2021年安徽省六安市翁墩中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021年安徽省六安市翁墩中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，則關(guān)于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集為（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） B．（﹣，1）C．（﹣∞,﹣3）∪（，+∞） D．（﹣3，）參考答案：D【考點(diǎn)】74：一元二次不等式的解法．【分析】由不等式的解集與方程的關(guān)系，可知，2是相應(yīng)方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知條件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：×2=﹣解得a=﹣2所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化為2x2+5x﹣3＜0，化為：（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜，所以不等式解集為：（﹣3，）故選：D．3.若點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，且tan∠PF1F2＝則此橢圓的離心率e＝

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略4.在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，則有EF∥BC．這個(gè)命題的大前提為（）A．三角形的中位線平行于第三邊B．三角形的中位線等于第三邊的一半C．EF為中位線D．EF∥CB參考答案：A【考點(diǎn)】演繹推理的基本方法．【分析】三段論是由兩個(gè)含有一個(gè)共同項(xiàng)的性質(zhì)判斷作前提得出一個(gè)新的性質(zhì)判斷為結(jié)論的演繹推理．在三段論中，含有大項(xiàng)的前提叫大前提，如本例中的“三角形的中位線平行于第三邊”．【解答】解：本題的推理過程形式是三段論，其大前提是一個(gè)一般的結(jié)論，即三角形中位線定理，故選：A．5.在△ABC中，如果a=4，b=5，A=30°，則此三角形有（）A．一解B．兩解C．無解D．無窮多解參考答案：B略6.參數(shù)方程（0＜θ＜2π）表示（）A．雙曲線的一支，這支過點(diǎn)B．拋物線的一部分，這部分過C．雙曲線的一支，這支過點(diǎn)D．拋物線的一部分，這部分過參考答案：B【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】將參數(shù)方程化為普通方程，然后再對(duì)A、B、C、D進(jìn)行判斷；【解答】解：∵x=|cos+sin|，∴x2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ），∴y=x2，是拋物線；當(dāng)x=1時(shí)，y=；故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會(huì)互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點(diǎn)問題．7.已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=ax3﹣3ax2﹣（x﹣3）ex+1在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為y=a和g（x）在（0，2）有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：f′（x）=（x﹣2）（3ax﹣ex），若f（x）在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即a=在（0，2）有2個(gè)解，令g（x）=，x∈（0，2），問題轉(zhuǎn)化為y=a和g（x）在（0，2）有2個(gè)交點(diǎn)，則g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：1＜x＜2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）遞減，在（1，2）遞增，故g（x）min=g（1）=，而f（2）=，x→0時(shí)，f（x）→+∞，故a∈（，），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．8.已知2018是等差數(shù)列5,8,11,17,…的第n項(xiàng)，則n=（）A．669

B．670

C．671

D．672參考答案：D由等差數(shù)列5,8,11,17，知，首項(xiàng)公差，所以通項(xiàng)公式為，令，選D.

9.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm參考答案：B【分析】理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解．【詳解】設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為xcm，肚臍至腿根的長為ycm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，所以其身高約為42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題．10.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），離心率，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意得，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=1，e==，從而可得a=2，b=，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由題意得，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=1，e==，故a=2，b=，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若曲線y=與直線y=x+b有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是．參考答案：﹣3≤b≤1【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓．【分析】曲線y=即（x﹣2）2+y2=4（y≥0），表示以A（2，0）為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，解得b．當(dāng)直線過點(diǎn)（4，0）時(shí)，b=﹣3，可得b的范圍．【解答】解：曲線y=即（x﹣2）2+y2=4（y≥0），表示以A（2，0）為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，可得=2，∴b=1，或b=﹣2．當(dāng)直線過點(diǎn)（4，0）時(shí)，b=﹣3，∵曲線y=與直線y=x+b有公共點(diǎn)，∴可得﹣3≤b≤1．故答案為：﹣3≤b≤1．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．12.設(shè)，若，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.參考答案：D利用賦值法:令排除A,B,C,選D.13.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則

參考答案：114.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________________參考答案：15.設(shè)雙曲線（,）的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于_________.參考答案：略16.《張邱建算經(jīng)》記載一題：今有女善織，日益功疾.初日織五尺，今一月，日織九匹三丈.問日益幾何？題的大意是說，有一個(gè)女子很會(huì)織布，一天比一天織得快，而且每天增加的長度都是一樣的.已知第一天織了5尺，一個(gè)月(30天)后共織布390尺，則該女子織布每天增加了

尺.參考答案：17.

若實(shí)數(shù)x，y滿足則x＋y的最大值是________；

參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)已知(1)若存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)≤m，求m的取值范圍；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2<0.參考答案：(1)因?yàn)樵?－∞，0)上單調(diào)遞減，故x<0時(shí)，f(x)∈(1，＋∞)；因?yàn)?x在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，故x≥0時(shí)，f(x)∈[1，＋∞)，故f(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x0，使得f(x0)≤m，故m≥1，所以m的取值范圍是[1，＋∞)；(2)證法一：因?yàn)閤1≠x2且f(x1)＝f(x2)而f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故不妨設(shè)x1<0<x2，則－x1>0，設(shè)g(x)＝f(－x)，故x>0時(shí)，f(x)－g(x)＝3x－＝3x－2x>0所以f(x2)＝f(x1)＝g(－x1)<f(－x1)，又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以x2<－x1，即x1＋x2<0.證法二：因?yàn)閤1≠x2且f(x1)＝f(x2)而f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故不妨設(shè)x1<0<x2，設(shè)f(x1)＝f(x2)＝a，由(1)知，a＞1，所以x1＋x2<0.19.過橢圓Γ：+=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為其左焦點(diǎn)，已知△AF1B的周長為8，橢圓的離心率為．（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個(gè)交點(diǎn)P，Q，且⊥？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由題意列關(guān)于a，c的方程組，求解方程組的a，c的值，由b2=a2﹣c2求得b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的圓存在，設(shè)出圓的方程，分直線PQ的斜率存在和不存在討論，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+t，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出P，Q兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的積，由⊥得其數(shù)量積等于0，代入坐標(biāo)的乘積得到k和t的關(guān)系，再由圓心到直線的距離等于半徑求出圓的半徑，然后驗(yàn)證直線斜率不存在時(shí)成立．從而得到滿足條件的圓存在．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，解得：，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1．故橢圓Γ的方程為；（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為x2+y2=r2（0＜r＜1）．當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+t，由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，①∵，∴x1x2+y1y2=0，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．

②將①代入②，得，即t2=（1+k2）．∵直線PQ與圓x2+y2=r2相切，∴r==∈（0，1），∴存在圓x2+y2=滿足條件．當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，易得=，代入橢圓Γ的方程，得=，滿足．綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=滿足條件．20.（本小題滿分12分）求函數(shù)f(x)＝lnx－x的單調(diào)區(qū)間．參考答案：解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋剑?＝。由<0及x>0，得x>1；由>0及x>0，得；∴當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，f(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x)是增函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，＋∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）．略21.求函數(shù)y=的定義域．參考答案：【考點(diǎn)】33：函數(shù)的定義域及其求法．【分析】直接利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，分母不為0，求解不等式組，可得函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，可得，解得x∈（﹣1，1）∪（1，+∞）．函數(shù)的定義域?yàn)椋海ī?，1）∪（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域的求法，基本知識(shí)的考查．22.(1)若求的單調(diào)區(qū)間及的最小值;(2)若,求的單調(diào)區(qū)間;

(3)試比較與的大小.,并證明你的結(jié)論.參考答案：(1)0；(2)見解析；(3)見證明.【分析】（1）a＝1時(shí)，f（x）＝|x﹣1|﹣lnx，將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類討論，再求導(dǎo)函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得f（x）的最小值；（2）將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類討論，再求導(dǎo)函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由（1）可知，lnx≤x﹣1，從而，令x＝n2，可得，再進(jìn)行疊加，利用放縮法，即可證得結(jié)論成立．【詳解】(1)當(dāng)時(shí),，在上是遞增.當(dāng)時(shí),,.在上是遞減.故時(shí),的增區(qū)間為,減