大物b課程物理i1314和角動量

動量（momentum)質(zhì)點的動量定理**質(zhì)點系的動量定理**動量守恒定律**質(zhì)心*1.3.1質(zhì)點的動量定理(impulse

and

theorem

of

momentum)牛頓第二定律

F

=

ma

給出物體所受和外力與它所得加速度之間的瞬時關(guān)系。物體在力的持續(xù)作用下，力對物體將產(chǎn)生累積效應(yīng)。一.

動量（

momentum

）

動量即物體運動的量，定義為P

=

mV

(狀態(tài)量）動量由物體的m和V兩個因素決定，如高速運動的子彈，低速運動的夯。動量性質(zhì)：矢量性，瞬時性,

相對性。二.沖量（impulse）力在一段時間內(nèi)持續(xù)作用的效果，是由力

F

和力的作用時間Dt

兩個因素決定的。

定義:

沖量

I

=

F

Dt

（F為恒力）t2t1

I

=

F

(t)dt

（F為變力）dP三

.

動量定理

（theorem

of

momentum

）

Fdt

=dP

（瞬時）

由

F

=21dtt2t1

Fdt

=

dP

=

P2

-

P1過程：質(zhì)點的動量定理(m不變)

I

=

mv2

-

mv1質(zhì)點動量的增量等于它所受合外力的沖量。t2t1mv2

-

mv1=

Fdt平均沖力：F

=t2

t21

1Fxdt

=

P2

x

-

P1

xIx

=

t

I

y

=

t

Fydt

=

P2

y

-

P1

y2）動量定理在碰撞問題中具有特殊重要的意義。在碰撞過程中由于作用時間極短,作用力（沖力）卻很大.并且隨時間變化很難測定，但可借助始﹑末動量變化和作用時間來計算平均沖力。t2

-

t1

t2

-

t1討論1）直角坐標系中的分量式(二維):[例]已知：m在水平面內(nèi)作半徑為R的勻速率圓運動，已知(R,

v)

，求：A到B時動量的改變，向心力平均值及方向。OB解：(1)

Dp

=

mvB

-

mv

Ay

vAA

xBv(2)F

=DtDpj2mv

2\ F

=

-pR

=

-mvj

-

mvj2mv=pR

/

vpR2mv

2=Dp=p

-

pF

==

-2mvj

t2

-

t1

Dt2

1F

方向沿-j[例]已知：子彈在槍筒內(nèi)受到推進力4F

(t

)

=

400

-

·105

t3水平方向

動量狀態(tài)：t

=0

時，x

=0，v0

=0，p

=0t

時刻，v

=300

m/s，p

=mv(N)子彈在槍筒內(nèi)加速時間0fi

tx0fitO其加速過程

v

=

0

到

v

=

300

m/s0求：子彈質(zhì)量

m

=

?解：

m

在槍內(nèi)水平只受力

F(t)4F

(t

)=400

-·105

t

=0

時3t

=

3

·10-3(sec)300

31

450[400

-

·10

t]dtm

=3·10-3300=

1

[1.2

-

0.6]

=

0.002

(kg)

=

2

(g)t0\

m

=

300

F

(t

)dt1t0動量定理：

F

(t

)dt

=mv

=300m當子彈在槍筒內(nèi)加速時間t=?\0

fi

tOx1.3.2

質(zhì)點系的動量定理（theorem

of

momentum

for system

of

particles)一.質(zhì)點系把相互作用的若干個質(zhì)點看作為一個整體,這組質(zhì)點就稱為質(zhì)點系.二.

質(zhì)點系的動量定理m1,m2

系統(tǒng):12f

,

f內(nèi)力:1

2F

,

F外力:f1f21F2Fm1m2m1:2m

:dP1分別運用牛頓第二定律:

F1

+

f1

=二式相加,

由于

f1

=

-

f2

d

(

F1

+

F2

=

dt

P1

+

P2dtdtdP2

F2

+

f2

=對N個質(zhì)點系統(tǒng)，外力用F，內(nèi)力（即質(zhì)點之間的相互作用）用f

，則第i

及第j

質(zhì)點的運動方程dtdpifij

=Fi

+i?

j對所有質(zhì)點求和NiNijNipdtdf

=F

+i

=1

i=1

i

=1

i?

jdtdpjjijf

=F

+i?

j········ijFiPifi

jfj

iFjpjNi=1

i?

jijf

=

0內(nèi)力和Nipi=1總動量：P

=Ni=1

合外力：F

=FidPF

=dt21

1t2

Fdt

=

dP

=

P2

-

P1t質(zhì)點系的動量定理與質(zhì)點動量定理形式一樣，但各量的含義卻不同。質(zhì)點系的動量定理表明，一個系統(tǒng)總動量的變化僅決定

于系統(tǒng)所受的外力，與系統(tǒng)的內(nèi)力無關(guān)。即只有外力的

沖量才能改變整個質(zhì)點組的動量，內(nèi)力的沖量雖然可以

使個別質(zhì)點的動量改變，但不能改變整個質(zhì)點組的動量。NiNipdtdi=1i=1F

=1.3.3

動量守恒定律（law

of

conservation

of

momentum)Fdtt2t1

=

P2

-

P1P

=常矢量一、質(zhì)點動量守恒定律由質(zhì)點的動量定理當合外力F

=0時質(zhì)點動量守恒定律：若質(zhì)點所受合外力為零，則質(zhì)點的總動量不隨時間改變二、質(zhì)點系動量守恒定律由質(zhì)點系的動量定理t2t1

Fdt

=

P2

-

P1

P

=常矢量，即：P1

=P2

當和外力F

=0時iPix

=常數(shù)如:

當Fx

=

03.

只適用于慣性系其中2pp=i

i

i

ii

2

i

i

2

1

i1

i

i1

=

m

v

p

=

p

=

m

v動量守恒定律：若系統(tǒng)所受合外力為零,則系統(tǒng)的總動量保持不變。討論：當合外力為零，或外力與內(nèi)力相比小很多（如爆

炸過程），這時可忽略外力，仍可應(yīng)用動量守恒。合外力沿某一方向為零，則該方向動量守恒4.比牛頓定律更普遍的最基本的定律，它在宏觀和微觀領(lǐng)域、低速和高速范圍均適用。例：水平光滑平面上有一小車，長度為l，質(zhì)量為M。車上站有一人，質(zhì)量為m，人、車原來都靜止。若人從車的一端走到另外一端，問人和車各移動了多少距離？XxvV解：人與車在水平方向受外力為零，水平方向動量守恒mv

=

-MVvm

V

=

-

M

v人￠對車=v人地-V車地=v

-VM

Mm

M

+

m

v

+

v

=

v=

tvdtM

+

mMl

=

v人￠對車dt0tx

=0lt=

0MM

+

mvdt

=mX

牽=l相-x絕=M

+m

l牽

絕

相-

lX

=

xu且保持不變，求：火箭在任一時刻的速度。t

+

dtm,

vt-dmm

+

dm,

+

dv

vx0解：初態(tài)動量

P

=

mv末態(tài)動量火箭P1

=

（m+dm）(v+dv)氣體P2

=-dm(v+dv

–u)v氣地

v氣箭

v箭地

=

+

P0

=

P1

+

P2mv=

（m+dm）(v+dv)-

dm(v+dv

–

u)mdv

=

-

udm動量守恒定律在空間技術(shù)中的應(yīng)用：火箭飛行例：火箭在遠離星球引力的星際空間加速飛行，因而不受任何外力的作用，設(shè)火箭某一時刻攜帶的燃料的質(zhì)量為m，噴出的氣體相對火箭的速率為u，mdv=

-

u

dmmdv=

-

u

dmv

m

dv

=

-u

m

dmv0

m01設(shè)t

=0

時，火箭速度為v0,質(zhì)量為m0mm00v

=

v

+

u

ln可見，火箭噴氣速度越大，質(zhì)量比越大，飛行速度越高。dp￠=

-dm[(v

+

dv

-

u)

-

v]=

udm噴出氣體在dt時間內(nèi)的動量增量dtF

=

-

u

dm它受到的火箭對它的作用力:F

=

dp

=

u

dmdt

dt所以根據(jù)牛三律火箭獲得的推力為方向向上如何提高火箭的速度?1.3.4

質(zhì)心mrNN

Ni

i

i

ic

m

r

mi

m

ri

=1=

i

=1

=

i

=1

mxNc

mi

xi=

i

=1

同理可寫出y

和z

分量y0r2

xcrcz質(zhì)心位矢與坐標系的選取有關(guān)。但質(zhì)心相對于各質(zhì)點的相對位置是不會隨坐標系的選擇而變化的設(shè)質(zhì)點系共有N個質(zhì)點組成,各質(zhì)點

的質(zhì)量分別為：m1,m2,…mN

,矢徑分別為：r1

,

r2

rN

則質(zhì)心的矢徑定義為:m2m1m

imjr1質(zhì)心是質(zhì)點系的質(zhì)量中心一、質(zhì)心位矢：質(zhì)心的定義:對連續(xù)分布的物質(zhì)，可以將其分為N個小質(zhì)元xdmm

mxNc=

i

=1

=

xi

Dmixyo（x1，y1）x233mcx

=

mx1

+

mx2

=

x1

+

x2ycmy1

y1=

3m

=

3mN

mi

xixc

=

i=1

由同理可寫出y

和z

分量例：任意三角形的每個頂點有一質(zhì)點m，求質(zhì)心。qdldm

=

l

dll

=

m

/

(pR)m=

ydm

=yC=m

yldlpp

Rllp0R

sinq

Rdq

2=

RRo例:

求均勻半圓鐵環(huán)的質(zhì)心（半徑為R）.y解：取長度為dl

的一段鐵絲,以l

表示線密度x由對稱性可知,

質(zhì)心C一定在

y

軸上,即：xC=0

,·

dqC二、質(zhì)心運動定理(theorem

of

the

motion

of

center

of

mass)dtm

rddtm

drNi

iN質(zhì)點系的動量N=mivi

=i

i

i=1

dti

=1

i

=1P

=dt

dt

=

mvc=

d

(mrc

)

=

m

drc質(zhì)點系的動量等于它的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。質(zhì)點系所受合外力等于其總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積.這就是質(zhì)心運動定理.mvc

=

macdtd由質(zhì)點系動量定理：F

=

dp

=說明:1)質(zhì)心的運動就像一個質(zhì)點的運動。2)只有外力才能改變質(zhì)心的運動狀態(tài),質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動狀態(tài)。應(yīng)用程序m

=

0如何離開冰面？cv

=常矢量

3)

若

F

=

0

則

ac

=

0質(zhì)點系動量守恒定律的另一種表述:當一質(zhì)點系所受的合外力等于零時,其質(zhì)心速度保持不變。xx車地x人地m

+

MmL

+

ML

/

2xc1

=m

+

Mc2x

=mx車地+M

(x車地+L

/2)例:水平光滑平面上有一小車,長度為L,質(zhì)量為M車上站有一人,質(zhì)量為m,人、車原來都靜止;若人從車的一端走到另一端,問:人和車各移動了多少距離？解:將人和車看作一個系統(tǒng),質(zhì)心的x坐標不變?nèi)伺c車都靜止時,質(zhì)心坐標:人走至另一頭時,質(zhì)心坐標:c2c1

x

=

xm\x車地=M

+m

LM\x人地=L

-x車地=M

+m

L1.4

角動量（

angular

momentum)質(zhì)點的角動量**角動量定理**角動量守恒定律**當質(zhì)點作圓周運動時

L=

m

v

r1.4.1

質(zhì)點的角動量一.

角動量矢量定義動量為P的質(zhì)點,對慣性系中一固定點o的角動量

2.

r

·

p

的順序不能顛倒。L

=

·

pr大小：L

=mvr

sina方向：右手螺旋法注意：

1.

L的方向垂直于

r

和

p

所決定的平面。or定義為下述矢量積:Lpamr1r2r

v1v2v1r1vL1L2L1L2L3L2rv2v3r3行星與衛(wèi)星恒星與行星重核對a

粒子的散射二、力矩：大小rFsina

=r^F，即力與力臂的乘積。單位N

·

m

。raa

FOr^F

0若

F

=

0

，或者

?

但其方向在

O

點與質(zhì)點連M線上，則

M

=

0

。

M

=

r

·

F力F

對固定點O

的力矩其中

r

為質(zhì)點相對于

O

點的位矢。符合右手螺旋法則。r

F方向與

和由角動量L與力矩M定義的類似，又把角動量叫動量矩。1.4.2

角動量定理（theorem

of

angular

momentum）

L

=

r

·

pdtM

=

dL質(zhì)點角動量定理質(zhì)點對某一點的角動量隨時間的變化率等于質(zhì)點所受合外力對同一點的力矩。2

1L2L1t1

dL

=

L

-

L2

M

dt

=有限長時間t沖量矩上式表明在力矩的持續(xù)作用下質(zhì)點角動量的變化。反映的是力矩在D

t

時間內(nèi)的累積效應(yīng)。dL

d

(r

·

p)=

r

·

dp

+

dr

·

p=dtdp

dt

dtr

·=

dt

dt

+

v

·

mv

=

r

·

F

=

Mdt類比

F

=

d

p1.4.3

角動量守恒定律(law

of

conservation

of

angular

momentum)L

=常矢量即：如果對于某一固定點,質(zhì)點所受合外力矩為零,則此質(zhì)點對該固定點的角動量矢量保持不變.關(guān)于合外力矩為零,有二種情況:M

=

r

·

F

=

0ii

F

=

F

=

0=

0dtdL當

M

=

0M

=

r

·

F

=

0

F

?0

但F

//r或[例]

在光滑桌面上開一小孔，把系在輕繩一端的小球放在桌面上，繩的另一端穿過小孔而執(zhí)于手中。設(shè)開始時小球以速率

v0

作半徑為

r0

的圓周運動

(圖)，然后向下緩慢拉繩使小球的轉(zhuǎn)動半徑減為

r，求這時小球的速率

v解：OT

//

(-r

)v

NmgTN

+

mg

=

0M

=

0繩緩慢拉下，每一瞬時均可看作小球近似作圓周運動。

L1

=

L2mv0

r0

=

mvrrv

=

v0r0r

動量守恒？r

vq開普勒第二定律：行星對太陽的位矢在相等的時間掃過相等的面積。解釋：角動量守恒。dtdSdtdt=

2m=

mr

dr

sinq

drL

=

·

mv

=

m

r

·rdr1r2rv1v2角動量守恒

L

=

m

v1r1

=

m

v2

r2近日點遠日點r

+drL例：衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運行，地球的中心位于橢圓的一個焦點上，地球R=6378km，衛(wèi)星距地面的最近距離h1=439km,

最遠距離h2=2384km,衛(wèi)星在近地點A1的速率v1=8.10km/s，求：衛(wèi)星在遠地點A2的速率v2.h2A1v1v2A2衛(wèi)星h1解：衛(wèi)星在運動過程中

受地球引力，力矩為零，因此角動量守恒。LA1=

LA

2mv1

(R

+

h1

)=

mv2

(R

+

h2

)LA1

=

LA2在A1和A2兩點L方向相同212(R

+

h

)(R+

h

)v

=v0入射時

L

=

m

v0

b；r另一例：重核對a

粒子的散射情況，角動量也守恒。var

m

=

mvr

sin

av任意位置時

L

=

·b

瞄準距離質(zhì)點系角動量定理(theorem

of

angular

momentum

of system

of

particles)dtdLiijii

if

)

=

M

=

r

·

(

F

+內(nèi)力矩

ii i

?

jr

·

f

ij

=

0=

(ri

-

rj

)·

fij

=