2022-2023學(xué)年四川省成都市蓉城高中聯(lián)盟高一年級(jí)上冊(cè)期期末考試數(shù)學(xué)試題及答案

2022-2023學(xué)年四川省成都市蓉城高中聯(lián)盟高一上期期末考試數(shù)學(xué)試

題

一、單選題

1.已知集合4=卜￡電-2<》<|},fi={-2,-l,0,l,2,4},則4B=()

A.{-1,0,1,2}B.{-2,0,4}C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】C

【分析】先由自然數(shù)集的概念化簡(jiǎn)集合A,再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)锳={xeN|-2<x<|}={0」,2},B={-2-1,0,1,2,4),

所以A8={0,1,2}.

故選：C.

2.已知命題“VxwR,工2+2以一3a>0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[-3,0]B.(-3,0)C.[-12,0]D.(-12,0)

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立，得A=4a2+i2a<0,解不等式即可.

【詳解】由題意“VxeR,d+2ax-3a>0”為真命題，

A=4/+12a<0，解得一3<a<(),

故選：B.

3.若，”是方程x+lnx-3=0的根，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.\<m<2B.2<m<3C.3<〃？<4D.0</n<1

【答案】B

【分析1將〃?是方程x+lnx-3=0的根轉(zhuǎn)化為m為函數(shù)〃x)=x+lnx-3的零點(diǎn)，得到函數(shù)單調(diào)遞

增，且/(2)<0,/(3)>0,再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.

【詳解】設(shè)〃x)=x+lnx—3,

,.加是方程x+lnx-3=0的根，

."為函數(shù)f(x)=x+lnx-3的零點(diǎn)，

?.?函數(shù)y=x-3,y=lnx在(0,+8)上都為單調(diào)遞增函數(shù),

/(x)=x+lnx-3在(0,+8)上連續(xù)且單調(diào)遞增，

XV”2)=2+ln2-3<0,/(3)=3+ln3-3>0,

..?函數(shù)的零點(diǎn)一定在區(qū)間(2,3)內(nèi)，

2<m<3.

故選：B.

4.若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)y=TD的定義域?yàn)?)

JC-1

A.[0,1)(1,2]B.[0,1)C.(1,2]D.[0,1)(1,4]

【答案】A

[0<2x<4

【分析】根據(jù)題意得?八，再解不等式即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇0,4],

f(2x\「042x44

所以，要使函數(shù)〉=上〃有意義，則,八，解得04x<l或1<%(2,

x-11X-1H0

所以，〃x)的定義域?yàn)閇。,1)一(1,2].

故選：A.

,1

5.已知a=logi[，匕=0.5心，c=log35,則“，h,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間量1比較大小即可.

,1,,

o5o

【詳解】解：???。=1%一=1嗚兀>1，O<fe=O.5-<O.5=l,c=log35>log37r=a,

3兀

c>a>b.

故選：D.

6.設(shè)命題p：ln(x—l)<0,命題q：a<x<a+2,若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的范圍是

()

A.[0,1]B.(0,1)C.(—,()>[1,+w)D.(9,0)51，”)

【答案】A

【分析】P是4的充分不必要條件得到兩者間的真子集關(guān)系,再列不等式組求解.

【詳解】〃：ln(x-l)<0,0<x-l<1,1<x<2,

q：a<x<a+2,

p是4是充分不必要條件，則｛X|lvx<2｝是｛x|a?x<a+2｝的真子集，

faVI

則〈八C，解得

[a+2>2

故選：A.

7.設(shè)a>l,函數(shù)“x)=log〃(產(chǎn)—紜—2),則使/(x)>0的x的取值范圍是()

A.(y,0)B.(0,+8)C.(F,log“3)D.(log,,3,+00)

【答案】D

【分析】由將條件轉(zhuǎn)化為/、_2優(yōu)-2>1,即/>3,解指數(shù)不等式可得原不等式的解集.

【詳解】因?yàn)閍>l,函數(shù)了=log。'單調(diào)遞增，由〃x)>0可得才—2優(yōu)-2>1,

B|J(?'-3)(a'+l)>0,所以出一3>0,即優(yōu)>3,

又。>1,所以x>log“3,

故選：D.

5「2~

8.已知函數(shù)〃力=麗-1的定義域?yàn)閇加,〃](“，〃為整數(shù))，值域?yàn)閇。，,，則滿足條件的整數(shù)對(duì)

(,%〃),共有()對(duì).

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先利用該函數(shù)的值域，求出函數(shù)取最大值與最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的工的值，然后利用函數(shù)圖像來

確定(，%〃)即可.

【詳解】由題意，作出函數(shù)/(x)的圖像如下：

，，

2.

一一1<一…………十.2?

78門

......................................-1..........................................

-2

2

令，(x)=0,可以解得x=-2或x=2,令〃x)=§,可以解得》=0,

，當(dāng)相=-2時(shí)，n=0；利=—2時(shí)，/?=1；相=—2時(shí)，n=2；

加=一1時(shí)，〃=2；加=0時(shí)，〃=2,

所以滿足條件的整數(shù)對(duì)(八〃)可以是：(―2,0),(—2,1),(—2,2),(—1,2),(0,2),共5對(duì),

故選：C.

二、多選題

9.下列命題錯(cuò)誤的是()

A.若a>0,且awl,則3x>0,y>0,log“x/og“y=log“(_yy)

B.若a>0,且awl,則Vx>0,y>0,log?(x+y)=logflx+logay

9

C.函數(shù)y=lnx+^；—的最小值為10

Inx

D.若a>b>l,貝iJ粵>1

Igb

【答案】BC

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)x=y=l時(shí)，log產(chǎn)log“y=log“3”j^,A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知Tx>0,y>0,有l(wèi)og“(肛)=log“x+log“y,而

log”(x+y)Wlogax+logay,B錯(cuò)誤;

9

對(duì)于選項(xiàng)C,函數(shù)y=lnx+'；—的最小值不存在，C錯(cuò)誤；

\nx

對(duì)于選項(xiàng)D,則lga>lgb>0,，,D正確.

lgb

故選：BC.

10.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在(0,+8)上是增函數(shù)的是()

A.f(x)=/B./(x)=|x-l|+l

CD.”6=2*-2T

x+l(x>0)''

【答案】AD

【分析】結(jié)合奇函數(shù)解析式特征及增函數(shù)特征分析即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,(T):=_/,則〃x)=x§為奇函數(shù)，

由基函數(shù)的性質(zhì)知，=￡為增函數(shù)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,〃x)=|x-1|+1對(duì)稱軸為x=l,其為非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C,/⑴=/(-1),不符合奇函數(shù)特征，C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,???〃x)=2'—2=、的定義域?yàn)镽,且x)=2-*—2'=-(2'-2r)=—/(、)，

.?./(x)=2'—2一，為奇函數(shù)，

y=2,單調(diào)遞增，y=-2-',單調(diào)遞增，

故f(x)=2,—2一，單調(diào)遞增，D正確.

故選：AD.

11.已知函數(shù)f(x)={10g產(chǎn)xw(0,D,若函數(shù)g(x)=f(x)-〃?恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小不可

4

-x2+4x-3,xe口,+<x>)

熊是()

A.-2B.-1C.1D.0

【答案】ABC

【分析】作出〃x)的圖象，由題意可得函數(shù)y=/(x)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，然后結(jié)合圖象可得答

案.

【詳解】作出函數(shù)圖象如下：

函數(shù)g(x)=f(x)-機(jī)有兩個(gè)零點(diǎn)，

即方程g(x)=〃X)-，W=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即/(x)=〃7,

即函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=m有兩個(gè)交點(diǎn)，

由函數(shù)圖像可得加>1或s=0,

故選：ABC.

12.已知函數(shù)〃x）=I：,：，、；,,若關(guān)于x的方程4/（可_43（力+2/+3=0有5個(gè)不同的實(shí)根,

則實(shí)數(shù)4可能的取值有（）

4873

A.—B.—C.—D.—

3762

【答案】AC

【分析】先畫出〃x）的圖象，再令/（x）=r,將嵌套型方程的根轉(zhuǎn)化為兩簡(jiǎn)單方程與

的總根，再轉(zhuǎn)化為y=/（x）分別與y=%與y=L交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】畫出/a）的圖象，如圖,

令以x）=t,要使x的方程有5個(gè)不同的實(shí)根,

所以由/（X）圖象可知關(guān)于，的方程4『-4力+22+3=0必須有2個(gè)不等實(shí)根打，4,

所以關(guān)于x的兩個(gè)簡(jiǎn)單方程八幻"與/。）=L總共有5個(gè)不同實(shí)根,

即如圖y=fM分別與y=4與y=t2一共有5個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為根,

所以_臼<0,_9<與<-1或〃=0或弓=-1，

333

①當(dāng)芍二。時(shí).，代入方程4/一4加+24+3=0，得。=-耳，「.4『+6/=0,二.4=-萬金(-1,0),。H-耳；

71

②當(dāng)/2=-1時(shí)，代入方程"一4力+22+3=0,得〃=一>.?.6/+7/+1=0,?,-r=--e(-l,0),

6I6

7

③當(dāng)"￡(—1,0),Z2G(-9,-1)^,令g(r)=4/-42Z+24+3,

川-9)>0382+327>0

37

則〃無)=晨-1”。,即彳62+7<0,解得-―<2<——,

g⑼>02Z+3>02’、

37

練上，-大口?

故選：AC.

三、填空題

13.已知函數(shù)f(x)=a"2+2(。>0且恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【答案】(2,3)

【分析】指數(shù)函數(shù)必然滿足小>=1,取指數(shù)為0即可求得定點(diǎn).

【詳解】由a0=l知,當(dāng)x=2時(shí),f(x)=a°+2=3,即過定點(diǎn)(2,3).

故答案為：(2,3)

14.函數(shù)f(x)=bgi(3-丁)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

2

【答案】卜6,0)(卜6,0］也正確)

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，“同增異減''求得函數(shù)的遞減

區(qū)間.

【詳解】由"x)=log;(3—x2),貝JI3-X2=(6+X)(G-X)>0,解得一百<”行，

又函數(shù)y=3-/的開口向下，對(duì)稱軸是)，軸，且產(chǎn)唾產(chǎn)在(0,+功上遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減''可知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是卜6,0).

故答案為：(-石，。)(卜石,。］也正確).

15.已知函數(shù)/(x)=e，(x<0)與g(x)=ln(x+a)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),則a的取值范圍

是.

【答案】(e,e)

【分析】由題意得方程”-x)-g(x)=0在區(qū)間(。,+8)內(nèi)有解,函數(shù)y=e"的圖象與y=ln(x+a)的

圖象在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】解：由題意得方程g(x)=0在區(qū)間(0,轉(zhuǎn))內(nèi)有解，

即e-*—In(x+a)=0在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有解，

即函數(shù)y=e"的圖象與y=ln(x+a)的圖象在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有交點(diǎn)，

如圖，作出函數(shù)y=尸與y=ln(x+a)在區(qū)間(0,+8)上的圖象，

把點(diǎn)(0,1)帶入y=ln(x+a),得l=ln“，解得a=e,

所以"e.

故答案為：（-oo,e）.

16.函數(shù)“X）=』+5x+為+1,若對(duì)于任意,,七e（2,依），當(dāng)x產(chǎn)々時(shí)，都有：'"（三）>0>

工2—大

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】?<|

【分析】首先將不等式變形，并構(gòu)造函數(shù)〃（x）=/，=x+鋁+5,討論2a+l的正負(fù)，結(jié)合函數(shù)

在區(qū)間（2,+8）的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】???對(duì)于任意毛，男€（2,物）當(dāng)演才々時(shí)，都有色）

誓令MX）=9,則以x）在化口）上單調(diào)遞增,

又?.?/2（X）=X+^^+5,當(dāng)幼+140時(shí)，滿足題目條件，此時(shí)

當(dāng)2a+l>0時(shí)，a>,x>0時(shí)，x+221x.jfLtl=212a+l,當(dāng)x=J2a+1時(shí),等號(hào)成立,

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知，有肪斤42,???-/<“奇,

3

綜上可知，a<1.

故答案為：?<|3.

四、解答題

17.化簡(jiǎn)求值（需要寫出計(jì)算過程）.

⑴篇)+依-無)2+(-2)。;

⑵3陶2+ig5—log12xlg2xlog23.

3

【答案】⑴兀

4

(2)3

【分析】(1)根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基和根式運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值；

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值.

33I

【詳解】(1)原式=±+|2—無|+1=]+兀-2+1=兀一；；

(2)JM^=2+lg5+log32-lg2-log23=2+lg5+lg2=2+l=3.

18.已知集合人={小2-3*+240},不等式2M>23+2"的解集為集合B.

(1)當(dāng)時(shí)”=2,求Ac8;

(2)設(shè)命題p：xeA,命題q：xeB,若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴{印<尤42}

⑵(Y°，2)

【分析】(1)先化簡(jiǎn)集合A,B,再利用集合的交集運(yùn)算求解；

(2)由p是4的充分不必要條件，得到AU8求解.

【詳解】⑴解："-3X+240,即14x42,

A={x|1<x<2}

B：x+1>—2x+4,

?,x〉1,

B={x|x>l},

Ac3={x|l<xK2}；

(2)Tp是夕的充分不必要條件，

Z.AUB,

V/4={x|l<x<2j,B=yc\x>,

3

fl<2,

???a的取值范圍是(e,2).

19.科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)員將某種染料倒入裝有水的透明水桶，想測(cè)試染料的擴(kuò)散效果，染料在水桶

中擴(kuò)散的速度是先快后慢，1秒后染料擴(kuò)散的體積是1cm、，2秒后染料擴(kuò)散的體積是3cm，染料擴(kuò)

散的體積y與時(shí)間x(單位：秒)的關(guān)系有兩種函數(shù)模型可供選擇：①>=加3。②>：，汨og..x+O,

其中〃?，人均為常數(shù).

(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；

(2)若染料擴(kuò)散的體積達(dá)到5cm，至少需要多少秒.

【答案】(1)選y=〃?i°g3x+匕，y=2iog2x+i

⑵至少需4秒

【分析】(1)根據(jù)兩種函數(shù)模型的特點(diǎn)和題中染料實(shí)際擴(kuò)散的速度選擇模型，代入數(shù)據(jù)即可求出模型

的解析式；

(2)根據(jù)題干條件，列出不等式，解之即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)丫=用3,中，y隨X的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)的速度也越來越快，二函數(shù)

y=mlog3X+b中，y隨x的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)的速度也越來越慢，

根據(jù)染料擴(kuò)散的速度是先快后慢，所以選第二個(gè)模型更合適，即〉=〃?1。83、+匕，

[wlog,\+b=\\b=\

由題意可得：,'..二，解得：力『

[/nlog32+o=3[/77=2log23

所以該模型的解析式為：y=21og231og3x+l=2Iog2x+l,

(2)由(1)知:y=21og2x+l,

由題意知:濘5,也即210g4+1*5,則有210g2彳24,

/.log,x>2,x>4,

.,.至少需要4秒.

20.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),,且滿足以下條件：①對(duì)任意x?(),M),有〃力>()；②

對(duì)任意加，ne(0,+oo),有③/⑴>1.

⑴求證：/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

⑵若/(2"-1)-/⑵<0,求〃的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)(0,log,3)

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合定義法證明函數(shù)單調(diào)性即可；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.

【詳解】(1)任取X],赴?0,+<?)且％<%，

/(^)-/(^)=/(1^I)-/(1^2)=[/(I)T-[/(Op>

因?yàn)?⑴>1,用<々，

所以[〃1)了'一。(1)『<。，

所以〃%)</1(%)，

所以/(X)在(0,+8)上是增函數(shù)；

(2)因?yàn)椤癤)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?"-1)</(2),

所以0<2"-1<2，

所以0<“<log23,

所以a的取值范圍為(0,log23).

21.已知〃x)=—2'+2f+b是定義R在上的奇函數(shù).

⑴求“X)的解析式；

(2)已知a>0,且awl,若對(duì)于任意xe[2,+8),存在加《1,2],使得/⑴會(huì)”+金一以成立，求a

的取值范圍.

【答案】⑴〃x)=—2v+2T

(2)卜。,+8)

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/(司=-2'+2-'+。在R上是奇函數(shù)可得了⑼=0,求得兒驗(yàn)證后可得答案;

(2)/(力4/'+產(chǎn)—4x即22—-2，_f+4x,故令g(x)=2一、—2'—(f_4x),判斷其單調(diào)性，

求得其最值，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，結(jié)合存在〃?e[l,2],使成立，解不

等式可得答案.

【詳解】(1)?函數(shù)/(x)=—2,+2-'+人在R上是奇函數(shù)，

.-./(0)=0,：.b=0,則/("=_2'+2-*,滿足/(_司=_2-‘+2'=_/(》)，

即=-2'+2T為奇函數(shù)，/(x)=-2'+2T；

(2)由題意2T-2'4/‘+/—4x,Aa"'>2-x-T-x2+4x,

令g(x)=2f_2yx2_旬，

函數(shù)y=2r在[2,4W)上單調(diào)遞減，函數(shù)y=2,在[2,-FW)上單調(diào)遞增，

故函數(shù)〉=2-*-2?在[2,y)上單調(diào)遞減；

而函數(shù)y=-X2+4x圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,函數(shù)在[2,+8)上單調(diào)遞減，

故g(x)=2-*-2,-(V-4x)在[2,內(nèi))上單調(diào)遞減，

對(duì)Vxe[2,+oo)上a'">g=g(2),a'">；,

又?.?存在me[1,2],使a”之(成立，

???當(dāng)0vav1時(shí)，m<log“；,

?'.log”一N1,又<0<a<1,-V〃<1；

44

當(dāng)a>1時(shí)，m>log“；,

22log.-f**-,又a>1,I.a>1,

綜上，”的范圍為1,lp(l,^o).

22.設(shè)函數(shù)〃x)=log“(2、+/)(〃>I).

(1)判斷函