2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全國(guó)I卷）數(shù)學(xué)試卷及答案（三）

2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全國(guó)I卷）數(shù)學(xué)試題（三）

一、單選題

1.若集合％=同9工221},M=N?<4},則MCN=()

A.1x|O<x<2jB.1*4x<2}

C.{x|34x<16}D.{xg^xcie}

2.若復(fù)數(shù)z滿足i—l=zi(i為虛數(shù)單位)，貝iJz+W=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.設(shè)加=【Og62,"=1(^3,貝1]”?+〃+4"一9小等于()

A.yB.1C.2D.3

4.下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=6sinx-cosx單調(diào)遞增的區(qū)間是()

5.對(duì)某地區(qū)數(shù)學(xué)考試成績(jī)的數(shù)據(jù)分析，男生成績(jī)X服從正態(tài)分布N（72,c）,下列結(jié)論中不正確的

是（）

A.b越大，男生成績(jī)?cè)冢?1.9,72.1）的概率越小

B.b越大，男生成績(jī)大于72的概率為0.5

C.。越大，男生成績(jī)小于71.99與大于72.01的概率相等

D.。越大，男生成績(jī)落在（71.9,72.3）與落在（72,72.1）的概率相等

6.某全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道

位于地球赤道所在平面，軌道高度為〃（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)

球心為O,半徑廠為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀

測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為

45

S=2^r（l-cosa）（單位：km2）,若人=7,則S占地球表面積的百分比約為（）

O

A.26%B.34%C.42%D.50%

7.已知橢圓C|：會(huì)+（=1與拋物線G：V=2px（p>0）交于48兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

的外接圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（3,0）,則夕等于（）

Ai

A，2B-7C.2D.4

8.已知等差數(shù)列｛4｝中，a“>0,公差2>0,若cos2440,

+%+。3+%一兀）+；，則（）

sin(a)+%+%)=

(_冗7t冗.7t.711

A.B.C.de-,+ooD.dG—,l

qeW'512

二、多選題

9.下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本玉，x?x“的離散程度的是（)

A.樣本4，/，…，X”的極差B.樣本A，x2x“的中位數(shù)

C.樣本巧，x2,x.的標(biāo)準(zhǔn)差D.樣本x+1,尤2+1，犬3+1，…，￡+1的方差

10.已知點(diǎn)圓G：(x-5)-+(y-5)2=16,圓。2：(x-l)2+(y—2)2=1上，則()

A.圓C1與圓G相交

B.圓C1與圓Q有三條公切線

C.若PC；-PC；為定值，點(diǎn)P的軌跡為一條直線

D.點(diǎn)尸為圓G上一點(diǎn)，點(diǎn)。為圓G一點(diǎn)，則QC：-PC；為定值

11.已知函數(shù)/（x）=x-2cos（7tr）,則（）

A.函數(shù)/（x）有最大值B.f（x）至少有3個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)D.存在。，使得f（x+a）為奇函數(shù)

12.平面四邊形ABCQ中，A￡）=C/）.現(xiàn)將△ABO沿著對(duì)角線翻折得到平面直線A'C與

平面A'BD、平面BCD所成角分別記作,乂，平面ABD與平面BCO所成角二面角為“，在翻

折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a=2，則=成立B.若ZADB=2NCDB,則244a

ArD-sinZAfDCAC

C.若ZADB=2NCDB,則2。*D------------------------<---------

sinq+sin%sin^

三、填空題

13.已知函數(shù)/（力=/（夕2，-2-*）是奇函數(shù)，則4=

14.（y-x）（x+y）8的展開(kāi)式中/產(chǎn)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

29

15.雙曲線C:1-4=1的左、右焦點(diǎn)”，"，若過(guò)點(diǎn)”的直線/與圓0：/+/=/相切于點(diǎn)兀

a~b~

且交雙曲線C的右支于P點(diǎn)，若出H=4忻刀，則C的離心率為.

16.已知向量5滿足同=3,且忸-陷的最小值為1(/I為實(shí)數(shù))，記(哂=a,卜,"弓=夕,

b(b—a\

則-4一4最大值為_(kāi)_____.

cos(?+p)

四、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝滿足，an+i=a?+2-(-iy.

(1)若4=1,數(shù)列｛/“｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，求力.

Ccq4

18.記"RC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知一式=l+sinA.

tan3

⑴若A=3,求C；

、、_.asinB+bsinA.,

(2)求1s一-——--的取值范圍ra.

2。cos8

19.在矩形ABC。中，AB=2A￡>=4,點(diǎn)M為線段C￡>上的中點(diǎn)，將△4DM沿AW翻折，使得

/PD4=60。，點(diǎn)E在線段PB上(不包括端點(diǎn)).

(1)證明：平面平面ABC。；

(2)求直線CE與平面PA8所成角的正弦值的取值范圍.

20.自2019年底開(kāi)始，一種新型冠狀病毒COVID-19開(kāi)始肆虐全球.人感染了新型冠狀病毒后初期

常見(jiàn)發(fā)熱乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹瀉等癥狀，嚴(yán)重者可致呼吸困難、臟器衰竭甚至死亡.

篩查時(shí)可通過(guò)鼻拭子或咽拭子進(jìn)行核酸檢測(cè)判斷.某定點(diǎn)醫(yī)院對(duì)來(lái)院就診的發(fā)熱病人的鼻拭子進(jìn)行

化驗(yàn)，現(xiàn)A、B、C、D、E,F六人均出現(xiàn)了發(fā)熱咳嗽等癥狀，經(jīng)過(guò)初次鼻拭子化驗(yàn)已確定其中有

且僅有一人罹患新冠肺炎，其余五人只是普通流感，但化驗(yàn)報(bào)告不慎遺失，現(xiàn)需要再次化驗(yàn)以確定

六人中唯一的陽(yáng)性患者的姓名.假設(shè)在接受化驗(yàn)的鼻拭子樣本中每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果是等可能的，

且每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的.下面是兩種化驗(yàn)方案：

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患者為止；

方案乙：混合化驗(yàn)，先任取兩人鼻拭子樣本混合在一起化驗(yàn)，若混合樣本化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則在這

2人中任選一人進(jìn)行化驗(yàn);若結(jié)果呈陰性,則再任取兩人鼻拭子樣本混合重復(fù)第一次混合化驗(yàn)過(guò)程；

若結(jié)果還是陰性，則在最后兩份血樣中任選一人進(jìn)行化驗(yàn)；

(1)求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)X的分布列及其期望.

(2)求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)X不少于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)Y的概率.

21.已知拋物線E：y2=2px(p>0),其焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線的距離為6,若直線4與E交于氏C兩點(diǎn)(直

線BC不垂直于x軸)，且直線板與E另一個(gè)交點(diǎn)為A,直線C尸與E另一個(gè)交點(diǎn)O.

(1)求拋物線后的方程；

(2)若點(diǎn)N(—1,0),滿足NCNF=NBNF恒成立,求證：直線AD過(guò)定點(diǎn).

22.已知函數(shù)/(x)=x-(a+6)lnx-茲，a,beR.

X

(1)若b=-l,求/(X)的單調(diào)區(qū)間：

⑵若〃X)不單調(diào)，且/⑴<0.

(i)證明：/(a)+/(Z?)<-21na/>；

、6ab(a+b)

(ii)若/(%)=/(工2)=/(￡)，且4<%<三，證明玉+毛+--1----->3(〃+/?)一

E*3)h2+2ah+3a2

參考答案:

1.D

解相應(yīng)不等式，后由交集定義可得答案.

解析：對(duì)于集合N,9/21=*4-^或X2；,

故N=[xx4-：或x±!]；對(duì)于集合M,&<4=.(")"6,

I3為[x>0

=0Mx<16,故知=卜|04彳<16}.則McN=Hgvx<16}.

故選：D

2.D

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得z=l+i,進(jìn)而即得.

解析：因?yàn)閕—l=zi,

所以z=—；—=1+i,z=1—i,

i

所以z+N=2.

故選：D.

3.B

利用指對(duì)數(shù)互換和累的運(yùn)算性質(zhì)求得4”=62〃Z9'〃=62〃J再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求得加十九=1,進(jìn)而

求得加+/?+4"-9'〃的值.

解析：由加二唾62,〃二蜒63,得6m=2,6"=3,

貝ij4=62W,9=62n,則4〃=62W\9W=62mn,貝ij4"-9m=62zw,-62mn=0，

m

則根+〃+4〃-9=log62+log63=log6(2x3)=l.

故選：B

4.A

化簡(jiǎn)f(x)=2sin(x-￡],結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，^-^.+2k7r<x-^<-+2k7r,kwZ,對(duì)女賦值，

\oy2o2

結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.

解析：由題，/(x)=\^sinx-cosx=2sin(x-.

TTTTTT

令---F2k兀<x-----<—4-2k冗,%￡Z,

262

冗2

則——+2kjr4XW彳萬(wàn)+2kjc,ZwZ,

TT2

當(dāng)女=0時(shí)，一］Wx4§%,

58

當(dāng)女=1時(shí)，-7T<X<-7T,

因?yàn)?05=g>，所以(0,9是一個(gè)單調(diào)遞增的區(qū)間，

故選：A

5.D

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，從。的幾何意義解決即可.

解析：由題知，X服從正態(tài)分布N(72,cr),

所以平均值為72,且X>72和X<72概率均為0.5,故B正確；

當(dāng)。越大，則成績(jī)?cè)椒稚?，在固定范?71.9,72.1)的概率越小，故A正確；

因?yàn)閨71.99-72|=|72.01-72|,

所以成績(jī)小于71.99與大于72.01的概率相等，故C正確；

因?yàn)槌煽?jī)落在(71.9,72.3)范圍包括(72,72.1),且范圍內(nèi)概率不為0,

所以尸(71.9,72.3)>Pg72.1)故D錯(cuò)誤.

故選：D

6.C

設(shè)C表示衛(wèi)星，過(guò)CO作截面，截地球得大圓O,過(guò)C作圓0的切線CACB,線段CO交圓。于E,

得NAOC=&,在直角三角形中求出cosa后，可計(jì)算兩者面積比.

解析：設(shè)C表示衛(wèi)星，過(guò)CO作截面，截地球得大圓。，過(guò)C作圓O的切線C4c8,線段CO交圓。

于E,如圖，則ZAOC=a,r=OE,CE=h,OAA.CA,

OAr1_0

ricosa=---=----=---r-p,443byo

則OCr+hI,h，y.h=—r,所以

1+-853

r

設(shè)地球表面積為、，則5=4口2

,A

所以S=2萬(wàn)廠(l-cosa)1-cosj_53=^5_^42%.

S14萬(wàn)/22106~

故選：C.

7.A

根據(jù)橢圓和拋物線的對(duì)稱性知AOAB的外接圓的圓心必在x軸，設(shè)圓心為結(jié)合圓的性質(zhì)

可得％=3-20、進(jìn)而得y：=2p(3-2p),代入橢圓方程計(jì)算即可求解.

22

解析：設(shè)4%,%)(%>0),則無(wú)+左=1,y；=2px0.

123

由題意知，。,48,C四點(diǎn)共圓，

由橢圓和拋物線的對(duì)稱性，知"AB的外接圓的圓心必在x軸，

設(shè)AB與x軸相交于點(diǎn)則。(知0),

在圓。中，^\AD\-\BD\=\CD\-\OD\,

即y：=(3-%>戊，又y：=2px0,

所以(3-%)玉>=2px0,解得x()=3-2p,①

代入北=22%,得y；=2p(3-2p),②

將①②代入橢圓方程，得(3一2球+2P4一功)=1,

123

整理，得(2p-l)2=O,解得p=g.

經(jīng)檢驗(yàn)，P=g時(shí)，符合題意.

故實(shí)數(shù)P的值為

8.B

先求出：+E444孝+E次wZ,再根據(jù)題設(shè)條件得到sin3?2-2島+等兀_；_島=0,構(gòu)建新

函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)可判斷。2的范圍，從而可判斷％的范圍，再根據(jù)新函數(shù)的性質(zhì)可得d的范圍.

解析：因?yàn)閏os24W0,故—+2kliW2cli<+2klt,kGZ,

TT37r

所以一+<---Fkii.kGZ.

44

因?yàn)椋ā埃秊榈炔顢?shù)列，故4+4=%+%=2%+"，

故由SinSi+。2+。3)=T(0l+生+〃3+。4一兀)+；可得：

sin3a)—2>/3^+K———>f3d—0.

設(shè)/(x)=sin3x—26x+等兀一;一瘋/,故/(%)=。

Xr(x)=3cos3x-25/3<0,故/(力為R上的減函數(shù),

而/（5）=sin冷一石兀+冬一一冬一島<°,故/，

因?yàn)椤?gt;0,故4<生</，結(jié)合:+4,+E,keZ，4>0可得</<］，

故A錯(cuò)誤，B正確.

由;<凡'可得/?（sin--2\/3x—+—TT---Cd>0,

4-2⑷4422

故八正目

6

H指-6兀指一612卡-2百一32x2.5-2-3八

no-----------<-----------<-------------<------------=0，

612641212

故必二叵<巳，故CD錯(cuò)誤.

612

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列中的多變量的存在性問(wèn)題，可根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)合理構(gòu)建新函數(shù)，再利用導(dǎo)

數(shù)等工具判斷變量的范圍，在大小比較的過(guò)程中，注意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理.

9.ACD

根據(jù)極差，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，方差的含義，即可依次求解.

解析：對(duì)于A,極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，極差越大數(shù)據(jù)越分散，極差越小數(shù)據(jù)越集

中，故該樣本的極差能度量該樣本的離散程度，故A正確；

對(duì)于B,中位數(shù)為一組數(shù)據(jù)中中間的數(shù)，故該樣本的中位數(shù)刻畫了該樣本的集中趨勢(shì)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差越小，

數(shù)據(jù)的離散程度越小，故該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差能度量該樣本的離散程度，故C正確；

對(duì)于D,在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，又樣本4+1,x2+l,x3+l,x.+l

的方差與樣本4,巧，…，血的方差是一樣的，故樣本%+1,%2+1,%+1，…，斗+1的方差能

度量樣本4，巧，…，x”的的離散程度，故D正確.

故選：ACD.

10.BC

結(jié)合圓的方程及其性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)分別判斷即可得到答案.

解析：圓Cj(x—5p+(y—5『=16的圓心為C15,5),半徑為八=4,

圓G：(x-l)2+(y-2『=l的圓心為CN1,2),半徑為4=1,

22

對(duì)于A,|C,C2|=7(5-1)+(5-2)=5=rl+r2,所以圓C1與圓G外切，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,因?yàn)閳AC1與圓C?外切，所以圓G與圓G有三條公切線，故B正確，

對(duì)于C,因?yàn)镻C；-PC；為定值，設(shè)P(x,y),PC：-PC；=t,ZeR,

則1-5)2+(廣5)]-[(1)2+(〉-2)2卜

整理得：8x+6)」45+r=0,所以點(diǎn)P的軌跡為一條直線，故C正確，

對(duì)于D,因?yàn)辄c(diǎn)P為圓C1上一點(diǎn)，所以|PG|e[|GG|-4,|C￡|+4],即〔PC?閆1,9],

所以怛。2「€0,81],

點(diǎn)。為圓C2一點(diǎn)，同理可得|QCje[4,6],|℃|屋[16,36],

因?yàn)镻,。之間的變化無(wú)聯(lián)系，所以無(wú)法確定QC；-PC；為定值，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.BC

對(duì)/(x)求導(dǎo)后，根據(jù)sin(7tr)的取值范圍可確定“X)的單調(diào)性和極值，從而得到了(x)在[0,2]上的

值域?yàn)閇-2J(xj]；根據(jù)函數(shù)解析式可推導(dǎo)得到f(x+2)=f(x)+2,從而知

〃x+2A)="x)+2A(AeZ),可得A錯(cuò)誤；結(jié)合零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明.f(x)在[0,2]上有三個(gè)零點(diǎn)，

知B正確;根據(jù)“x+l)+/(-x)=1可知C正確;假設(shè)存在。，根據(jù)奇函數(shù)定義可化簡(jiǎn)得到=°八

由方程組無(wú)解可知D錯(cuò)誤.

解析：?.?/'(x)=l+27tsin(7tr),.,.當(dāng)xe［O,l)時(shí)，sin(7tr)e［0,l］,貝!

\/(勾在［0,1)上單調(diào)遞增;

令/'(x)=0,則sin(xr)=--->-1,

2兀

假設(shè)存在玉使得sin(g)=sing)=-J

則當(dāng)x?l,與)叫七,2)時(shí)，>0；當(dāng)》€(wěn)(芭，9)時(shí)，r(x)<0；

\/(勾在(Lu),(%,2)上單調(diào)遞增,在(x”w)上單調(diào)遞減；

又〃

0)=-2,〃1)=3,"2)=0,.?./&)"⑴=3,/(X2)</(2)=0；

/(°)二/一

2COS(TLT2)+2=W+2—2cos(5),COS(TLX2)<1,

.V(^)-/(0)>x2>0,BP/(A2)>/(0)；

\/(x)在［0,2］上的值域?yàn)椋?2J&)］；

對(duì)于A,,."(x+2)=x+2-2cos(2兀+7tr)=x+2-2cos7tr=/(x)+2,

.-./(x+4)=/(x+2)+2=/(x)+4,以此類推，則/(x+2A)=/(x)+2A(AeZ),\/(x)無(wú)最大

值，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,?.?〃0>〃1)<0且〃x)在(0,1)上單調(diào)遞增，\/(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)；

,."(芯)?/(々)<。且“X)在(3，々)上單調(diào)遞減，'/(X)在(x「W)上有一個(gè)零點(diǎn)；

又/(2)=0,\"X)在［0,2］上有三個(gè)不同零點(diǎn)；

\/(X)至少有3個(gè)零點(diǎn)，B正確；

對(duì)于c,\,/(A，4-l)4-/(-X)=x+l—2cOS(7L￥4-7t)—X—2cos(-7tr)=1+2COS(7Ll)-2COS(7tr)=1,

\/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(；，￡)對(duì)稱，C正確；

對(duì)于D,假設(shè)存在“，使得/(x+a)為奇函數(shù)，

令g(x)=/(x+a)=x+a—2cos(7L￥+m),則g(-x)=-x+a-2cos(-7tx+7izz),

—x+a—2cos(m-Ttr)=-(x+a)+2cos(7tr+7uz),

整理可得：Cl—COS(7UZ-7LT)4-COS(71X4-7UZ)=2COS7UICOSTlX；

a=0

a=0

若方程恒成立，則33=0,即3=5+航優(yōu)eZ）'方程組無(wú)解'

:?不存在實(shí)數(shù)。，使得〃x+a）為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.AD

根據(jù)線面角的定義，二面角定義分別作出直線AC與平面BC。所成角，平面48。與平面BCD所

成角，由此確定2,名的關(guān)系，同理確定％4的關(guān)系，由此判斷各選項(xiàng).

解析:過(guò)點(diǎn)A作平面BCD的垂線,垂足為。，過(guò)點(diǎn)。作OE_L8。于E,連接AC,A'E,則^A'EO=0},

連接OC，

則NA'CO=%,則A'O=A'Esinq=ACsina，又A'E=A'OsinZADB,

所以ACsin冬=A'DsinZADB-sin0,,同理A'Csin^=C￡)sinZCDBsin6>,,

sinZA'DBA'Csin/CDBA'C

所以因?yàn)锳D=8

sin02A'D-sinOysinqCO?sin4'

sinZCDBACA!CsinZA'DB

所以--------=---------=---------=-------

r

sin4CDsin&AD-sin03sin^2

sinZCDBsinZA'DB

對(duì)于A，因?yàn)镕,4=2，所以NA'38=NCr>8,A正確;

sin%

TTTTTTsinZCDBsinZA'DB

對(duì)于B,取NCDB=「NA，DB=5，q=%,則名=弓，2%>q,故B錯(cuò)

sin4sin/

誤;

TT'llTTsinZCDBsinZA'DB

對(duì)于C,^ZCDB=-,ZA'DB=-,0=-,,則2伉>仇,故c錯(cuò)

42t6sinGsin2

誤;

對(duì)于D,過(guò)點(diǎn)C作B,E）B,垂足為F,

因?yàn)镈A'DC=(DE+麗”(加+而)，DE.FC=f),DFEA=Q,

所以方禮配=麗?麗+麗7.京，又（麗\而）=a,

所以|而H唱cos"DC=聲,閉+俘'H用cos4,

DEDFEAFC

所以cosNA'￡)C=........十—一COS。3,

DA!?DCDA!?DC

fr

所以cosZ.A!DC-cosZADBcosZCDB+sinZADBsinZ.CDBcos^3,因?yàn)閟inZADBsinZCDB>0,

4e(0,兀)

所以cosZA'DC<cosZA'DBcosZCDB+sinZA'DBsinNCDB,

若ZA'DB>NCDB,貝i]cosNA'DC<cos(NA'OB—NC￡>8),因?yàn)?75Ce(0,兀),

ZA'DB-ZCDBe(O,n),

所以NA7)C>NA'￡)8-Na)8,所以NA'DC+NCOS>ZA'DB,若ZADBvNCDB,同理可得

ZADC+ZA'DB>Z.CDB,

同理可證NA'OCvNCDB+NA'DB,即三面角任意兩個(gè)面角的和大于第三個(gè)面角.

ZA'DC=r，ZCDB=a,ZA'DB=p,則y<a+/?,由已知0</<a+尸<兀，

..0.(a+pa—P、(a+(ia-p\,a+fta—(5

m因?yàn)閟ina+sin/?=sin------+-+sin--------=2sm------cos-,

I22jV22j22

因?yàn)閟in]vsin2；夕,又0〈仁一夕|</<兀,所以cos"?'>c°s~^'

所以sina+sin/=2sin^^cos^——>2sin—cos—=sin/,

2222

故sinZADC<sinZADB+sin/CDB,

A!D-sinZArDCA!D(sinZADB+sinNCDB)

sin4+sin02sin0X+sin02

A'D,sinNCDBAfD-sinZADBAfCADsinNA'OCAC

-------------二-------------------,所以--------------<-----,

sin'sin。？sin，？sin仇+sin%sin^3

故D正確，

故選：AD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：明確關(guān)系三面角任意兩個(gè)面角的和大于第三個(gè)面角是問(wèn)題解決的關(guān)鍵.

13.-1

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

解析：設(shè)g(x)^a-2x-2-x,因?yàn)?(x)=d-g(x)是奇函數(shù),

所以/(-x)=(-x)%(-x)=-/(x)=-x3.g(x),

即g(-x)=g(x)即a-2"x-2'=cnx-2X,

整理得到(4+1乂2'-2-，)=0,故得a=T.

故答案為：-1.

14.20

根據(jù)可知兩種可能，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)即可求解系數(shù).

解析：因?yàn)?X+4的二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為。"=7#？”=0,1,2,3,4,5,6,7,8),

當(dāng)因式y(tǒng)—x?。緯r(shí)，則二項(xiàng)式(x+y)s取此時(shí)系數(shù)為C；；

當(dāng)因式V—X取t時(shí)，則二項(xiàng)式(x+y)s取刈?，此時(shí)系數(shù)為-C；;

故(y-x)(x+a的展開(kāi)式中V；/的系數(shù)為C；+(T)xC；=28-8=20,

故答案為：20.

15.-

3

過(guò)右焦點(diǎn)「2作名”垂足為“，連接尸B，進(jìn)而得△月大巴是等腰三角形，|乎|=|耳閭=2c,

再根據(jù)雙曲線的定義得|「用=|「耳|-2a=46-2a,再求離心率即可.

解析：解：過(guò)右焦點(diǎn)工作尸2"，月"垂足為H，連接「工，

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)6的直線/與圓O：/+y2=a2相切于點(diǎn)T,

所以。7_LP/"

所以。T//鳥(niǎo)H,

因?yàn)镼6|=|OK|=c,|OT|=a,

所以，|孫|=2|兩|=幼,

因?yàn)閲?guó)P|=4忸刀,

所以國(guó)=

所以，△尸￡鳥(niǎo)是等腰三角形，

所以歸國(guó)=|6閭=2c,

因?yàn)閨P￡|-|P閭=2,

所以|P段=|P制-2a=46-2a,

所以4b-2a=2c,即2b=a+c,

因?yàn)閏?=b1+cr，

所以3c2一2改-5。2=0,

所以，3e2-2e-5=0,解得e=g或e=—1（舍）

所以，C的離心率為g

故答案為：!

16.-3

先數(shù)形結(jié)合得出B到0A距離為1,再建立坐標(biāo)系，利用三角形內(nèi)角和關(guān)系轉(zhuǎn)化為求-忖1-4的最

大值,利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,利用求導(dǎo)找出函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的最值，

進(jìn)一步得到答案.

解析：設(shè)［麗，網(wǎng)=3出=弧

由卜的最小值為1（2為實(shí)數(shù)），

；.B到0A距離為1,

如圖建立坐標(biāo)系，A（3,0）,B（x,l）,

?：(a,b^=a,伍,

ABB,ZBOA=a,NBAO=p,

cos(a+夕)=-cosZ.OBA=-cos(b-b-a

b-(b-a)b-lb-a)....

----/—T?=--p-^=v=一加R4

cos(a+0-cos0.〃-a)

=-J廠+],J(x-3)-+1

=->//一6/+11/-6。+10,

令/(x)=x4-6?+1lx2-6x+10

,r(x)=4x3-18x2+22x-6

=2(2X-3)(X2-3X+1),

令/(x)=0,得x=|.任叵，三叵，

彳<與公時(shí)，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

r(x)>oj(x)單調(diào)遞增;

代仁,土？r(x)<o,〃x)單調(diào)遞減;

"(x)mm=9,

b-(h-a\

.,.-|司跖一升=-3,即-4―4最大值為-3

IIIImaxcos(a+p)

故答案為：-3

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立坐標(biāo)系，在圖形中找到角度的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求-阿1-4的最大值，再轉(zhuǎn)

化為求函數(shù)最值問(wèn)題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求證函數(shù)的單調(diào)性，即可分析函數(shù)的最值.

17.(1)6=T;

⑵4=1.

(1)利用累加法求%,即可；

(2)根據(jù)4〃+1=4+2?(-1)"得到a2=4-2,〃3=4+2,聯(lián)立得到4=-1,然后代入求即可.

解析：(1)由題意得--q=2?(-1)",

所以的〃=(%一生〃-1)+-%-2)+…+(%-4)+4

=2-(-1)2，，-，+2-(-1)2M-24-...+2X(-1)，4-1

=—2+1=—1.

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為

因?yàn)椤?+1=。"+2-(-1)”,所以。2=q-2,%=/+2,兩式相加得“3=4,夕2=4，所以4=±1,

當(dāng)4=1時(shí)，。2=4=%-2不成立，所以“=—1,%=-6=%-2,解得6=1.

18.(l)C=y

⑵(0,1)

(1)先由題給條件求得A=B=3,進(jìn)而求得C=要；

63

(2)先利用正弦定理和題給條件求得4=]-28和0<8<:，再構(gòu)造函數(shù)y=求

得此函數(shù)值域即為嗯瞥警的取值范圍

2bcosB

解析：(1)由A=B,當(dāng)=l+sinA

tanB

可得；°s：=1+sinA,則cos2A=(l+sinA)sinA

整理得2sin2H+sinA-l=0,解之得sinA=；或而A=-1

又0<4<9則0毛,則0=9則C=§

2663

(2)A,3為A4BC的內(nèi)角，則l+sinA>0

則由嗎=l+sinA,可得嗎>0,則48均為銳角

tanBtanB

oA.2A

cos~---sin-1-tan-

八cosA

tanB=-------22__2

1+sinA(sin*+cos")21+tan*

222

7c

ECn兀cA兀兀A八n兀

又0<8<一,0v<—,則8=,0<B<—

2424424

則A=571-23,則sinA=sin—2BJ=cos28

2

osinb+bsinA2/?sinA2bcos2B2cos2B-l__1

則--------------=--------=---------=-----------=2cos8-----

2bcos32bcosB2Z?cosBcos3cos3

令E=cos51°<3<；),則也<?

2

又/⑺=2—在苧1單調(diào)遞增，樽)=0,又D=1

可得0<2-；<1,則2cos的取值范圍為(0,1),

asinB+hsinA

則的取值范圍為(0,1)

2bcos8

19.(1)詳見(jiàn)解析;

，顯2啟

~'-r

(1)取A/中點(diǎn)。，根據(jù)勾股定理及線面垂直的判定定理可得QP，平面A6CD,進(jìn)而即得;

(2)利用坐標(biāo)法，設(shè)而=X方(0<2<1),利用線面角的向量求法及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

解析：(1)取A"中點(diǎn)0,連接DO/。,

因?yàn)镸為線段C￡>上的中點(diǎn)，AB=2A1)=4,

所以A」D=DM=2,所以。O_LAM,

又因?yàn)镻A—DA=2,PM=DM=2,

所以PO_LAA/,

由題意可得AM=2亞，/APM=ZADM=90°,

OP=OD=；AM=近,又因?yàn)?PD4=60°,

所以24=ZM=￡>尸=2,

所以O(shè)p2+OC>2=po2,

所以O(shè)PJ_O￡>,又PO_LAM,O〃nAM=O,OOu平面ABC。，AMu平面ABC。,

所以O(shè)P_L平面ABC。，

又因?yàn)镺Pu平面RW,

所以平面APA7_L平面ABC。；

(2)如圖以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(&,0,0),B(-近,2近⑼,C(-2>/2,>/2,0),P(0,0,&),

所以雨=(&,0,-&),PB=(-72,272,-5/2),

設(shè)平面PA8的法向量日=(x,y,z),

n-PA=y/2x->/2z=0

令x=l,可得分=(1,1,1),

n-PB=-y/2x+2>/2y-^/2z=Q

設(shè)西=4萬(wàn)(()<2<1),則屋=4方=(-042&,-夜X),

所以目-衣1,2衣1,0—04),區(qū)=(20-&/1,2揚(yáng)1_也0_衣1),

設(shè)直線CE與平面上"所成角為，，

所以sine=,s伍國(guó)卜|百浦即-&+2歷-夜+夜-⑹

6.'(2&_低『+(2&

&_______272_______

69-52+3=6巧4卜/

因?yàn)榫艀(0,1),

所以39-+擊瞪113,

12

0_，夜2辰

.fV22722-

所以6,麻T'it,即Hnsin6nw—,^y-

V22反

所以直線CE與平面R4B所成角的正弦值的取值范圍為

11'

20.(1)分布列見(jiàn)解析，期望為日;

唱

(1)X的可能取值為L(zhǎng)2,3,4,5,依次求出對(duì)應(yīng)的概率，然后可得答案;

(2)y的可能取值為2,3,首先求出尸(y=2)、p(y=3),然后利用

***卜)=口一尸"=1)]/(丫=2)+[1—2”=1)—2(乂=2))尸“=3)算出答案即可.

解析：(1)X的可能取值為1,2,3,4,5,

P（X=]）=1,p（x=2）=^-=-,P（X=3）=5x4=-

‘'6''6x56''6x5x46

P（X=4）=^^-=1,P（X=5）=2X5X4X3X2=1,

76x5x4x36'16x5x4x3x23

所以X的分布列為:

X12345

1

p

66663

所以E（X）=1X2+2XL+3X」+4XL+5XLW

666633

(2)y的可能取值為2,3,

叩=2)=普4,小3)=墨+程g

所以P（X"）=［1-P（X=1）］.尸（y=2）+口一尸（X=l）—p（x=2）］.尸。=3）=公+*|=,

21.（l）/=12x

(2)證明見(jiàn)解析

(1)根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線之間距離可得P的值，由此可得拋物線方程;

⑵設(shè)B02吐⑵)，C(12C2,12C),由NCNF=NBNF可知k.+%=0,利用斜率公式進(jìn)行化簡(jiǎn),

可求得兒=-石；將直線BF方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得。點(diǎn)

坐標(biāo)，由此可求得直線AD方程，化簡(jiǎn)其方程為y=-產(chǎn)（X-9,根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求法可得定點(diǎn)

坐標(biāo).

解析：（1）???拋物線E的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為6,即。=6,

拋物線E的方程為：y2=i2x.

（2）由（1）知：尸（3,0）,

設(shè)B（12ZA12b）,C（12?,12c）,其中AHO,exO,h^+c,

TT

?.?NCN尸=N3NF,且直線8MCN的傾斜角均不為萬(wàn)，；%+2。,

12b12c

即---------O-----------1------------7--------=0,.?.144物2+1?+14462。+12c=12（6+c）（l?c+l）=0,

12尸+112c2+1

?/h^±c12^c+l=0,BPhe=一一—

f12

直線BF方程為：y=即4/zx+（l—4從）y—1%=0,

12b-J

4bx+（\-4b））」[2b=0得：by2-3（4b2-l）y-36b=0,

由

y2=12x

3

設(shè)A點(diǎn)縱坐標(biāo)為。，則a?⑵76,即

-366+,3.A33）

將。代入直線所方程得A點(diǎn)橫坐標(biāo)為：124+3=---------^+3=_L，-A斤,R；

12b[2b'4從

33

一一十一

b4bc

同理可得:^AD=~

3b+c9

記一訴

34bc4bc33e+c）

，直線方程為：尸廠，即y=-

h+cb+c、

4bc

從=-京，直線方程沏"一而（x-9）,

則當(dāng)x=9時(shí)，y=0,??.直線AO恒過(guò)定點(diǎn)（9,0）.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的

基本思路如下：

①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；

②利用A>0求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；

③利用韋達(dá)定理表示出己知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線

方程；

④根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.

22.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(I)根據(jù)“40和。>0兩種情況討論.

⑵根據(jù)/。)<0求出而>1，再根據(jù)不單調(diào)求出。>。，。>0,再根據(jù)〃%=2證

bVb

明.

解析：(1)若b=