(完整word版)大一高數(shù)期末考試試題

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦(完整word版)大一高數(shù)期末考試試題2022學年第一學期

《高等數(shù)學（2-1）》期末模擬試卷

專業(yè)班級

姓名

學號

開課系室高等數(shù)學

考試日期2022年1月11日

頁號一二三四五六總分得分

閱卷人

注重事項

1．請在試卷正面答題，反面及附頁可作草稿紙；

2．答題時請注重書寫清晰，保持卷面清潔；

3．本試卷共五道大題，滿分100分；試卷本請勿撕開，否則作廢.

一．填空題（共5小題，每小題4分，共計20分）

1．

2

1

lim()

x

xxex→-=

.

2．

()()120221

1xxxxeedx--+-=

?

.

3．設函數(shù)()yyx=由方程

2

1

xytedtx

+-=?

確定，則0

xdy

dx

==

.

4.設()xf可導，且1

()()x

tftdtfx=?，1)0(=f，則()=xf.5．微分方程044=+'+''yyy的通解為.

二．挑選題（共4小題，每小題4分，共計16分）

1．設常數(shù)0>k，則函數(shù)

kexxxf+-

=ln)(在),0(∞+內(nèi)零點的個數(shù)為（）.

(A)3個;(B)2個;(C)1個;(D)0個.2．微分方程43cos2yyx''+=的特解形式為（）.

（A）cos2yAx*=;（B）cos2yAxx*=;（C）cos2sin2yAxxBxx*

=+;（D）xAy2sin*

=.3．下列結論不一定成立的是（）.

（A）若[][]badc,,?,則必有

()()??

≤b

a

d

c

dx

xfdxxf;

（B）若0)(≥xf在[]ba,上可積,則()0b

a

fxdx≥?;

（C）若()xf是周期為T的延續(xù)函數(shù),則對隨意常數(shù)a都有()()??+=T

T

aa

dx

xfdxxf0

;

（D）若可積函數(shù)()xf為奇函數(shù),則()0x

tftdt?也為奇函數(shù).

4.設

()x

xee

xf11

321++=

,則0=x是)(xf的（）.(A)延續(xù)點;(B)可去間斷點;

(C)跳動間斷點;(D)無窮間斷點.

三．計算題（共5小題，每小題6分，共計30分）

得分

1．計算定積分

2

23

x

xedx

-

?

.

2．計算不定積分

dx

x

x

x

?5

cos

sin

.

3．求擺線?

?

?

-

=

-

=

),

cos

1(

),

sin

(

t

a

y

t

t

a

x

在2

π

=

t

處的切線的方程.

得

分

本頁滿分12分本

頁

得

分

4.設20

()cos()x

Fxxtdt

=-?，求)(xF'.

5．設nnnnnxn

n)

2()3)(2)(1(Λ+++=

，求n

nx∞→lim.

四．應用題（共3小題，每小題9分，共計27分）1．求由曲線2-=xy與該曲線過坐標原點的切線及x軸所圍圖形的面積.

本頁滿分15分本頁得分

2．設平面圖形D由

222xyx+≤與yx≥所確定，試求D繞直線2=x旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

3.設1,a>atatft

-=)(在(,)-∞+∞內(nèi)的駐點為().ta問a為何值時)(at最小?并求最小值.

本頁滿分18分本頁得分

五．證實題（7分）

設函數(shù)()fx在[0,1]上延續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導且

1

(0)=(1)0,()12fff==，

試證實至少存在一點(0,1)ξ∈,使得()=1.fξ'

一．填空題（每小題4分，5題共20分）：

1．2

1

lim()x

xxex→-=

2

1

e.

2．

()()120221

1xxxxeedx--+-=

?

e4.

3．設函數(shù)()yyx=由方程2

1

xy

tedtx+-=?確定，則0

xdy

dx

==

1-e.

4.設()xf可導，且

1

()()

xtftdtfx=?

，1)0(=f，則()=xf2

2

1xe

.

5．微分方程044=+'+''yyy的通解為x

exCCy221)(-+=.

二．挑選題（每小題4分，4題共16分）：

1．設常數(shù)0>k，則函數(shù)

k

ex

xxf+-

=ln)(在

),0(∞+內(nèi)零點的個數(shù)為（B）.(A)3個;(B)2個;(C)1個;(D)0個.2．微分方程xyy2cos34=+''的特解形式為（C）

（A）cos2yAx*=；（B）cos2yAxx*=；

（C）cos2sin2yAxxBxx*

=+；（D）

xAy2sin*=3．下列結論不一定成立的是（A）

(A)(A)若[][]badc,,?,則必有

()()??≤b

a

dc

dxxfdxxf;

(B)(B)若0)(≥xf在[]ba,上可積,則()0b

a

fxdx≥?;

(C)(C)若()xf是周期為T的延續(xù)函數(shù),則對隨意常數(shù)a都有

()()??

+=T

Taa

dx

xfdxxf0

;

(D)(D)若可積函數(shù)()xf為奇函數(shù),則()0x

tftdt?也為奇函數(shù).

本頁滿分7分本頁得分

4.設

()x

xee

xf11321++=

,則0=x是)(xf的（C）.(A)延續(xù)點;(B)可去間斷點;

(C)跳動間斷點;(D)無窮間斷點.三．計算題（每小題6分，5題共30分）：1．計算定積分?-2

032

dx

exx.

解：

??

?

===2

02

02

322121,2

ttxtdedttedxextx則設2

?

??

???--=?--202221dtetett222

23210221=--=e

eet2

2．計算不定積分dxxxx?

5

cossin.

解：

???

???-==???xdxxxxxddxxxx4445coscos41)cos1(41cossin3

Cxxxxxdxxx+--=+-=

?tan41tan121cos4tan)1(tan41cos43

42

4

33．求擺線???-=-=),cos1(),sin(tayttax在

2π=

t處的切線的方程.解：切點為

)

),

12((aa-π

2

2

π==

tdxdyk2

)cos1(sinπ

=-=

ttata1=2

切線方程為)

12

(

--=-π

axay即

a

xy)22(π

-+=.2

4.設

?-=x

dt

txxF0

2)cos()(，則=')(xF)cos()12(cos22

2

xxxxx.

5．設nnnnnxn

n)

2()3)(2)(1(Λ+++=

，求n

nx∞→lim.

解：

)

1ln(1ln1∑=+=ninninx2

?∑+=+==∞→∞→101)1ln(1

)1

ln(limlnlimdx

xnnixn

innn2

=12ln211

)1ln(1010-=+-+?dxxxxx2

故n

nx∞→lim=

ee41

2ln2=-四．應用題（每小題9分，3題共27分）1．求由曲線2-=

xy與該曲線過坐標原點的切線及x軸所圍圖形的面積.

解：

設切點為

),00yx（，則過原點的切線方程為x

xy221

0-=

，

因為點

),00yx（在切線上，帶入切線方程，解得切點為2,400==yx.3

過原點和點)2,4(的切線方程為

22x

y=

3

面積

dy

yys)222(2

2

?

-+==32

23

或322)22

21(

2

2120

4

2

=

--+=?

?dxxxxdxs

2．設平面圖形D由2

2

2xyx+≤與yx≥所確定，試求D繞直線2=x旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解：法一：21VVV-=

[]

[]

?

??==10

22

1

210

2

2)1(12)2()11(2dy

yy

dyydyyπππ6

)

314(201)1(3

1423-=??????--=ππππy3法二：V=

?1

2)2)(2(2dx

xxxxπ

??=10

10

22)2(22)2(2dx

xxdxxxxππ5

[]

?--+--=1

0223

4

222)22(π

πdxxxxxxππππππ

ππ32213421323

4141201)2(322223

2-=-+=-????????+-=xx4

3.設

1,a>atatft

-=)(在(,)-∞+∞內(nèi)的駐點為().ta問a為何值時)(at最小?并求最小值.

解:

.lnlnln1)(0ln)(aa

ataaatft-==-='得由3

0)(ln1

lnln)(2