項和公式回顧：等差數(shù)列的前n項和公式的推導方法。倒序相加法。等差數(shù)列它的前n項和是根據(jù)等差數(shù)列的定義（1）（2）（1）+（2）得：探究：等比數(shù)列的前n項和公式是否能用倒序相加法推導？學生討論分析，得出等比數(shù)列的前n項和公式不能用倒序相加法推導?；仡櫍旱炔顢?shù)列前n項和公式的推導方法本質(zhì)。構(gòu)造相同項，化繁為簡。探究：等比數(shù)列前n項和公式是否能用這種思想推導？根據(jù)等比數(shù)列的定義：變形：具體：……學生分組討論推導等比數(shù)列的前n項和公式，學生不難發(fā)現(xiàn)：由于等比數(shù)列中的每一項乘以公比都等于其后一項。所以將這一特點應(yīng)用在前n項和上。由此構(gòu)造相同項。數(shù)學具有和諧美，錯位相減，從而化繁為簡。（1）（2）由此構(gòu)造相同項。數(shù)學具有和諧美，錯位相減，從而化繁為簡。當q=1時，當時，學生經(jīng)過討論還發(fā)現(xiàn)了其他的推導方法，讓學生課后整合自己的思路，將各自的推導過程展示在班級學習園地，同學們共享探究。由等比數(shù)列的通項公式推出求和公式的第二種形式：當時，四.知識整合:1．等比數(shù)列的前n項和公式：當q=1時，當時，2．公式特征：⑴等比數(shù)列求和時，應(yīng)考慮與兩種情況。⑵當時，等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式,分別都涉及四個量，四個量中“知三求一”。⑶等比數(shù)列通項公式結(jié)合前n項和公式涉及五個量，，五個量中“知三求二”（方程思想）。3．等比數(shù)列前n項和公式推導方法：錯位相減法。五、例題精講：例1．運用公式解決國王賞麥故事中的難題。變式練習：⑴求等比數(shù)列1,2,4,8…的前多少項和是63.⑵求等比數(shù)列1,2,4,8…第4項到第7項的和.例2．畫一個邊長為2cm的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，依次類推⑴若一共畫了7個正方形，求第7個正方形的面積？⑵若已知所畫正方形的面積和為，求一共畫了幾個正方形，及所畫的最后一個正方形的面積。解：由題意得：每個正方形的面積構(gòu)成等比數(shù)列，且（1）（2）答：（1）第七個正方形的面積是。（2）一共測了5個正方形，所畫的最后一個正方形的面積是。鞏固練習：⑴已知等比數(shù)列中，，,求。⑵已知等比數(shù)列中，，,，求n，。六、課堂小結(jié)：1、