2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市天印高二下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.函數(shù)〃x）=/-7x在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為（）

A.-4B.4C.-6D.6

【答案】A

【分析】利用平均變化率的定義代入求解即可.

/（2）-〃1）（2、7X2）-（F一7xl）__4_4

【詳解】2-111

故選：A.

x=—y2

2.拋物線8'的準(zhǔn)線方程是（）

A.x=~2B.x=-4c.y=~2D.k-4

【答案】A

【分析】直接把拋物線方程變形為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后由定義可得答案.

【詳解】拋物線方程即為/=8x,故準(zhǔn)線方程為》=-2.

故選：A.

3.箱子中放有一雙紅色和一雙黑色的襪子，現(xiàn)從箱子中同時(shí)取出兩只襪子，則取出的兩只襪子正

好可以配成一雙的概率為（）

1112

A.4B.3C.2D.3

【答案】B

【分析】先求出試驗(yàn)的樣本空間，再求有利事件個(gè)數(shù)，最后用概率公式計(jì)算即可.

【詳解】?jī)芍患t色襪子分別設(shè)為4,4，兩只黑色襪子分別設(shè)為巴，B2,這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可

記為。=｛（4,4），（4出），（4，名），（4出）,（4應(yīng)）,（練員）｝,共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，記A為“取出的兩只襪

子正好可以配成一雙"，則"=｛（44），（昂邑）｝,A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,所以

故選：B

4.已知圓0產(chǎn)2+/-履+2/=°與圓。2比2+/+3-4=（）的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)?且點(diǎn)尸在

直線mx-"y-2=0上（加>0,〃>0）,則"，"的最大值是（）

3H1

1

---

42-C84

A.D.

【分析】根據(jù)圓G和G的方程得到公共弦所在的直線方程，可得點(diǎn)尸（2,-2）,進(jìn)而可得機(jī)+〃=1,

再利用基本不等式即可得到機(jī)〃的最大值.

[詳解]由圓￡d+y2_%x+2y=0,圓C?：V+,+上,一4=0,

得圓G與圓。2的公共弦所在直線方程為:“（x+y）-2y-4=0,

[x+y=O（x=2

由j-2y-4=0,解得日=-2,即尸（2,-2）,

又P（2，-2）在直線蛆“-2=0上，

.=2/w+2/?-2=0,即〃？+〃=],

J加+〃Y11

工----~7m=n=—

所以1214,當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)等號(hào)成立，

的最大值為聯(lián)

故選:D.

5.記正項(xiàng)等比數(shù)列匕"｝的前〃項(xiàng)和為S"，若%=4,邑=5S?,則S?=（）

A.2B.-21C.32D.63

【答案】D

【解析】先設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列"J的公比為q,根據(jù)題中條件，列出方程求出首項(xiàng)和公比，再由求和

公式，即可得出結(jié)果.

（詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列包｝的公比為式＞°）,

因?yàn)?=4,S4=5S2>

產(chǎn)d=4'/=4p=2

所以l(%+aH+a/+*)=5(q+qg),即卬八州+叱解得［=1

lx(l-26)

6

S6==2-1=63

所以1-2

故選：D.

%3

y=—

6.函數(shù)e、（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的大致圖象是（）

y——

【分析】分析函數(shù).e,的定義域、函數(shù)值的符號(hào)變化以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合排除法可得出合適

的選項(xiàng).

x3

y=—

【詳解】對(duì)任意的xeR,ev>0,故函數(shù)-e'的定義域?yàn)镽,排除C選項(xiàng)；

x3x3

y=—<0y=——>0

當(dāng)xvO時(shí)，’ex.當(dāng)x>。時(shí)，ex,排除A選項(xiàng)；

,_3.2_工3_.2(37)_X3

因?yàn)橐挥幸灰弧暌?當(dāng)x<3時(shí)，了飛°且V不恒為零，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

X3

,y=——

當(dāng)x>3時(shí)，y<0；此時(shí)函數(shù).e*單調(diào)遞減，排除D選項(xiàng).

故選：B.

7.己知等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S，，幾<0,凡>0,則當(dāng)￡取得最小值時(shí)，”的值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列｛“"｝的性質(zhì)和前〃項(xiàng)和公式，求得為歿>°,進(jìn)而得到當(dāng)

14〃47,〃wN*時(shí),?！?lt;0,當(dāng)〃28,〃wN*時(shí),%>0,即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列｛""｝的性質(zhì)和前〃項(xiàng)和公式,

二四產(chǎn)…。

品

可得,所以四<0

九=此產(chǎn)2=7(%+%)>0

,所以%+%>°

則等差數(shù)列｛"”｝中滿足％<°，%>°，可得"=%-%>0

數(shù)列也｝為遞增數(shù)列，且當(dāng)14〃47,〃eN*時(shí)，?！?lt;0,當(dāng)〃時(shí)，見>0,

所以當(dāng)S"取得最小值時(shí)，"的值為7.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式公式的應(yīng)用，其中解答中

熟練應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到數(shù)列的單調(diào)性是解答是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)

算能力.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)止⑼，/2,0）,圓J°一2）+"一〃'）=小”°）,在圓上

存在點(diǎn)尸滿足PH=2|P8],則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)P的軌跡，再利用兩圓有公共點(diǎn)的充要條件求解作答.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（"），由陽卜2閥得："（x+l）”2=2"（x-2）"2,整理得：

（X-3）2+/=4,

即點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)G（3，°）為圓心，2為半徑的圓，而圓C的圓心C（2，〃?），半徑為5,

2-i|<|CC0|<|2+i然1+入紀(jì)

依題意,圓C。與圓C有公共點(diǎn),即有，即44而〃?>0,解得

——<m<-----

22,

-7|叵

~^2~,2

所以實(shí)數(shù)用的取值范圍是L

故選：D

二、多選題

9.豆瓣評(píng)分是將用戶評(píng)價(jià)的一到五星轉(zhuǎn)化為。?10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以

此類推），以得分總和除以評(píng)分的用戶人數(shù)所得的數(shù)字.國慶愛國影片《長(zhǎng)津湖》的豆瓣評(píng)分情況如

圖，假如參與評(píng)價(jià)的觀眾中有97.6%的評(píng)價(jià)不低于二星，則下列說法正確的是（）

A.機(jī)的值是32%

B.隨機(jī)抽取100名觀眾，則一定有24人評(píng)價(jià)五星

C.隨機(jī)抽取一名觀眾，其評(píng)價(jià)是三星或五星的概率約為0.56

D.若從已作評(píng)價(jià)的觀眾中隨機(jī)抽取3人，則事件“至多1人評(píng)價(jià)五星”與事件“恰有2人評(píng)價(jià)五星”

是互斥且不對(duì)立事件

【答案】ACD

【分析】對(duì)A選項(xiàng)，由題意參與評(píng)價(jià)的觀眾中有97.6%的評(píng)價(jià)不低于二星，則二星及以上的頻率加

和為97.6%,即可求解；對(duì)B選項(xiàng)，由頻率只能推出可能有24人符合條件；對(duì)C選項(xiàng)，將評(píng)價(jià)為

三星和五星的頻率加和即可；對(duì)D選項(xiàng),“至多1人評(píng)價(jià)五星”即為無人評(píng)價(jià)或1人評(píng)價(jià)五星，依據(jù)

互斥事件與對(duì)立事件定義判斷即可.

【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，參與評(píng)價(jià)的觀眾中有97.6%的評(píng)價(jià)不低于二星，

貝1」24.0%+32.9%+機(jī)+8.7%=97.6%）,所以機(jī)=32%,故A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，隨機(jī)抽取100名觀眾，可能有l(wèi)°0x24.0%=24人評(píng)價(jià)五星，但不是一定的，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)，評(píng)價(jià)是三星或五星的概率約為32%+24.0%=56%,故c正確；

對(duì)D選項(xiàng)，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義可知，事件“至多1人評(píng)價(jià)五星”與事件“恰有2人評(píng)價(jià)

五星”是互斥且不對(duì)立事件，故D正確；

故選：ACD

10.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.過點(diǎn),（L3）,以-3,1）的直線的傾斜角為30。

__2

B.若直線2x—3y+6=0與直線nx+y+2=0垂直，則“一§

在

C.直線x+2y_4=0與直線2x+4y+l=0之間的距離是1

D.已知火（26）,以-1,1）,點(diǎn)尸在x軸上，則E+閥的最小值是5

【答案】ABC

【分析】由斜率公式求出直線的斜率即可判斷A,

根據(jù)兩條直線垂直求出a,進(jìn)而判斷B,

利用平行線間的距離公式即可求出答案，進(jìn)而判斷C,

作5關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,進(jìn)而利用對(duì)稱性得到答案，進(jìn)而判斷D.

3-11

k,K=——=—wtan30°

【詳解】對(duì)A,1+32,故A錯(cuò)誤；

3

a=-

對(duì)B,若兩條直線垂直，則2a-3=0,得2,故錯(cuò)誤；

|1+8|975

對(duì)C,直線x+2y-4=0可化為2x+4y-8=°,則兩條直線間的距離物+下1。，故c錯(cuò)

誤；

對(duì)D,如圖，設(shè)點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（-1,-1）,

則|P4|+1PB|=|PA\+\PC^\AC\=J32+42=5,當(dāng)且僅當(dāng)Apc三點(diǎn)共線時(shí)取“=”，故D正確.

故選：ABC.

11.2022年北京冬奧會(huì)開幕式精彩紛呈，其中雪花造型驚艷全球.有一個(gè)同學(xué)為了畫出漂亮的雪

花，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形進(jìn)行線性分形.如圖，圖（〃）中每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是圖

（〃7）中每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)的記圖（R）中所有正六邊形的邊長(zhǎng)之和為則下列說法正確

的是（）

圖（1）圖（2）圖（3）

A.圖（4）中共有294個(gè)正六邊形

1029

B.

C."J是一個(gè)遞增的等比數(shù)列

D.記⑸｝為數(shù)列匕"｝的前〃項(xiàng)和，則對(duì)任意的〃eN?且”22,都有a,,〉。-

【答案】BCD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算以及等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】對(duì)于A,由圖可知，圖0）至圖（"）中正六邊形的個(gè)數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng),

7為公比的等比數(shù)列，故圖G）中共有7?=343個(gè)正六邊形，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由題可知，圖（”）中每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為,

1029

=6x

-nr-r4,B正確;

對(duì)于c,?―0是底數(shù)大于1的指數(shù)型函數(shù),

二｛《,｝是一個(gè)遞增的等比數(shù)列，c正確;

…x({|,.-.a,=67

q=一

對(duì)于D,2,

6x

s”=HU

當(dāng)〃eN*且〃22時(shí),

12+180

”T6X=6X(T+“”0

-6x(3

nr>0

1-25

2

，對(duì)任意的〃eN*且“22,都有口正確.

故選：BCD.

12.下列不等關(guān)系中正確的是（）

AV3ln2<ln3BV3In2>In3

C.sin3<3sinlcoslD.sin3>3sinlcosl

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)值的特征，構(gòu)造函數(shù)X,求出其導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可判斷A,B;

/、sinx

g（x）=---

同理構(gòu)造函數(shù)X,判斷C,D.

，/Inr,z_1-lnx

【詳解】令''一丁，貝/“A一/,令/'（乂）=0得\=6,

/（x）在（0,e）上單調(diào)遞增，在（e,+00）上單調(diào)遞減,

ln2In.、sinx

所以/（2）>，3）,即2>石，即0n2>21n石=ln3,故A錯(cuò)誤，B正確；令式、）一x

，/、xcosx-sinx

XG(。,*貝產(chǎn)士—?一,

令〃(x)=xcosx-sinx,

則u\x)=cosx-xsinx-cosx=_xsinx<0在(0,1)上恒成立,

所以w(x)在(0,萬)上單調(diào)遞減，H(x)<u(0)=0；所以g'(x)<°在(0,%)上恒成立,

sin2sin3

---->----

所以g（x）在（°，"）上單調(diào)遞減，所以g（2）>g（3）,即23,即sin3<3sinlcosl,故c正

確，D錯(cuò)誤，

故選:BC.

三、填空題

13.曲線y=11在點(diǎn)（T’“）處的切線方程為.

【答案】3x-y+3=o

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求解.

【詳解】由于丁=1+1,所以有4=（一4+1=0,因此切點(diǎn)為（T，。），

由于V=3一,所以曲線y=/+1在點(diǎn)（一［,0）處的切線的斜率k=y'\x^=3,

故所求切線方程為:y=3（x-（T）），即3x-y+3=0

故答案為：3x-y+3=0.

92

c：r,r1(?>0,/>>0)

14.已知雙曲線/護(hù)的左、右焦點(diǎn)分別為片、F"過耳的直線/與C的左、

右支分別交于4,8兩點(diǎn).若且484鳥的面積為△力片工面積的4倍，則C的離心率為

729

【答案】亍

【分析】由條件可得忸用=4|/4|,設(shè)I狗="然后由雙曲線定義可得?網(wǎng)=2a+x,

_5

\BF2\=4x-2af然后在^中由勾股定理可求得“一%",然后在△瓦中由勾股定理可得答

案.

【詳解】因?yàn)椤魍喏康拿娣e為△.占面積的4倍，所以忸用=4|/用，

設(shè)|狗=。則網(wǎng)=4x,

由雙曲線定義可得幽-回=2。，網(wǎng)明=2”,

所以\AF21=2a+x\BF2\=4x-2a

,,,,_5

在△/明中，由勾股定理可得以用=|叫|+|明，即（2a+x）=（4x-2a）+9x\解得“-石",

獷號(hào)0|叫=不

所以3,3,

_16100

所以在△他名中，由勾股定理可得陽周2=忸8『+忸用一，即'22+9"2,

_V29

所以可得聯(lián)亍

729

故答案為：3

15.設(shè)函數(shù)/㈤與8⑴是定義在同一區(qū)間［"例上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意的xeR/］,都有

I/（x）-g（x）區(qū)1,則稱/（X）與g（x）在上是“密切函數(shù)，，，區(qū)間例稱為“密切區(qū)間”,設(shè)函數(shù)

/（x）=lnx與g（x）=2機(jī)+x,在［e'J上是“密切函數(shù),,，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】L2」

【分析】由新定義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值可得.

【詳解】由題意在［e,e」上|lnx-x-2小1恒成立，2m-\<\nx-x<2m+\,

.v1.1—X1.

設(shè)/?(x)=lnx—x,則Mx=1_=丫，當(dāng)［<x<時(shí)，

"'（x）>0,〃（x）遞增，當(dāng)l<x<e時(shí),

力H=.11

-1—A(e)=1-e<-1——

Y(x)<°,〃(x)遞減，所以網(wǎng)x)1rax=秋1)=-1,又?e,e,所以

J2/H-1<1-ee

旗X）min=l-e,所以（2機(jī)+12-1,解得一"""1一5.

-1,1--

故答案為：L2」

【點(diǎn)睛】本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，把新定義問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，再變

形后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

四、雙空題

a1H±LJL2"

16.設(shè)為數(shù)列｛“"｝的前〃項(xiàng)和，已知“一=萬，=為+，則與=,$100=.

n251

【答案】友一產(chǎn)

W+1nri\n1、

【分析】％兩邊同除2田，令"2"%,則有八"X'zO且"1)T=°,

_n

則有"")-1=°,即可得°”-f；s”用錯(cuò)位相減法求和即可.

/(n+l)-l=i(/(?)-l)

【詳解】〃，用%2"%”22工2,令2%.

則4，

〃1)-1=；-1=0_n

???又2%

012n—\n112n—1n

S-1r+…H---rH----3“=-7H+…H-------------i---------

n223

〃222"T2〃①，2〃222“2向②，

1c111n?

22222"2"+|

①減②得：

r.12+〃g51

.?“=2一-.?10?=2一齊

22--

故答案為：2"；2

五、解答題

17.已知等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為邑，其中％=",'=147；等比數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為4,

22

h.=-h,=—

其中9,243.

⑴求數(shù)列也｝的通公式；

(2)記0”=a，，*%求數(shù)歹lj匕｝的前〃項(xiàng)和Q.

b-

［答案】⑴…"5,"3-'

3

Q.=2n2+10n+-

Q)23-2

【分析】(1)根據(jù)條件分別求出等差數(shù)列｛“〃｝的公差為d,等比數(shù)列｛4｝的公比為公再利用數(shù)列的

通項(xiàng)公式即可求解;

（2）利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前”項(xiàng)和公式進(jìn)行分組求和即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)記等差數(shù)列包｝的公差為d,等比數(shù)列也｝的公比為g,

由題意得，$7=74=147,解得能=21,"==4,

.a”=%+(〃-3)d=17+4(〃-3)=4〃+5

2

66_243_1__3

1

3—q=一

V9，:"3,

仃4〃+5+3-仕『=4〃/1『+8

Q“=4(1+2+…+〃)-[+(；)+(；)+…+

+(8+8+???+8)

13

=4-------------+8〃=2/+10〃+--------——

2?3"T2

18.已知,（一丫），以點(diǎn)A為圓心的圓被y軸截得的弦長(zhǎng)為26.

⑴求圓A的方程；

（2）若過點(diǎn)80，-2）的直線/與圓A相切，求直線/的方程.

【答案】⑴（“+D+d）=4

⑵x=1或3x+4y+5=°

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，可直接計(jì)算出圓的半徑；

（2）根據(jù)直線/的斜率是否存在分類討論，斜率不存在時(shí)，可得到直線方程為、=1的直線滿足題

意，斜率存在時(shí)，利用直線/與圓相切，即"（T2）到直線/的距離等于半徑，然后解出關(guān)于斜率的

方程即可.

【詳解】（1）不妨設(shè)圓的半徑為R,根據(jù)垂徑定理，可得：*=12+呵

解得：R=2

則圓的方程為：G+i）-+d）-=4

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，則有：》=1

故此時(shí)直線/與圓相切，滿足題意

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線/的斜率為/，點(diǎn)8（L-2）的直線/的距離為“

直線/的方程為：y=〃（xT）-2

J-2"4|=2

則有：

k=_3

解得：4,此時(shí)直線’的方程為：3x+4y+5=°

綜上可得，直線/的方程為：x=l或3x+4y+5=°

19.已知函數(shù)/Oxfalnx.

⑴求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

g（x）=-+/（x）r

（2）若函數(shù)x\'在［L27Jl上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析

【分析】（1）先求出函數(shù)/J）的導(dǎo)數(shù)，然后討論和兩種情況，從而即可求解;

（2）由題意，g（x）4°在［⑶上恒成立，即"Wrx在口，2］上恒成立,令

,利用

導(dǎo)數(shù)求出〃（x）的最小值，從而即可得答案.

f\x)=2x+—=2:「.+2a(x>0)

【詳解】（1）解:XX

①當(dāng)心0時(shí)，所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）；

2(x+yT-a)(x-4-a)

/'a)=

②當(dāng)a"時(shí),X

當(dāng)X變化時(shí)，f（x）,"X）的變化情況如下:

X(0,V-a)4-CI(V^,4-oo)

-0+

/（X）遞減極小值遞增

由上表可知，函數(shù)“X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（°，。），單調(diào)遞增區(qū)間為（G，”）;

2,，/、2r2a

g(x)=--I-x2+2alnxg(x)=----+2xH---

(2)解：由％，得xx9

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在口團(tuán)上的是減函數(shù),

_2_2a_1_2

所以g'（x）@在［1,2］上恒成立，即一丁+“+工、在［，2］上恒成立，也即在口，2］上恒成立，

h（x）----x2,xe［1,21h'（x）-———2x=-（—r+2x）<0

722

令xL」，xx,

所以/?（x）在口，2］上為減函數(shù)，

7

〃（X）mm=力（2）=—，

所以2,

——

所以2,

a<--

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為、2.

20.已知數(shù)列"J的前〃項(xiàng)和為,〃eN*

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

b“=--------------7>1-（

⑵記"（%一1）（“"+「1）,4是數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，若對(duì)任意的"N*,"7,求實(shí)數(shù)4的

取值范圍.

在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

a.a.a?/+〃

①S〃=2%—2；②222T.③…〃”=2-

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）%2"

⑵*

【分析】(1)選①：根據(jù)%與S”的關(guān)系即可求解；選②：根據(jù)已知有"N2時(shí)，

幺+”+...+限=”一1

2222"-',兩式相減即可求解；選③：根據(jù)己知有"22時(shí)，

(7?-1)2+(/>-!)

…“1=22=22,兩式相除即可求解；

_J___｝k>(——"——],neN,

(2)利用裂項(xiàng)相消求和法求出12田-1,則原問題等價(jià)于12”,-1人"，令

，判斷數(shù)列￡｝的單調(diào)性，求出數(shù)列￡｝的最大值即可得答案.

【詳解】(1)解：選①：當(dāng)"=1時(shí)，E=2《-2=q,;.q=2,

?/Snti=2an-2，?〃>二_9乙my-vr,n-1.=2an—\,-2,

二兩式相減得."=2%T("22),

數(shù)列｛“"｝是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列,

a“=2x2"T=2"

?.?5+勺+???+"="幺+烏+…+^^=〃-

選②：2222",〃22時(shí)，2222向

—=l(n>2)幺=1

二兩式相減得2",即4=2"("22),又當(dāng)〃=1時(shí)，2

■-a<=2,滿足上式,

.????=2";

2

〃2+〃(A-】)2+(〃T)n-n

aaa22

選③：''\23---^n=,〃W2時(shí)，4。2a3…勺-|=22=22

二兩式相除得q=2"("22),當(dāng)〃=1時(shí)，4=2,滿足上式，

.■???=2";

b__2"_1______1_

⑵解：J3,7)(%一。&7)(2向7)272J

J"=(2'-1-22-J+(22-l-23-l)+(23-l-24-l)'"+(2,,-l-2,,+1-l)=1-2,,+'-l

rtsN',7；>1--1——p—>1--.

???對(duì)任意的"，即2n+1-l〃對(duì)任意的都成立，

,n

k>——：--.

???2田-1對(duì)任意的〃eN都成立，

：.k>\——7——jGN*

12用-人x

n+1n(n-1)2^'+1

〃XT*CI—C-----------------

令C"n=——2"+:l---l-',〃GN，則〃+1〃2,〃+2_12,〃+1(2,,+2-l)(2,,+l-1)

...neN\二%,|-%<0,即q，+i<%,

二數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列I，

???(%」：

Z:>-

3,

）的取值范圍是

。像當(dāng)x2v2

C:j+彳=1（q>6>0）

21.已知點(diǎn)j在橢圓ab2上，且點(diǎn)0到曲線C的兩焦點(diǎn)的距離之和為

2拒.

（1）求C的方程；

0.x2+y2=—

（2）設(shè)圓3上任意一點(diǎn)尸處的切線/交c于點(diǎn)"、N,求cos4MON的值.

r2

——+V=1

【答案】⑴2'

（2）cosZ.MON=0

’2。=2五

工j_=]

【分析】（1）根據(jù)題意，由[4+4〃一求解；

O:x2+y2=—

（2）當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：y=b+〃?.根據(jù)直線/與圓-3相切，得到

fy=kx+m

〃?，人的關(guān)系，聯(lián)立Id+2^=2,結(jié)合韋達(dá)定理，由兩?麗求解；直線/的斜率不存在時(shí)，根

據(jù)對(duì)稱性得到M,N的坐標(biāo)求解.

22

C:=+4=l（a>Z>>0）

【詳解】（1）解:.??點(diǎn)4號(hào)在橢圓成b-上，且點(diǎn)。到C的兩焦點(diǎn)的距離

之和為2及.

2a=2yf2

13,

彳+h

1=y/2

b2=l

江+2=1

所以橢圓c的方程為：了+‘一

O:x2+y2=—

（2）當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：y="+m.因?yàn)橹本€/與圓3相切,

所以

y=kx+m

x2+2y2=2整理可得.(2^2+1)x2+^kmx+2w2-2=0

聯(lián)立

4km2m2-2

%+工2二一斤百，再工2~2k2+\

OMON=XjX+(Ax,+m)(Ax+?)=(k2+l)x,x+km(x,+x)+m2

又因?yàn)?222

=仁華士)+當(dāng)出+加2

2k2+\2k2+\

3m2-2k2-2

=0

2k2+\

所以兩_L麗;

所以cos/MON=0.

（如如M如_逅］

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性得“，N的坐標(biāo)分別為

此時(shí)有OMQN=0,所以cosNMOV=0,

綜上知cos/"ON=0.

=--aflnx+-j（aeR）

22.已知函數(shù)xVx）

（1）若〃=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若,（X）在@2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)多,X?（再＜%）.

(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(ii)求證：中2<1.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0'2),單調(diào)遞增區(qū)間為Q，+00)

⑵(i)I2人(ii)證明見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得/G)的單調(diào)區(qū)間.

(2)(i)求得/(X),根據(jù)/G)在(a2)有兩