2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊重要知識25概率（7大題型）筆記（人教版）（解析版）

25概率

題型4:列舉法求概率-不放回型/摸序不放回

題型1:必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件------------------------------------------4選人問題

題型2:概率公式及計算\/題型5:游戲的公平性

概率

轉(zhuǎn)盤題型6:利用頻率估計概率

數(shù)字

題型3:列舉法求概率?放回型或獨(dú)立型

題型7:統(tǒng)計概率綜合

硬幣

選購方案

星■量壁記必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件

(1)必然事件

在一定條件下重復(fù)進(jìn)行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件，叫做必然事件.

(2)不可能事件

在每次試驗中都不會發(fā)生的事件叫做不可能事件.

(3)隨機(jī)事件

在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.

注意「

1.必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“確定事件”，隨機(jī)事件又稱為“不確定事件”；

2.要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最

大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能

性的大小有可能不同.

題型1：必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件

咽1.“對于二次函數(shù)y=(x-1)2+1,當(dāng)xN1時，y隨x的增大而增大”，這一事件為()

A.必然事件B.隨機(jī)事件C.不確定事件D.不可能事件

【答案】A

【解析】【解答】解：由題意知，該二次函數(shù)的圖象在對稱軸直線x=l的右側(cè)，y隨x的增大而增

大；

為必然事件

故答案為：A.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)a>0時，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，由題意可知，

a=l,對稱軸直線%=1,故“當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大”為必然事件.

【變式1-1】下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心

B.從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球

C.班里的兩名同學(xué)，他們的生日是同一天

D.經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈

【答案】B

【解析】【解答】解：A、射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心，是隨機(jī)事件；故A不符合題意；

B、從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球，是不可能事件，故B符合題意；

C、班里的兩名同學(xué)，他們的生日是同一天，是隨機(jī)事件；故C不符合題意；

D、經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；

故答案為：B.

【分析】隨機(jī)事件是在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；必然事件是在一定條件下，一

定發(fā)生的事件；不可能事件是在一定條件下，一定不發(fā)生的事件：據(jù)此判斷即可.

【變式1-2】事件①：任意畫一個多邊形，其外角和為360。；事件②：經(jīng)過一個有交通信號燈的十

字路口，遇到紅燈；則下列說法正確的是（）

A.事件①和②都是隨機(jī)事件

B.事件①是隨機(jī)事件，事件②是必然事件

C.事件①和②都是必然事件

D.事件①是必然事件，事件②是隨機(jī)事件

【答案】D

【解析】【解答】解：事件①：任意畫一個多邊形，其外角和為360。，這是必然事件；

事件②：經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口，可能遇見紅燈、綠燈或黃燈，所以遇到紅燈，這是

隨機(jī)事件；

故答案為：D.

【分析】在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不會發(fā)生的事件就是隨機(jī)事件；在一定條件下，一定不會

發(fā)生的事件就是不可能事件；在一定條件下，一定會發(fā)生的事件就是必然事件；從而根據(jù)多邊形外

角和均為360?？膳袛啖?；經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口，可能遇到紅燈、黃燈、綠燈，據(jù)此判

斷②.

概率的意義注意：

(1)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的

概率是從數(shù)量上刻畫了一個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性

近似值；

的大小.一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的

(2)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的

頻率‘會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)「就叫

n大?。?/p>

做事件A的概率，記為P(A);p.

(3)事件A的概率是一個大于等于0,且

小于等于1的數(shù)，，即00?(1)S1，其

中P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0,

0〈P(隨機(jī)事件)<1.

題型2:概率公式及計算

題2.不透明袋中裝有3個紅球和5個綠球，這些球除顏色外無其他差別.從袋中隨機(jī)摸出1個球是

紅球的概率為()

A.|B.|C.|D.J

【答案】A

【解析】【解答】解：袋中裝有3個紅球和5個綠球共8個球，

從袋中隨機(jī)摸出1個球是紅球的概率為1.

故答案為：A.

【分析】利用紅球的個數(shù)除以球的總數(shù)即可得到摸出1個球是紅球的概率.

【變式2-1】從-2,0,2,3中隨機(jī)選一個數(shù)，是不等式2x—321的解的概率為()

A-1B-\C-1|

【答案】C

【解析】【解答】解：解2X-3N1得：x>2,

所以滿足不等式的數(shù)有2和3兩個，

所以從-2,0,2,3中隨機(jī)選一個數(shù)，是2x—321的解的概率為：1=

故答案為：C.

【分析】先求出滿足不等式的數(shù)有2和3兩個，再求概率即可。

【變式2-2］在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)Si、S2、S3中的兩個，能讓燈泡Li發(fā)光的概率是

)

A，IB，IC，ID，I

【答案】B

【解析】【解答】解：隨機(jī)閉合開關(guān))、S2、S3中的兩個，即：S1+S2，S1+S3,

s2+s3

共3種情況

根據(jù)題意，得能讓燈泡L發(fā)光的組合為：S1+S2

...能讓燈泡Li發(fā)光的概率是1.

故答案為：B.

【分析】列舉出所有可能出現(xiàn)的情況數(shù)，然后找出能讓燈泡Li發(fā)光的組合數(shù)，接下來利用概率公

式進(jìn)行計算.

用列舉法求概率

列表法：當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能

的結(jié)果，通常采用列表法；列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某

一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

樹狀圖：當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用

樹形圖；樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生

的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

注意：

(1)列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；

(2)列表法適用于涉及兩步試驗的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

(3)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；

(4)在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.

題型3:列舉法求概率■■放回型或獨(dú)立型

國3(轉(zhuǎn)盤).如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個轉(zhuǎn)盤A.B,這兩個轉(zhuǎn)盤除了表面顏色不同外，

其它構(gòu)造完全相同.游戲者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，如果一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色，那么

紅色和藍(lán)色在一起能配成紫色.請你用列表法或樹狀圖法，求游戲者不能配成紫色的概率.

【答案】解：：A轉(zhuǎn)盤紅色區(qū)域是藍(lán)色區(qū)域的2倍，B轉(zhuǎn)盤藍(lán)色區(qū)域是紅色區(qū)域的2倍，

畫樹狀圖如下圖：

開始

I-

裝紅紅

/1\/l\/N

燈西正燈,西燈H訪

mXXXI9,JLXSX*L￡CXXEQ

共有9個等可能的結(jié)果，游戲者不能配成紫色的結(jié)果有4個，

游戲者不能配成紫色的概率P=g.

【解析】【分析】觀察轉(zhuǎn)盤可知，A轉(zhuǎn)盤紅色區(qū)域是藍(lán)色區(qū)域的2倍，B轉(zhuǎn)盤藍(lán)色區(qū)域是紅色區(qū)域的2

倍，由題意畫出樹狀圖，由樹狀圖的信息可得，共有9個等可能的結(jié)果，游戲者不能配成紫色的結(jié)果

有4個，然后根據(jù)概率公式計算即可求解.

【變式3-1］如圖，有一轉(zhuǎn)盤中有A、B兩個區(qū)域，A區(qū)域所對的圓心角為120。，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動

兩次.利用樹狀圖或列表求出兩次指針都落在A區(qū)域的概率。

開始

【答案】解：將B區(qū)域平分成兩部分，畫樹狀圖得：ABB?.?共有9種等

/N/f\

ABBABRABB

可能的結(jié)果，兩次指針都落在A區(qū)域的只有I種情況，.?.兩次指針都落在A區(qū)域的概率為：1.

【解析】【分析】觀察圖形A的圓心角是120。，而B的圓心角是240。，因此將B區(qū)域分成兩部分，

先列出樹狀圖，再求出所有等可能的結(jié)果數(shù)及兩次指針都落在A區(qū)域的可能數(shù)，再根據(jù)概率公式求

解即可。

咽4（數(shù)字）.一個紙箱內(nèi)裝有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字-4,6,4的卡片，卡片除正面數(shù)字外其他均

相同.將三張卡片攪勻后，從中隨機(jī)摸出一張卡片記下數(shù)字，放回后攪勻，再從中隨機(jī)摸出一張卡

片并記下數(shù)字.請用列表法或畫樹狀圖法求兩次取得數(shù)字的絕對值相等的概率.

【答案】解：列樹狀圖如下所示：

由樹狀圖可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，

V|-4|=4,|4|=4,|6|=6.

二當(dāng)兩次摸到相同的數(shù)字，或者摸到一個4,一個-4,那么兩次摸到的數(shù)的絕對值就相等，

???由樹狀圖可知兩次取得數(shù)字的絕對值相等的結(jié)果數(shù)有5種，

?,?P冏次取用效字的絕對他用等=X-

【解析】【分析】先利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

【變式4-1】有四張大小、質(zhì)地都相同的不透明卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4（背面完全相

同），現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下，洗勻后從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后再從中任

意抽取一張，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次抽取的卡片上的數(shù)字和等于5的概率.

【答案】解：根據(jù)題意畫圖如卜：

共有16種的可能的情況數(shù)，其中兩次數(shù)字和為5的有4種,

則兩次數(shù)字和為5的概率實(shí)數(shù)叁=1

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【解析】【分析】先利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

【變式4-2】桌面上放有不透明的四張卡片，每張卡片正面都寫有一個數(shù)字，分別是1,2,3,4,

它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗均勻.隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字后放回，洗勻

后再隨機(jī)抽取一張卡片，請用列表或畫樹狀圖的方法求出兩次數(shù)字和為4的概率.

【答案】解：根據(jù)題意畫圖圖下：

第二次1234123412341234

和2345345645675678

共有16種等可能的情況數(shù)，其中兩次數(shù)字之和為4的有3種，

則兩次數(shù)字之和為4的概率是：金.

【解析】【分析】畫出樹狀圖，找出總情況數(shù)以及兩次數(shù)字之和為4的情況數(shù)，然后利用概率公式

進(jìn)行計算.

咽5（摸球）.不透明的口袋里裝有2個紅球和2個黃球（除顏色不同外，其它都相同）.現(xiàn)進(jìn)行兩

次摸球活動，第一次隨機(jī)摸出一個小球后不放回，第二次再隨機(jī)摸出一個小球，請用樹狀圖或列表

法，求兩次摸出的都是紅球的概率.

【答案】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

欠

第-1

/\

2、

欠

黃

第-1

_紅：黃：黃2紅I紅2黃2紅I紅2黃:

共有12種結(jié)果，并且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，正確的結(jié)果有2種，

所以P（兩次摸出的都是紅球）=條=/

【解析】【分析】根據(jù)題意畫樹狀圖，得出所有等可能結(jié)果，得出每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，正確

的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算即可。

【變式5-1】口袋裝有3只形狀大小一樣的球，其中2個球是紅色，1個球是白色，規(guī)定游戲者一次

從口袋中摸出一個球，然后放回第二次再摸一個球，然后再放回.甲兩次摸到紅球獲勝，乙摸到一紅

一白或二白獲勝，你認(rèn)為游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由

【答案】解：這個游戲?qū)﹄p方是不公平的.

/N/T\

纖纖白纖纖白纖纖白

?.?一共有9種情況，兩次摸到紅球的有4種，摸到一紅一白或二白的有5種，

.-.P（兩個紅球）=*P（一紅一白）=|.概率不相同，那么游戲不公平.

【解析】【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，表示出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，再分別找出兩次摸到紅球

的結(jié)果數(shù)和摸到一紅一白或二白的結(jié)果數(shù)，最后分別計算求概率，再比較大小即可作答.

【變式5-2】在一個不透明的紙箱里裝有2個紅球、1個白球，它們除顏色外完全相同.小明和小亮

做摸球游戲，游戲規(guī)則是：兩人各摸1次球，先由小明從紙箱里隨機(jī)摸出1個球，記錄顏色后放

回，將小球搖勻，再由小亮隨機(jī)摸出1個球.若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏，否則小亮

贏.這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請你用樹狀圖或列表法說明理由.

【答案】解：如表所示：

五2次紅紅白

,1次

0.（ti.tr）（CL.tr）（tl.B）

紅（紅,紅）（紅.白）

自（白,紅）（白.紅）（白.白）

由上述表格可得：

P（小明贏）=|，P（小亮贏）=

...此游戲?qū)﹄p方不公平，小明贏的可能性大.

【解析】【分析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機(jī)會是否相等，即判斷雙方取勝的概率

是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等.

咽6（硬幣）.連續(xù)兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都是正面朝上的概率是（）

A，IB，IC,\D，J

【答案】B

【解析】【解答】解：畫樹狀圖如圖所示：

正反

共有4種情況，兩次都正面朝上的情況只有一種，所以兩次都是正面朝上的概率是京

故答案選：B.

【分析】先利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

【變式6-1】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)擲三次，出現(xiàn)“一次正面，兩次反面”的概率為（）

正反正反正反正反

共8種情況，出現(xiàn)“一次正面，兩次反面”的情況有3種，所以概率=看，故答案選擇B.

【分析】利用樹狀圖分析，即可得出答案.

謝（選購方案）.某公司有甲、乙兩種品牌的打印機(jī)，其中甲品牌有A、B兩種型號，乙品牌有

C、D、E三種型號.某中學(xué)計劃從甲、乙兩種品牌中各選購一種型號的打印機(jī).

（1）利用樹狀圖或列表法寫出所有的選購方案；

（2）如果各種型號的打印機(jī)被選購的可能性相同，那么C型號打印機(jī)被選購的概率是多少？

【答案】解：（1）所列樹狀圖或列表為：

AB

CADEcADE

CDE

AA、CA、DA、E

選購方案：（A、C）、（A、D）、（A,E）、（B、C）、（B、D）、（B、E）.

（2）由⑴知，C型號打印機(jī)被選購的概率是

OD

【解析】【分析】（1）用樹狀圖或列表法分2步列舉出所有情況即可;

（2）C型號打印機(jī)被選中的情況數(shù)除以總情況數(shù)即可.

【變式7-1】甲、乙、丙、丁4人聚會，每人帶了一件禮物，4件禮物外盒包裝完全相同，將4件禮

物放在一起.甲先從中隨機(jī)抽取一件，不放回，乙再從中隨機(jī)抽取一件，求甲、乙兩人抽到的都不

是自己帶來的禮物的概率.

【答案】解：設(shè)甲、乙、丙、丁4人的禮物分別記為a、b、c、d,

根據(jù)題意畫出樹狀圖如圖：

開始

甲abcd

乙bAdcaAdcaAdbaAbc

一共有12種等可能的結(jié)果，甲、乙2人抽到的都不是自己帶來的禮物的結(jié)果有7個，

...甲、乙兩人抽到的都不是自己帶來的禮物的概率為否.

【解析】【分析】利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

題型4:列舉法求概率-不放回型

血（摸球不放回）.一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球.1個紅球，它們除顏色外均相

同.從箱子中隨機(jī)摸出一個球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球.請你用列表

或畫樹狀圖的方法，求兩次摸出的球都是白球的概率.

【答案】解：樹狀圖如下所示：

開始

第一次白紅白

第二次白紅白紅白紅

由樹狀圖可知，一共有6種等可能性的結(jié)果，其中兩次摸到白球的結(jié)果數(shù)有2種

AP而―1=1

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【解析】【分析】利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

【變式8-1】在一個不透明的盒子中，共有三顆白色和一顆黑色圍棋棋子，它們除了顏色之外沒有

其他區(qū)別.隨機(jī)地從盒子中取出一顆棋子后，不放回再取出第二顆棋子，請用畫樹狀圖或列表的方法

表示所有結(jié)果，并求出恰好取出“一白一黑''兩顆棋子的概率.

【答案】解：樹狀圖如下，

白1白21*1)思

Zl\Zl\Zl\Zl\

門2m黑fllfl3半Bl白2黑Al日2(U

由樹狀圖可知，共有12種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，其中“一白-黑''有6種，所

以恰好取出“一白一黑''兩顆棋子的概率為P=1.

【解析】【分析】根據(jù)樹狀圖列舉所有等可能的結(jié)果與“一白一黑'’的情況，再利用概率公式即可求

解.

血(選人問題).某市準(zhǔn)備舉行初中生“黨史知識競賽”，學(xué)校通過初賽選出了2位男生A、B和2

位女生C、D共4位選手，準(zhǔn)備從4人中任選2人代表學(xué)校參加比賽.求所選代表都是女生的概

率.

【答案】解：畫樹狀圖如下：

開始

ABCD

Zl\/N/1\/N

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中所選2人都是女生的有2種，艮D(zhuǎn)C,

■-P（所選代表都是女生）=^=|.

【解析】【分析】先畫樹狀圖求出共有12種等可能的結(jié)果，其中所選2人都是女生的有2種，再求

概率即可。

【變式9-1】某中學(xué)現(xiàn)要從甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生中,選派兩位同學(xué)代表學(xué)校參加全市

漢字聽寫大賽.

（1）請用樹狀圖或列表法列舉出各種可能選派的結(jié)果；

（2）求恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率.

【答案】（1）解：畫樹狀圖得：

開始

甲乙丙丁

/N/N/K

之百亍甲丙丁甲乙丁甲乙丙

（2）解：?.?恰好選派一-男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，

二恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率為：金=|.

【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹淋:圖求得所有等可能的結(jié)果；

（2）由（1）可求得恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，然后利用概率公式求解即可求

得答案.

利用頻率估計概率注意：用試驗去估計隨機(jī)事件發(fā)生

的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗次

當(dāng)試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相

數(shù)，當(dāng)試驗次數(shù)很大時，結(jié)果將較為

等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.

精確.

題型5:游戲的公平性

題10.現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完:告相同的小球.其中，A袋裝有2個

白球，1個紅球；B袋裝有2個紅球，1個白球.小華和小林第j定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的

A,B兩袋中隨機(jī)摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色木目同，則小華獲勝；若顏色不同，則

小林獲勝.請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平，如果不公平，誰獲

勝的機(jī)會大.

【答案】解：列表如下：

紅1紅2白

白1（紅1,白1）（紅2,白1）（白，白1）

白2（紅1,白2）（紅2,白2）（白，白2）

紅（紅1,紅）（紅2,紅）（白，紅）

由上表或可知，一共有9種等可能的結(jié)果，其中顏色相同的結(jié)果有4種，顏色不同的結(jié)果有5種.

.?.P（顏色相同）號P（顏色不同）得

..4<5

...這個游戲規(guī)則對雙方不公平，小林獲勝的機(jī)會大.

【解析】【分析】先利用列表法求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式分別求出顏色相同和顏

色不同的概率，再比較即可。

【變式10-1】為落實(shí)“十個一”活動，學(xué)校組建了多個志愿者服務(wù)隊，小蓋和小呂通過做游戲決定誰

優(yōu)先選擇服務(wù)隊，游戲規(guī)則：兩人各擲一次質(zhì)地均勻的骰子，如果擲出的點(diǎn)數(shù)之和是小于7的偶

數(shù)，由小蓋優(yōu)先選擇服務(wù)隊；如果擲出的點(diǎn)數(shù)之和是大于6的奇數(shù)，由小呂優(yōu)先選擇服務(wù)隊，請利

用畫樹狀圖或列表的方法，判斷這個游戲?qū)﹄p方是否公平.

【答案】解:列表如下:

123456

1234567

2345678

3456789

4567891（）

567891011

6789101112

：共有36種等可能結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和是小于7的偶數(shù)的有9種，點(diǎn)數(shù)之和是大于6的奇數(shù)的有

12種，

小蓋優(yōu)先選擇服務(wù)隊的概率為2

3。4

小呂優(yōu)先選擇服務(wù)隊的概率為II馬，

DOD

..1,1

?捐，

...這個游戲?qū)﹄p方不公平.

【解析】【分析】利用列表法求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

【變式10-2】甲、乙兩人進(jìn)行摸牌游戲，現(xiàn)有三張形狀大小完全相同的牌，正面分別標(biāo)有數(shù)字2,

3,5,將這些牌背面朝上，洗勻后放在桌子上.甲從中隨機(jī)抽取一張牌，記錄數(shù)字后放回洗勻，乙

再隨機(jī)抽取一張，若兩人抽取的數(shù)字和為2的倍數(shù)，則甲獲勝；其余情況乙獲勝.這個游戲公平

嗎？請利用樹狀圖或列表法來解釋說明.

【答案】解：這個游戲不公平，理由如下：

根據(jù)題意列樹狀圖如下：

所有等可能的結(jié)果有：4,5,7,5,6,8,7,8,10共9種，

."1=|,「2=g'

即數(shù)字是2的倍數(shù)的概率為1,數(shù)字不是2的倍數(shù)的概率為1,

..5、4

.g>q'

二甲獲勝的概率大，這個游戲不公平.

【解析】【分析】先畫樹狀圖求出所有等可能的結(jié)果有：4,5,7,5,6,8,7,8,10共9種，再

求出Pi奇，最后求解即可。

題型6:利用頻率估計概率

雷hl.在不透明的袋子中裝有黑、白兩種球共50個，這些球除顏色外都相同，隨機(jī)從袋中摸出一

個球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，再從中摸出一個球，經(jīng)過如此大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸出

的黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則袋子中黑球的個數(shù)約為0

A.20個B.30個C.40個D.50個

【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)袋子中有n個黑球，

根據(jù)題意得擊=0.4,

解得：n=20,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)摸出的黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近可得黑球的概率約為0.4,根據(jù)概率公式列方程求解

即可.

【變式11-1】下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果：

投籃次

50100150200250400500800

數(shù)

投中次

286387122148242301480

數(shù)

投中頻

0.5600.6300.5800.6100.5920.6050.6020.600

率

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名球員投籃一次投中的概率約是（）

A.0.560B.0.580C.0.600D.0.620

【答案】C

【解析】【解答】解：:?由頻率分布表可知，隨著投籃次數(shù)越來越大時，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)

0.600附近，

???這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為0.600.

故答案為：C.

【變式11-2］小紅利用計算機(jī)模擬“投針試驗”：在一個平面上畫一組間距為d=0.73cm的平行線，

將一根長度為/=0.59cm的針任意投擲在這個平面上，針可能與某一直線相交，也可能與任一直線

都不相交.下圖顯示了小紅某次實(shí)驗的結(jié)果，那么可以估計出針與直線相交的概率是________

（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.

【解析】【解答】解：由實(shí)驗可得：針與直線相交的頻率穩(wěn)定在0.514附近，

而0.514a0.51,

所以估計出針與直線相交的概率是0.51

故答案為：0.51

【分析】利用頻率估算概率即可得到答案。

題型7:統(tǒng)計概率綜合

國12.為提升學(xué)生的藝術(shù)素養(yǎng)，學(xué)校計劃開設(shè)四門藝術(shù)選性課：A.書法：B.繪畫：C.樂器：D.舞蹈.

為了解學(xué)生對四門功課的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（每個被調(diào)查

的學(xué)生必須選擇而且只能選擇其中一門）.將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請

結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：

（2）請把條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（3）學(xué)校為舉辦2021年度校園文化藝術(shù)節(jié)，決定從A.書法；B.繪畫；C.樂器；D.舞蹈四項藝

術(shù)形式中選擇其中兩項組成一個新的節(jié)目形式，請用列表法或樹狀圖求出選中書法與樂器組合在一

起的概率.

【答案】（1）40；108

（2）解：C科目人數(shù)為：40Xfl-10%-20%-40%；=12（人），

補(bǔ)全圖形如下：

學(xué)生選修課程條形統(tǒng)計圖

16

12

8

4

0

（解：畫樹狀圖為:

ABCD

/K

//N

BDACDABDAB

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好是“書法”與“樂器”組合在一起的結(jié)果數(shù)為2,

所以書法與樂器組合在一起的概率為4二1

【解析】【解答】（1）解：本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為：4^10%=40（人），

Z.CT=360°x（1-10%-20%-40%；=108°

故答案為:40,108

【分析】（1）觀察兩統(tǒng)計圖可知，本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)=人科目的人數(shù)+A科目的人數(shù)所占的百

分比，列式計算可求出本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；扇形統(tǒng)計圖中Na=36（TxC的人數(shù)所占的百分比，

列式計算可求出/a的度數(shù).

（2）利用本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)xC科目的人數(shù)所占的百分比，列式計算可求出C科目的人數(shù)；再

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

（3）由題意可知此事件是抽取不放回，列出樹狀圖，利用樹狀圖可得到所有的可能的結(jié)果數(shù)及選

中書法與樂器組合在一起的情況數(shù)，然后利用概率公式可求出選中書法與樂器組合在一起的概率.

【變式12-1】某中學(xué)舉行了“美育節(jié)”演講比賽活動，根據(jù)學(xué)生的成績劃分為A,B,C,D四個等

級，并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計圖.

根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題:

(1)參加演講比賽的學(xué)生共有▲人,并把條形圖補(bǔ)充完整;

(2)扇形統(tǒng)計圖中，m=；n=；C等級對應(yīng)扇形的圓心角為

(3)學(xué)校欲從獲A等級的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，參加市舉辦的演講比賽，請利用列表法或樹形

圖法，求獲A等級的小明參加市比賽的概率.

【答案】(1)解：40；作圖如下：

(3)解：設(shè)A等級的小明用a表示，其他的三個學(xué)生用b,c,d表示.

畫樹狀圖為:

開始

由圖知，一共有12種等可能的結(jié)果，其中獲A等級的小明參加市比賽的有6種結(jié)果,

,,P（小明參加比賽）=2"

【解析】【解答】（1）解：12+30%=40（人），

B等級的人數(shù)是：40-4-16-12=8（人），

故答案為：40；

⑵解：4X0=10%,16+40=40%,

.'.m=10,n=40；

C等級對應(yīng)扇形的圓心角為=360。x40%=144°.

【分析1（1）利用兩統(tǒng)計圖可知參加演講比賽的學(xué)生的人數(shù)=D等級的人數(shù)+D等級的人數(shù)所占的

百分比，列式計算；再求出B等級的人數(shù)；然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

（2）利用A的人數(shù)+參加比賽的學(xué)生人數(shù)，可求出m的值；利用C等級的人數(shù)+參加比賽的學(xué)生人

數(shù)，可求出n的值；C等級對應(yīng)扇形的圓心角=36（）。*（2等級的人數(shù)所占的百分比，列式計算.

（3）由題意可知此事件是抽取不放回，列出樹狀圖，可得到所有等可能的結(jié)果數(shù)及獲A等級的小

明參加市比賽的情況數(shù)，然后利用概率公式進(jìn)行計算.

【變式12-2】為了引導(dǎo)青少年學(xué)黨史，某中學(xué)舉行了“獻(xiàn)禮建黨百年”黨史知識競賽活動，將成績劃

分為四個等級：A（優(yōu)秀）、B（優(yōu)良）、C（合格）、D（不合格）.小李隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的競

賽成績，繪制成了如下統(tǒng)計圖（部分信息未給出）：

（1）小李共抽取了名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，扇形統(tǒng)計圖中“優(yōu)秀”等級對應(yīng)

的扇形圓心角度數(shù)為,請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（2）該校共有2000名學(xué)生，請你估計該校競賽成績“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)；

（3）已知調(diào)查對象中只有兩位女生競賽成績不合格，小李準(zhǔn)備隨機(jī)回訪兩位競賽成績不合格的

同學(xué)，請用樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率.

【答案】（1）100；

126°；

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下所示:

（2）解：2000x^=700（名），

二該校競賽成績“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為700名：

（3）解：：抽取不及格的人數(shù)有5名，其中有2名女生，

...有3名男生，

設(shè)3名男生分別為尻，b2,b3,2名女生分別為處,g2,列表格如下所示:

瓦匕2力39192

bi（修瓦）（63，瓦）（明，瓦）（。2，瓦）

f

b?（br62）（必，力2）（.91%）（。2，。2）

（瓦，久）（厲，63）（%，%）（92，/）

91（%，外）（62，91）（391）（。2,51）

。2（瓦，92）32，?。?，。2）（況，92）

???總的結(jié)果有20種，一男一女的有12種，

二回訪到一男一女的概率為=|.

【解析】【解答］解：（1）C等級的人數(shù)和所占比可得抽取的總?cè)藬?shù)為：25+25紿=100

（名），

???“優(yōu)秀”等級對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為：蓋x360。=126。，

B等級的人數(shù)為：100x35%=35（名），

D等級的人數(shù)為：100-35-35-25=5（名），

二補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下所示：

人?

一-

二

:n二

三

二

tl丁

ABCD等級

【分析】（i）利用c等級的人數(shù)除以所占的比例可得總?cè)藬?shù)，利用優(yōu)秀的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，然后乘

以360?？傻谩皟?yōu)秀”等級對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)，利用B等級的人數(shù)所占的比例乘以總?cè)藬?shù)可得對

應(yīng)的人數(shù)，進(jìn)而求出D等級的人數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（2）利用優(yōu)秀的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，然后乘以2000即可；

（3）設(shè)3名男生分別為b|、b2、b3,2名女生分別為g|、g2,列出表格，找出總情況數(shù)以及一男一

女的情況數(shù)，然后利用概率公式進(jìn)行計算.

口統(tǒng)司與提升

一、單選題

1.“明年的11月8日是晴天”這個事件是（）

A.確定事件B.不可能事件C.必然事件D.不確定事件

【答案】D

【解析】【解答】“明年的11月8日是晴天”這個事件是隨機(jī)事件，是不確定事件.

故答案為：D

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可.

2.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成4個大小相同的扇形，顏色分為灰、白二種顏色.指

針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€扇形

的交線時，當(dāng)作指向右邊的扇形），則指針指向白色區(qū)域的概率是（）

B-IC-ID.1

【答案】B

【解析】【解答】解：?.?每個扇形大小相同

...灰色部分面積和空白部分的面積相等

...落在空白部分的概率為：1=1

故答案為：B.

【分析】利用幾何的概率公式求解即可。

3.一只小狗在如圖的方豉上走來走去，最終停在白色方磚上的概率是（）

A.1B.|C.|D.|

【答案】D

【解析】【解答】解：：地面被等分成15份，其中白色部分占10份，

.?.根據(jù)幾何概率的意義，落在白色區(qū)域的概率嗡=|.

故選：D.

【分析】首先確定在圖中白色區(qū)域的面積在整個面積中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出停在白色方

磚上的概率.

4.下列說法正確的是（）

A.要了解一批燈泡的使用壽命，應(yīng)采用普查的方式

B.若一個游戲的中獎率是1%,則做100次這樣的游戲一定會中獎

C.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的樣本容量與平均數(shù)分別相同，若方差S/=o.l,S/=o.2,則甲組數(shù)據(jù)比乙

組數(shù)據(jù)穩(wěn)定

D.“擲一枚硬幣，正面朝上”是必然事件

【答案】C

【解析】，分析J由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到

的調(diào)查結(jié)果比較近似.

【解答】A、要了解一批燈泡的使用壽命，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式，故本選項錯誤；

B、若一個游戲的中獎率是1%,則做10（）次這樣的游戲不一定會中獎，故本選項錯誤；

C、若方差S,2=0」，S”=0.2,則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，說法正確，故本選項正確；

D、“擲一枚硬幣，正面朝上”是隨機(jī)事件，故本選項錯誤；

故選C.

，點(diǎn)評J本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特

征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價值不大時，應(yīng)選擇

抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.

5.下列事件

⑴打開電視機(jī)，正在播放新聞；

⑵父親的年齡比他兒子年齡大；

⑶下個星期天會下雨；

⑷向上用力拋石頭，石頭落地；

⑸一個實(shí)數(shù)的平方是負(fù)數(shù).

屬于確定事件的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】【解答】解：（1）打開電視機(jī)，正在播放新聞是隨機(jī)事件；（2）父親的年齡比他兒子年齡

大是必然事件；（3）下個星期天會下雨是隨機(jī)事件；（4）向上用力拋石頭，石頭落地是必然事件；

（5）一個實(shí)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)是不可能事件，

故選：C.

【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念可區(qū)別各類事件.

6.小明制作了十張卡片，上面分別標(biāo)有1?10這十個數(shù)字.從這十張卡片中隨機(jī)抽取一張恰好能被4

整除的概率是（）

A?得B.|C-|D.得

【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部等可能情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)

目；二者的比值就是其發(fā)生的概率。因此，

?.［（）張卡片的數(shù)中能被4整除的數(shù)有：4、8,共2個，

???從中任意摸一張，那么恰好能被4整除的概率是磊=

故選C.

二、填空題

7.某班級中有男生和女生各若干，若隨機(jī)抽取一人，抽到男生的概率是?則抽到女生的概率

是.

【答案】|

【解析】【解答】

?.?抽到男生的概率是。

...抽到女生的概率是

【分析】由于抽到男生的概率與抽到女生的概率之和為1，據(jù)此即可求出抽到女生的概率.

8.一個事件經(jīng)過多次試驗，某種結(jié)果發(fā)生的頻率為0.31,那么估計該種結(jié)果發(fā)生的概率

是?

【答案】0.31

【解析】【解答】解：一個事件經(jīng)過多次的試驗，某種結(jié)果發(fā)生的頻率為0.31,

那么在這一次試驗中，該種結(jié)果發(fā)生的概率估計值是0.31.

故答案為：0.31.

【分析】根據(jù)某種結(jié)果發(fā)生的頻率為0.31求概率即可。

9.現(xiàn)有6個質(zhì)地，大小完全相同的小球上分別標(biāo)有數(shù)字-1,0.5,1,11,1,2.先將標(biāo)有數(shù)字

-1，0.5,1|的小球放在第一個不透明的盒子里，再將其余小球放在第二個不透明的盒子里，現(xiàn)分

別從這兩個盒子里各隨機(jī)取出一個小球，則取出的兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率

為.

【答案】I

【解析】【解答】解：由題意可得，所有的可能性為：

(-1,1,(-1,1)、(-1,2)、

(0.5,|)、(0.5,1)、(0.5,2)、

(1i'I)'(1；，D、(1:,2)1

故取出的兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率為：i,

故答案為：I.

【分析】根據(jù)題意可以寫出所有的可能性，從而可以得到取出的兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率.

10.在四個完全相同的小球上分別寫上1,2,3,4四個數(shù)字，然后裝入一個不透明的口袋內(nèi)攪勻，

從口袋內(nèi)取出一個球記下數(shù)字后作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x,放回袋中攪勻，然后再從袋中取出一個球記下

數(shù)字后作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y，貝iJ點(diǎn)P(x,y)落在直線y=-x+5上的概率是.

【答案】|

4

【解析】【解答】解：列表得：

1234

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

?共有16種等可能的結(jié)果，數(shù)字x、y滿足y=-x+5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,

1),

二數(shù)字x、y滿足y=-x+5的概率為：!.

故答案為：!.

【分析】首先根據(jù)題意畫出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與數(shù)字x、y滿足y=-x+5的情

況，再利用概率公式求解即可求得答案.

11.從實(shí)數(shù)l，n,sin60Q中，任取