第二章-誤差分布與精度指標課件

§2.1正態(tài)分布

偶然誤差表現(xiàn)：在相同的觀測條件下進行一系列觀測，

單個誤差在大小和符號上都沒有任何規(guī)律，表現(xiàn)出隨機性，每個誤差對總體的影響很小，沒有哪個誤差在整個誤差中占優(yōu)勢，但大量誤差的總體卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律?！?.1正態(tài)分布

（1）相互獨立的隨機變量：無論這些隨機變量原來服從什么分布，也無論他們是同分布或不同分布，只要它們具有有限的均值和方差，且其中每一個隨機變量對其總和的影響都是均勻地小，那么，其總和將是服從或近似服從正態(tài)分布的隨機變量。（2）許多種分布都是以正態(tài)分布為其極限分布的。正態(tài)分布是一種常見的概率分布，是處理觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)。偶然誤差是服從正態(tài)分布的隨機變量

§2.1正態(tài)分布

服從正態(tài)分布的一維隨機變量的概率密度函數(shù)是：

一維正態(tài)隨機變量的數(shù)學期望和方差是:

§2.1正態(tài)分布

服從N維正態(tài)分布的隨機向量X的概率密度函數(shù)是：

N維正態(tài)隨機變量的數(shù)學期望和方差是:§2.1正態(tài)分布

正態(tài)分布曲線的性質(zhì):1、曲線關(guān)于x=u對稱；2、當x=u時，f(x)具有最大值，且與成反比；3、當X離u越遠，f(x)的值越?。?、曲線x=u±處有拐點；5、越小，曲線頂點越高，曲線形狀越陡峭§2.2偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律性實驗表明：（1）閉合差在數(shù)值上不會超出一定界限，或者說超出一定界限的閉合差出現(xiàn)的概率為零；（2）絕對值小的閉合差比絕對值大的閉合差出現(xiàn)的概率要大；（3）絕對值相等的正負閉合差個數(shù)大致相等?！?.2偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律性1、在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值（界限性）；2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大（聚中性）；3、絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同（對稱性）；4、偶然誤差的數(shù)學期望為零§2.2偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律性偶然誤差，服從正態(tài)分布

圖2.2.1σ不同，曲線的位置不變，形狀卻變化:σ愈小，曲線頂點愈高，形狀愈陡峭，誤差分布密集于隨機變量的數(shù)學期望附近。偶然誤差的概率密度函數(shù)是：

§2.3精度一、精度的概念：精度：誤差分布的密集或離散程度。一組觀測值對應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測值精度相同。不同組觀測值，分布不同，精度也就不同。提示：一組觀測值具有相同的分布，但偶然誤差各不相同。精度不代表個別誤差的大小,反映的是一組觀測值的觀測質(zhì)量的好壞.二、精度指標：1、平均誤差在一定的觀測條件下，一組獨立的誤差的絕對值的數(shù)學期望。與中誤差的關(guān)系：2、方差/中誤差

f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

面積為1方差：中誤差：提示：σ越小，誤差曲線越陡峭，誤差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。方差的估值：當觀測值n有限時,3、或然誤差

f()0閉合差50%4、極限誤差正態(tài)隨機變量出現(xiàn)在給定區(qū)間內(nèi)的概率是：由概率論知道:5、相對誤差中誤差與觀測值之比，用1/N表示。國際上選用中誤差作為精度評定指標矩陣知識（1）由個數(shù)有序地排列成m行n列的數(shù)表叫矩陣通常用一個大寫字母表示，如：(2)若m=n，即行數(shù)與列數(shù)相同，稱A為方陣。元素a11、a22……ann

稱為對角元素。(3)若一個矩陣的元素全為0，稱零矩陣，一般用O表示。(4)對于的方陣，除對角元素外，其它元素全為零，稱為對角矩陣。如：(5)對于對角陣，若a11=a22=……=ann

=1，稱為單位陣，一般用E、I表示。

(6)若aij=aji，則稱A為對稱矩陣。(7)轉(zhuǎn)置矩陣對于任意矩陣Cmn:將其行列互換，得到一個n×m階矩陣，稱為C的轉(zhuǎn)置矩陣,記為CT矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：（6）若,則A為對稱矩陣。(8)逆矩陣給定一個n階方陣 A，若存在一個同階方陣B，使AB=BA=I（E），稱B為A的逆矩陣。記為：A矩陣存在逆矩陣的充分必要條件:A的行列式不等于0，稱A為非奇異矩陣，否則為奇異矩陣逆矩陣的性質(zhì):矩陣的基本運算：（1）若具有相同行列數(shù)的兩矩陣各對應(yīng)元素相同，則：（2）具有相同行列數(shù)的兩矩陣A、B相加減，其行列數(shù)與A、B相同，其元素等于A、B對應(yīng)元素之和、差。且具有可交換性與可結(jié)合性。（3）A為m×s的矩陣，B為s×n的矩陣,C=AB，C的階數(shù)為m×n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）(4)矩陣的微分：§2.4

方差—協(xié)方差陣一、單個觀測值的方差、協(xié)方差：

方差反映了X的誤差分布的離散程度;

協(xié)方差反映了X和Y之間的相關(guān)關(guān)系.

當兩個隨機變量X和Y隨機獨立，或者說兩個（兩組）觀測值X和Y的真誤差之間互不影響，則稱為這些觀測值是不相關(guān)的觀測值，也稱獨立觀測值。

§2.4

方差—協(xié)方差陣二、觀測值向量的方差-協(xié)方差陣：觀測值向量:觀測值向量的自協(xié)方差陣：§2.4

方差—協(xié)方差陣觀測值向量的自協(xié)方差陣DXX：DXX特點：

對稱可逆方陣主對角線上元素為對應(yīng)觀測值的方差;非主對角線上元素為對應(yīng)兩個觀測值的協(xié)方差

§2.4

方差—協(xié)方差陣三、互協(xié)方差陣：觀測值向量關(guān)于的互協(xié)方差陣：§2.4

方差—協(xié)方差陣§2.4

方差—協(xié)方差陣若有隨機向量和，組成新的隨機向量，即，則的自協(xié)方差陣:

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