2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末抽測(cè)

高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.拋物線4），的準(zhǔn)線方程是（）

A.y=2B.y=-2C.y=lD.y=-l

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線方程的概念即可選出選項(xiàng).

【詳解】解:由題知無(wú)2=4>,所以〃=2，且拋物線開(kāi)口向上，

所以其準(zhǔn)線方程為:y=-l.

故選:D

2.雙曲線九2-21=1的漸近線方程是（）

3

Q1

A.y=±?xB.y=±^3xc.y=±3xD.y=±-x

【答案】B

【解析】

【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可直接求得雙曲線的漸近線的方程.

2

【詳解】在雙曲線/-q_=i中，。=1,b=6,因此，該雙曲線的漸近線方程為y=±百x.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.

3.在y軸上截距為-2,傾斜角為60的直線方程為O

A.y/3x-y-2-0B.》-傷-24=0

C.y/3x-y+2=()D.x-\/3+2-0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)斜截式直接整理可得.

【詳解】因?yàn)閮A斜角為60°,所以斜率％=

由斜截式可得直線方程為：yfx-2,即百光—y-2=0.

故選：A

4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”.意思是說(shuō)有

一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里數(shù)是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第七天

走的里數(shù)為()

35070014002800

A.-----B.——D.

127127127~127

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知，每天行走的里程數(shù)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前”項(xiàng)和公式即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意得，馬每天行走的里程數(shù)成等比數(shù)列，

設(shè)第〃天行走的里數(shù)為勺，則數(shù)列｛4｝是公比為q=g的等比數(shù)列;

由七天一共行走了里可得

7004+/+…+%=—,Ki700'

“44800一一|64480017(X)

解得。=m,所以___x__—___

%=4-

212764127

即該馬第七天走的里數(shù)為=.

故選：B

序可一小

5.已知函數(shù)/(x)=sin2x,則()

lim

Ax

_1_C也

A.~2B.1D.G

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知

又/'(x)=2cos2x,

故嘴=2?；1,

故選：B

6.已知集合A和B分別是由數(shù)列｛4"+3｝和｛3"｝的前100項(xiàng)組成，則AC8中元素的和為O

A.270B.273C.363D.6831

【答案】A

【解析】

【分析】先求出數(shù)列｛4〃+3｝和｛3"｝的公共項(xiàng)，滿足公共項(xiàng)小于等于數(shù)列｛4〃+3｝的100項(xiàng)，求出項(xiàng)數(shù),

然后再求和.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4“+3｝的第優(yōu)項(xiàng)與數(shù)列｛3"｝的第"頁(yè)相等，

即4〃?+3=3'，所以

,_|0

_(4-1/-3_C型(―1)°+C：4，T(-1)'+C；4-2(一\++C;-'4'(-1)+C；4(-l/-3

tn——

44

又因?yàn)楦?〃GN*,所以f=2〃+l(〃eN"),

所以數(shù)列｛4〃+3｝與數(shù)列｛3"｝的公共項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為花””｝.

又因?yàn)椋?〃+3｝的第100項(xiàng)為403,

而3?"+i<403的〃=1,2,

所以則AcB中元素的和為：32*1+1+32*2”=27+243=270.

故選：A

22

7.已知45分別為橢圓C：=+]=l（a>Z,>0）的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在直線x=。上，直線叢與C的另

a-b

外一個(gè)交點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若。尸，8Q,則C的離心率為（）

.1B1ceDg

3222

【答案】C

【解析】

【分析】由題，設(shè)尸（。1）,可得直線雨方程為：y=—（x+a）,將其與橢圓方程聯(lián)立，后利用韋達(dá)

2av/

定理可表示出Q坐標(biāo)，后利用OPBQ=0可得答案.

【詳解】由題，設(shè)因4（—a,0）,則直線以方程為：>-=—（X+a\.

2a7

V=——（X+。）

將其與橢圓方程聯(lián)立:消去y并化簡(jiǎn)得:

bv=,

222

222a（r-4b）

（4〃2+r）J+2atx+err-Aab0,由韋達(dá)定理有：Xx.又與=-a,

4b2+t2

a（4/?2-r）

則X

XQ4〃+t2

a（4/-）4th2

代入y可得Q

4b2+t24b2+t2

7

4fb2

則PQ,OP=（a,f）.又OP上BQ,

4b2+t2'4b2+t2,

uunuuu4th2-2ta2

則0PBQ==0n?

4〃+/

fflli2c-a'-h-b'1V2

則e=—=-----=―-=—=>??=----

a2a22b222

故選：C

8已知a=0.99—ln0.99,b=l,c=1.01—1.011nl.01,則()

A.a<b<cB.c<b<a

C.h<c<aD.b<a<c

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)/(x)=x-lnx,x>0,利用導(dǎo)數(shù)可得/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，從而有/(0.99)>/(1)=1,即

a>b；令g(x)=x-xlnx(x>0),利用導(dǎo)數(shù)可得g(x)在工+o。)上單調(diào)遞減,從而有g(shù)(1.01)<g⑴=1,

即c<8,即可得答案.

【詳解】設(shè)/(x)=x-lnx,x>0,則有f'(x)=i一上=二」，

XX

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)X>1時(shí)，f\x)>0,/(X)單調(diào)遞增；

所以/(0.99)>/(1)=1,

即有0.99—In0.99>1,

故a>b；

令g(x)=x-xlnx(x>0),則g'(x)=l-(lnx+l)=-lnx,

所以當(dāng)0〈元<1時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)％>1時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減：

所以g(1.01)<g⑴=1,

BPl,01-1.0Unl.01<l.

故c<b,

綜上所述，則有c<b<a.

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比較大小的題目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)

行比較.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知曲線c：_J+2L=i,則下列說(shuō)法正確的是()

m"+1m

A.若C是橢圓，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

B.若加＜0,則C是雙曲線

C.C不可能表示一個(gè)圓

D.若加=1,則C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為也

2

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)m2+1〉加可知若為橢圓，則焦點(diǎn)在X軸上，進(jìn)而可判斷A,進(jìn)而可判斷BC,根據(jù)橢圓的幾何

性質(zhì)可判斷D.

【詳解】由于I"?+1一m=+—＞0,所以〃『+1＞相，

I2)4

22

對(duì)于A,當(dāng)加＞0時(shí)，故C：_^_+21=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2府石，故A

m+1m

錯(cuò)誤，

對(duì)于B,當(dāng)mvO時(shí)，C是雙曲線，故B正確，

對(duì)于C,由于加2+1＞機(jī)，故。不可能表示一個(gè)圓，故C正確，

22

對(duì)于D,加=1時(shí)，C:—+^-=1,表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且此時(shí)足=2,從=1,。2=1,

21

故橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為a_c=&-1，故D錯(cuò)誤，

故選:BC

nn+

10.已知數(shù)列｛%｝滿足4+24++2~'an=n-2',則()

A.4=4

B.｛%｝的前10項(xiàng)和為150

C.｛(T)"%｝的前11項(xiàng)和為一14

D.｛|q-10|｝的前16項(xiàng)和為168

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)遞推公式得q=2〃+2,進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷AB,根據(jù)并項(xiàng)求和可判斷C,根

據(jù)正負(fù)去絕對(duì)值以及等差數(shù)列求和可判斷D.

/,2n

【詳解】由4+24+-+2”%“=〃-2用得：當(dāng)〃22時(shí)，4+2%++2-a?_1=(/i-l)-2,兩式相

減得2"-%”=〃2向一(〃一1)2"=(“+1)2",

故=2〃+2,(〃？2),當(dāng)〃=1時(shí)，q=4也符合，故a“=2〃+2,

對(duì)于A,4=4,故A正確,

對(duì)于B,｛《,｝的前10項(xiàng)和為("22)xl°=]30,故B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,｛(一1)〃?！ǎ那?1項(xiàng)和為-4+〃2-%+々4--4=-4+5?(2)=-14,故C正確,

對(duì)于D,當(dāng)?！?10=2〃—8>0,解得〃>4

10-tzz/,l<n<3

所以,〃-io[=<,nGN"

?！?10,九>4

所以M—10|｝的前16項(xiàng)和為(10-%)+(10-%)+(10-a,)+(a4-10)+(a5-10)+(4-10)

(6+4+2)+(0+2+4++24)=12+(°+2??二=168,故D正確,

故選：ACD

11.連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)，拐點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.若

的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,的導(dǎo)函數(shù)/'(x)都存在，且/'(x)的導(dǎo)函數(shù)7'"(%)

也都存在.若玉。e(a,b)，使得/(X。)=0,且在%的左、右附近,/"(X)異號(hào),則稱點(diǎn)(毛,〃/))為曲線

>=/(%)的拐點(diǎn).則以下函數(shù)具有唯一拐點(diǎn)的是()

A./(x)=(x+l)2B.f(x)^x3+2x2+3x

C.f(x)—xe'D./(x)=lnx+x2+sinx

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)拐點(diǎn)的定義及零點(diǎn)存在定理對(duì)選項(xiàng)求二階導(dǎo)函數(shù)，判斷其是否有異號(hào)零點(diǎn)即可.

【詳解】關(guān)于選項(xiàng)A:〃x)=(x+l)2,所以/'(x)=2(x+l),

(x)=2。(),根據(jù)拐點(diǎn)定義可知,y=/(x)沒(méi)有拐點(diǎn)；

關(guān)于選項(xiàng)B：/(x)=f*+2x2+3x,所以/'(1)=3X2+4%+3,

2

即/"(%)=6%+4=0,解得彳=-§,

且XW卜時(shí),/"(x)<O,xe]-|,+co)時(shí),/"(x)>0,

故(一：,/(一。)為y=/(x)的拐點(diǎn)；

關(guān)于選項(xiàng)C:/(x)=xe',/'(x)=(x+l)e”,

令f"(x)=(x+2)e*=0,解得x=—2,

且xe(y,-2)時(shí),/"(%)<0,%€(-2,—8)時(shí),/"(%)>0,

故(-2J(-2))為y="X)的拐點(diǎn)；

關(guān)于選項(xiàng)D:/(x)=lnx+x2+sinx,/z(x)=—+2x+cosx,

/"(%)=--y+2-sinx,

因?yàn)?〃[!)=一2—sing<0,/"(l)=l—sinl>(),

所以罵,使得了"(為)=0成立，

由于/"(%)在(°，+8)是連續(xù)不斷可導(dǎo)的，

所以/"(/)在(0,+e)有異號(hào)函數(shù)值，

故》=/(%)存在拐點(diǎn).

故選:BCD

22

12.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知橢圓土+匯=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，點(diǎn)A,在橢圓上,

43

且OAJ_O3,貝U()

A.當(dāng)P不在x軸上時(shí)，△「后用的周長(zhǎng)為6

B.使△P6瑪是直角三角形的點(diǎn)P有4個(gè)

C.^^-<AB<2yf2

7

117

DT---T=—

OA20B212

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形即可判斷AB,根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算以及兩點(diǎn)間距離公式即可判斷D,由D的結(jié)論，

結(jié)合不等式以及坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷C.

22

【詳解】土+乙=1中a=2,6=>A,c=l,

43

對(duì)于A,△PF；鳥(niǎo)的周長(zhǎng)為忸制+|。閭+忻用=2?+2c=6,故A正確，

對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，止匕時(shí)|P制=|P閭=由周=2,故/月產(chǎn)工=60,因此當(dāng)點(diǎn)尸在橢圓

上時(shí)，NFfK不可能為直角，故當(dāng)△P6E為直角三角形時(shí)，此時(shí)26，耳鳥(niǎo)或P6故滿足條

件的尸有4個(gè)，故B正確，

設(shè)A6,y),3(￡,%),由于。4OB,則由于。4?OB=+X%=°，，進(jìn)而得(又用『=(y%丫，即可

(%々)2=9J和)1一些),化簡(jiǎn)得;(M+Z。.-意超之片,

-1-I---1---1-------|-----1----------1----：——T------111

A?OB-+々2+2(2)

1

A：/+3I---x2+3

2222

3+上+3+23+工+3+26+"小

44=44=

函苧|*+畫)(笳焉)

4721

，當(dāng)且僅當(dāng)，即|Q4|=|0B|時(shí)取等號(hào)，故|A卸3又

7

22

AB「=xj+必2+x/+乂2=xj+/2+3%一工+3嘉-+6=7———X2Xj,故當(dāng)方,％2

渤4松4，4、一)144~

有一個(gè)為0時(shí)，|AB|取最大值為近，故|AB|i，故C錯(cuò)誤,

故選：ABD

【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的范圍或最值問(wèn)題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范

圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用.另外在解析幾何中還要注意

向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量垂直得坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而為消去變量起到了重要的作用

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線4:(〃?+3)x+5y=5,：(m+6)x+2y=8,若IJ/%,則，"的值為.

【答案】-8

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系即可求解.

【詳解】由可得〈］入/得加=一8,

一8(〃2+3)7-5(，”+6)

故答案為：-8

14.已知等差數(shù)列｛4｝的公差4工()，若4,%，%成等比數(shù)列，則幺的值為.

d

【答案】《

【解析】

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)以及等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可化簡(jiǎn)求解.

【詳解】由4，。2M6得%之=%4=>(4+〃)2=%(4+5d)=d=3q,所以幺=；,

故答案為：—

3

15.已知函數(shù)/(x)=hu—ox—1,若恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

5,+8

【答案】

【解析】

恒成立即a>在上恒成立，只aNlnx-1

【分析】〃x）V0@F（0,+8）需即可，構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)求

xmax

單調(diào)性及最大值即可.

【詳解】解:由題知〃無(wú)）《。恒成立,

印Inx-ov-l40在（0,+8）上恒成立，

即。之色土」?在（0,+8）上恒成立，即aN------,

"I"/max

記g（X）=見(jiàn)上]，所以g'（x）=上嗎二^="也

XXX

當(dāng)x?0,e2）時(shí)g'（x）>0,g（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)xe付+8）時(shí),g[x）<0,g（x）單調(diào)遞減，

所以8（力2=8?）=2,

所以4ZG1，+00]

故答案為：*

16.已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為為后上一點(diǎn)，以線段M尸為直徑的圓C與E交于另外一點(diǎn)N,C

為圓心，。為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)MV〃OC時(shí)，ON的長(zhǎng)為，點(diǎn)C到）'軸的距離為.

【答案】①.1②.江叵

2

【解析】

【分析】易知焦點(diǎn)廠（1,0）,根據(jù)M,N在拋物線上設(shè)出坐標(biāo)，易知圓心C為M尸的中點(diǎn)即可求出

C七匚，三1，由MN〃OC利用斜率相等可得=4,再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90可得MN工NF,

82

即利用向量數(shù)量積為0可得為2—y：+16=0,聯(lián)立及可解得兇2=8+電，根據(jù)兩點(diǎn)間距

離公式可得|QV|=1,點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為其橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于告叵

【詳解】由題意知M,N在拋物線上，設(shè)M如下圖所示:

[2人

拋物線焦點(diǎn)尸(1,0),圓心C為的中點(diǎn)，所以c2二匚，二

A

y.—y,9

由MN//OC可得kMN=k",即號(hào)-￡=2".

2L_22_斤+4

448

44乂

整理可得------=—―7，即%當(dāng)=4；

ya%y+4

又因?yàn)闉橹睆?，且點(diǎn)N在圓C上，所以

又因?yàn)镸N//OC,所以O(shè)C_LNE,可得OC?FN=0，

乂

I3，J14)

即上山X&T+型1=0,整理得%2—y：+i6=0,

842''

聯(lián)立必出=4可得y：—16y2-]6=0,解得y；=8+46或y：=8—46<0(舍)

所以五一色一」——」一

所以4一了一8+4逐一2+逐’

,V2

因此|ON|=+%=79-475+4(^/5-2)=1;

點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為C點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，即”3=8+4，+4=

882

故答案為：］,1±苴

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用幾何關(guān)系實(shí)現(xiàn)從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，將直線平行轉(zhuǎn)化成斜率相等，

將直徑所對(duì)的圓周角為直角轉(zhuǎn)化成向量數(shù)量積為0,從而得出坐標(biāo)之間的等量關(guān)系在進(jìn)行計(jì)算求解.

四、解答題：本題6小題，共70分.解答應(yīng)寫出件字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在①的=9,②S5=20,③勺+6=13這三個(gè)條件中選擇兩個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并進(jìn)行解答.已知等

差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5?,neN\,.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)/=-——，求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和J

anan+\

注:如果選擇多組條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】E

(1)an=〃+1,〃N*

N

⑵小T

【解析】

【分析】(1)根據(jù)｛q｝是等差數(shù)列,設(shè)出公差為d,選擇兩個(gè)選項(xiàng),將首項(xiàng)公差代入,解方程組,即可求得基本

量，寫出通項(xiàng)公式；

根據(jù)中的通項(xiàng)公式，寫出的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消即可求得前〃項(xiàng)和

(2)(1)｛2｝Tn.

【小問(wèn)1詳解】

由于｛4｝等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

0=q+7d=9a.=2

當(dāng)選①②時(shí)：＜g，解得《

S5=5q+10J=20a=1

所以｛4｝的通項(xiàng)公式4,=2+(〃-l)xl=〃+l,〃wN*.

%=q+7d=9a.=2

選①③時(shí)：＜，解得已

%+q)=2q+9d=13d=1

所以｛%｝的通項(xiàng)公式a“=2+("—l)*l=〃+l,〃eN*.

S=5q+10d=204=2

選②③時(shí)：＜5，解得L?

生+佝=2q+9d=13d=1

所以｛q｝的通項(xiàng)公式4=2+("—l)xl=〃+l,"eN”.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，%=72+1,Z?GN\

,1111

所以“=-----=(,o\=~T7〃

???n+i(〃+1)(〃+2)n+\+2'

11_n

2-/1+2-2(/?+2),

18.已知圓G：x~+y~+2x—6y+5=0,圓C?:x~+一10%+5=0.

(1)判斷C1與C2的位置關(guān)系；

(2)若過(guò)點(diǎn)(3,4)的直線/被G、。2截得的弦長(zhǎng)之比為1：2,求直線/的方程.

【答案】⑴外切⑵x-y+l=O或x+5y-23=0

【解析】

【分析】(1)計(jì)算出|GG|,利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系；

(2)對(duì)直線/的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線/的斜率不存在時(shí)，直線驗(yàn)證即可；在直線/的斜率存

在時(shí)，設(shè)直線/的方程為依-y+4-3%=0,利用勾股定理結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于攵的方程，

解出人的值，即可得出直線/的方程.

【小問(wèn)1詳解】

解：圓匕：(%+1)2+()-3)2=5的圓心為4(—1,3),半徑為/；=石，

圓C2:(x—5『+/=20的圓心為C2(5,0),半徑為4=2石.

因?yàn)樾摹?1=J(T-5p+(3-Op=3石=/+&，所以圓G與圓。2外切.

【小問(wèn)2詳解】

解：當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=3,直線/與圓G相離，不符合題意;

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=%(x-3)+4,即依一y+4-3左=0,

|1一4用|2女+4|

則圓心C到直線/的距離為4='1，圓心G到直線/的距離為&二,，

JX+1，公+1

所以，直線/被圓G截得的弦長(zhǎng)為2

直線/被圓。2截得的弦長(zhǎng)為2,20-

由題意可得J一什的［=

即4(1—44)2=(2&+4)2,解得上=1或&=一(，

經(jīng)檢驗(yàn)，左=1或4=—；均符合題意.

所以直線/的方程為％-丁+1=0或x+5y-23=0.

19.某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進(jìn)行配套綠化.如圖，已知空地的一邊是直路AB，余下的外圍是拋物線

的一段，的中垂線恰是該拋物線的對(duì)稱軸，。是的中點(diǎn).擬在這塊地上劃出一個(gè)等腰梯形ABCD區(qū)

域種植草坪，其中均在該拋物線上.經(jīng)測(cè)量，直路AB段長(zhǎng)為60米，拋物線的頂點(diǎn)尸到直路AB

的距離為40米.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

(1)求該段拋物線的方程；

(2)當(dāng)CO長(zhǎng)為多少米時(shí)，等腰梯形草坪ABCD面積最大?

2

【答案】⑴y=——x2+40,-3?30

45

(2)20米

【解析】

【分析】（1）卜=依2+，，把B（30,0）,P（0,40）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可:

⑵cfx,40——x2

，由梯形的面積公式，可得梯形A8CD的面積為

S=2（x+30）（20x],0<x<30,構(gòu)造函數(shù)/（x）=（x+30）（20x）,。<x<30,求導(dǎo)可知

當(dāng)x=10時(shí)，該函數(shù)/（x）有唯一的極大值點(diǎn)，則改點(diǎn)也是函數(shù)的最大值點(diǎn)，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)該拋物線的方程為y=o?+c,由條件知，B（30,0）,P（0,40）,

c=40

c=40

所以《”，仆，解得2，

ax30~+c=40a=-----

45

2

故該段拋物線的方程為y=--%2+40,-30<%<30.

45

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可設(shè)。[樂(lè)40一1一），所以梯形ABC。的面積

（）（1=2（x+30）（20-g2）

5=12x+6040-0<x<30,

45

設(shè)/（力=（；1+30）（2（）_5/

,0<x<30,

則r（x）=-，x2-gx+20=-I^_I?!”""，令/'（x）=0，解得x=10,

當(dāng)0<x<10時(shí)，,/（x）>0J（x）在（0,10）上是增函數(shù)；

當(dāng)10<x<30時(shí)，Z（x）<0,/（x）在（10,30）上是減函數(shù).

所以當(dāng)x=l（）時(shí)，/（x）取得極大值，也是最大值.

故當(dāng)8長(zhǎng)為20米時(shí)，等腰梯形草坪ABCD的面積最大.

20.已知曲線C:y=M在點(diǎn)（怎,yn）（x?>0）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（居+1,0）,“eN*,且％=g.

（1）求數(shù)列｛x“｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)S〃為數(shù)列｛小七｝的前〃項(xiàng)和，求使得S“〉《：成立的正整數(shù)〃的最小值.

64

【答案】（1）.3

（2）8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)切線方程的求解得切線方程為y=2怎（x—當(dāng)）+片，y=o得工用=1x?（x?>0）,即可

判斷為等比數(shù)列，進(jìn)而進(jìn)行求解，

（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求解S”，即可根據(jù)S“的單調(diào)性求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?gt;=》2,所以y'=2x,

所以曲線C上點(diǎn)（當(dāng),券）（工>0）處的切線方程為y=2%（x—%）+片.

1、X〃.+..1-1

令y=o,得x,用>0），即

「2’

又玉=g,所以｛七｝是以3為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列.

故｛七｝的通項(xiàng)公式為當(dāng)---1-.

X

【小問(wèn)2詳解】

Lzn

由⑴知,n-xn=—,

所以s“=，+4+.+-^,-S=-^2n

n一+夢(mèng)+…+產(chǎn)’

兩式相減得，-s=-+4+4+1n2^2"Jn1n

+n+1n+I

2n2222322?-,12向2"2

2

所以S“=2—*?

因?yàn)椤?元"==>0，所以S“+1>S“，

▽c-7+2247/250_8+2251125

又S，=2-丁=*<瓦，風(fēng)=2-亍=花〉瓦，

125

所以使得S〃>—成立的正整數(shù)〃的最小值為8.

64

22

21.已知雙曲線C:]-方=1(4>0油>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，且后周=4,過(guò)G的直線/與C的左

支交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線/垂直于X軸時(shí)，|A6|=2e.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線0E交直線尸一1于點(diǎn)。，點(diǎn)G在射線0E上，且

\OGf^2\OD\-\OE\,設(shè)直線《G,gG的斜率分別為匕#2,求尢?&的值.

22

【答案】(1)二-匕=1

22

(2)1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于。功的方程，解出即可得結(jié)果；

(2)設(shè)直線/的方程為了=陽(yáng)-2,聯(lián)立直線與雙曲線的方程結(jié)合韋達(dá)定理求出E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意得出第，

犬,由斜率計(jì)算公式即可得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

b2

將X=C代入雙曲線可得x=±幺,

a

a2+b2=4

由條件知」2〃r~解得儲(chǔ)="=2.

——二2j2

Ia

22

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2-匕=1.

22

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)直線/的方程為％=加丁-2,

\22

￡__2L=1

聯(lián)立《22—消去x并整理得，（加2-1）y一4m），+2=0,

x=my-2

in2-1<0,

則《,7,X

16/7?2-8（/n2-l）>0,

設(shè)A（x，y）,3（w，y2），則y+%=r

m-

ll_2m