課件數值分析考試題解析

一、填空題（每空3分,共30分)考試題解析又A-1為GGT,其中G為下三角矩陣.1,Cond(A)

=.解

由于1.設矩陣A=

1

2,則r(A)=

-

2

3-

21

-

l

2A

-

lE

=

3

-

l=

l2

-

4l

+

7

=

03i,

l2

=

2

-

3i得特征值:l1

=2

+7-

2=

7

2

1

1

3-1,所以‖A‖1=5,‖A‖1=5/7.25/

7

1

0

,當a取

值時,A可以唯一分解

a2.設矩陣A=

a

1

a a

10解

令只要取?(x)=x3-a,或?(x)=1-x3/a.5.設?(x)=x3+x2-3,則差商?[3,32,33,34]=

.3.向量x=(x1,x2,x3)T,試問|x1|+|2x2|+|x3|是不是一種向1

a

a1 0

=1

-

2a

2a

0

11

a=1

-

a

2

>

0,

aa

1>

0,

得：-

1

<

a

<

12

2是量范數 ,而|x1|+|2x2+x3|是不是一種向量范數不是

..4.求

3

a

的Newton迭代格式為解-2kk

+1

k

k

k

+1

k=

x

+

x3x

2

3

3-

a

2

ax

3x

=x

-

k

或x16.設l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3為互異節(jié)點的三次插值基函數,則.3j

=0l

(x)(x

-

2)3=j

j(x-2)37.設S(x)=是以0,1,2為節(jié)2x

3

+

bx

2

+

cx

-10

￡

x

￡11

￡

x

￡

2x

3

+

x

2算精度為e=10-2的近似根;

(3)此迭代法的收斂階是多少?說明之.解(1)因為0<x￡1時,?(x)<0,x?2時,?(x)>0,所以?(x)僅在(1,2)內有零點,而當1<x<2時,?￠(x)>0,故?(x)單調.因此方程?(x)=0有唯一正根,且在區(qū)間(1,2)內.點的三次樣條函數,則b=

-2

c=

3

.解

由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得二、(13分)設函數?(x)=x2-sinx-1

(1)試證方程?(x)=0有唯一正根;(2)構造一種收斂的迭代格式xk=j(xk),k=0,1,2,…計1

+

sin

xk

k

=

0,1,2,...(2)構造迭代格式:

x

=k

+1由于|j￠(x)|=|

cos

x

/

2

1

+

sin

x

|<1,故此迭代法收斂.取初值x0=1.5,計算得x1=1.41333,

x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.0035<10-2

,

故可取根的近似值a?x2=1.40983.(3)因為0<a<p/2,所以j(a)=

cosa

/

2

1

+

sin

a

?01

2

32x1

+x2

+6x3

=3

(1)寫出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);

(2)討論這兩種迭代法的收斂性.

(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法計算時,預估誤差|x*-x(10)

|￥

(取三位有效數字).-

x

-

5x

+

x

=

2故,此迭代法線性收斂(收斂階為1).三、(14分)設線性方程組4x1

-

x2

+

2x3

=1解 (1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分別為=

-=

-=241

1

-

25

5

51

-

1

+

13

61

-

1

+

14

2+13311(

k

)2(

k

)(

k

+1)2(

k

)3(

k

)2xxx

(

k

+1)x

(

k

)x

(

k

)xxxx

(

k

+1)+---

)21163+

)51542+

1)1215141321211

1(

k

)3(

k

+1)2(

k

+1)(

k

)3(

k

)2+

xx(

k

+1)

=

x

(

k

)3

3xx

(

k

)(

k

+1)

+

x

(

k

)x(

k

+1)

=

x

(

k

)2xxxx

(

k

+1)

=

x

(

k

)-

w

(1

x-

w

(+

w

(-x

(

k

)

+(2)因為A是嚴格對角占優(yōu)矩陣,但不是正定矩陣,故

Jacobi法收斂,SOR法當0<w￡1時收斂.(3)由(1)可見|B

|￥

=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,經計算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是|x(1)-x(0)

|￥

=1/2,所以有0.7510·

0.5

=

0.1131

-

0.75=￥￥￥1

-

BB

kx*-

x

(10)

￡

￥

x

(1) -

x

(0)四、(13分)已知?(0)=2,?(1)=3,?(2)=5,?￠(1)=0.5,(1)試建立一個三次插值多項式H3(x),使?jié)M足插值條件:H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3￠(1)=0.5;(2)設y=?(x)在[0,2]上四次連續(xù)可微,試確定插值余項R(x)=?(x)-H3(x).解

(1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1￠=0.5,得H3(x)=2j0(x)+3j1(x)+5j2(x)+0.5y1(x)令j0(x)=c(x-1)2(x-2),可得j0(x)=-0.5(x-1)2(x-2),令j1(x)=x(x-2)(ax+b),可得j1(x)=-x(x-2),令j2(x)=cx(x-1)2,可得j2(x)=0.5x(x-1)2;令y1(x)=cx(x-1)(x-2),可得y1(x)=-x(x-1)(x-2),于是

H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2

–0.5x(x-1)(x-2)=x3-2.5x2

+2.5x+2有盡可能高的代數精度,并問代數精度是多少?它是否是

Gauss公式?解

令公式對?(x)=1,x,x2,x3,x4都精確成立,則有4=A+B+C, 0=Aa-Ca,

16/3=Aa2+Ca2, 0=Aa3-Ca3由于,R(0)=R(1)=R(2)=R￠(1)=0,故可設R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)R(x)

=

x

x(x

-1)

2

(x

-

2)構造函數j(t)=?(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2)于是,存在xx,使j(4)(xx)=0,即?(4)(xx)-4!C(x)=0f

(

4)

(x

)4!五、(12分)試確定參數A,B,C及a,使數值積分公式2-2f

(x)dx

?

Af

(a

)

+

Bf

(0)

+

Cf

(-a

)64/5=Aa4+Ca4,解得:A=C=10/9,B=16/9,a=(12/5)1/2容易驗證公式對?(x)=x5仍精確成立，故其代數精度為5，是Gauss公式。(1)試證單步法

y(a)

=a六、(12分)設初值問題

y

=

f

(x,

y)

a

￡

x

￡

b=a

0211322

y+

3K

)

n

=

0,1,2,...+

hK

)+

h,

y

y

=

y

+

h

(Kn+1

n

43

nK

2

=

f

(xnK1

=

f

(xn

,

yn

)

,是二階方法.(2)以此法求解y￠=-10y,

y(0)=1時,取步長h=0.25,所得數值解{yn}是否穩(wěn)定?為什么?解

(1)由于于是有而1223

n

3+

hK

)+

h,

yK

2

=

f

(xn32

2

2

22

hfnn+

O(h

)?y2

9?2

f

4?x?y

9[

n

h +

n

h fn

+

n

h fn2

?x2

91

?2

f

4

?2

f

8+?x

3

?y

3+

?fn

2

h

+

?fn=

f3

2

4f

)nnn?y2?2

f6

?x2

?x?y1

?2

f

?2

f+

h

[

n

+

2

n

fn

+

n

fn

]

+

O(h

)+

1

h2

(

?fn

+

?fn2

?x

?yy

=

y

+

hfn+11616123

4432nnn

nnnh

y￠(x

)

+

O(h

)f

]

++

?f

n2

?x

?y=

y

+

hf

+

1

h

2

[?f

n+

O(h

)h

y￠(x

)h

y￠(x

)

+y(x

)

=

y(xn

)

+

hy￠(xn

)

+n+1所以有3y(xn+1

)

-

yn+1

=

O(h

)4

3n

n

nh

2010

y

-

30(

y

-

hy

)]y

=

y

+

[-n+1

n所以此單步方法為二階方法.

(2)此單步方法用于方程y￠=-10y,則有n2=

[1-10h

+

50h

]y當h=0.25時,有1-10h

+

50h2

=1-

2.5

+

3.125

=1.625

>1所以,所得數值解是不穩(wěn)定的.七、(6分)設n階矩陣A=(aij)n·n,試證實數1￡i

,

j