復(fù)變函數(shù)與積分變換第一章簡版z

復(fù)變函數(shù)與積分變換主講：姜海波

上課手機(jī)關(guān)了嗎？

霍格說：如果一個(gè)學(xué)生要成為完全合格的、多方面武裝的科學(xué)家，他在其發(fā)展初期就必定來到一座大門，并且必須通過這座大門，在這座大門上用每種人類語言刻著同一句話：“這里使用數(shù)學(xué)語言。”數(shù)學(xué)之美—分形思考題：上述三幅圖片的相同點(diǎn)在哪里？Mandelbrot集合Mandelbrot集合局部放大

Julia集是由法國數(shù)學(xué)家GastonJulia和PierreFaton

在發(fā)展了復(fù)變函數(shù)迭代的基礎(chǔ)理論后獲得的。Julia集也是一個(gè)典型的分形，只是在表達(dá)上相當(dāng)復(fù)雜，難以用古典的數(shù)學(xué)方法描述。Julia集由一個(gè)復(fù)變函數(shù)

盡管這個(gè)復(fù)變函數(shù)看起來很簡單，然而它卻能夠生成很復(fù)雜的分形圖形。

下圖為Julia集生成的圖形，由于c可以是任意值，所以當(dāng)c取不同的值時(shí)，生成的Julia集的圖形也不相同。Julia集

西蘭花：西蘭花一小簇是整個(gè)花簇的一個(gè)分支，而在不同尺度下它們具有自相似的外形。換句話說，較小的分支通過放大適當(dāng)?shù)谋壤罂梢缘玫揭粋€(gè)與整體幾乎完全一致的花簇。因此我們可以說西蘭花簇是一個(gè)分形的實(shí)例。

彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò)的血管。身邊的分形“誰不知道熵概念就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人，將來誰不知道分形概念，也不能稱為有知識(shí)?！?/p>

——物理學(xué)家惠勒

常微分學(xué)常沒分，數(shù)理方程沒天理；實(shí)變函數(shù)學(xué)十遍，泛函分析心犯寒；微分拓?fù)涠悴幻?，隨機(jī)過程隨機(jī)過；微機(jī)原理鬧危機(jī)，匯編語言不會(huì)編；量子力學(xué)量力學(xué)，機(jī)械制圖機(jī)械制。想過嗎？那就讓我在你的課外時(shí)間占有一席之地吧！學(xué)時(shí)少：30學(xué)時(shí)內(nèi)容多：七章

聽過，你會(huì)忘記；讀過與寫過，也許你會(huì)記住，但只有做過，你才會(huì)真正理解。成功方程：成功=熱情*努力2謹(jǐn)記：—來自于愛因斯坦質(zhì)能方程式教學(xué)及考核方式主要參考書（略）考試方式：閉卷考試成績：平時(shí)占30%，考試占70%作業(yè)：每章交作業(yè)一次課堂教學(xué)：

30學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容本課程由復(fù)變函數(shù)與積分變換兩個(gè)部分組成。復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是工科各專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)理論課，是工程數(shù)學(xué)的主要課程之一。復(fù)變函數(shù)與積分變換在科學(xué)研究、工程技術(shù)等各行各業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用。復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示、留數(shù)及其應(yīng)用、共形映射。其中，課堂講授的內(nèi)容必須掌握，其余根據(jù)需要自學(xué)。積分變換的內(nèi)容包括：傅里葉變換和拉普拉斯變換。

預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)的目的是：

1、

使聽課時(shí)心中有底，不至于被動(dòng)地只是跟著教師的“腳后跟”走；

2、

知道那些地方是重點(diǎn)和自己的難點(diǎn)、疑點(diǎn)，從而在聽課時(shí)就能特別注意，有重點(diǎn)，不至于漏掉關(guān)鍵地方。形象一點(diǎn)說，就像去旅游前，先買一張?jiān)撎幍穆糜螆D及其說明來看一看，意義是不言而喻的。學(xué)習(xí)方法聽課：

帶著充沛的精力和獲取新知識(shí)的濃厚的興趣，帶著預(yù)習(xí)中的疑點(diǎn)、難點(diǎn)，專心致志聆聽教師是如何提出問題的，是如何分析問題的，是如何解決問題的，要緊跟教師的思路，并積極思考。

復(fù)習(xí)：學(xué)而不習(xí)，知識(shí)不易消化和掌握；習(xí)而不學(xué)，知識(shí)不易豐富?？鬃诱f：“學(xué)而時(shí)習(xí)之”。對于實(shí)變函數(shù)，復(fù)習(xí)時(shí)要想鉆進(jìn)去就必須手邊有紙、有筆、有課堂筆記?！把圻^十遍不如手過一遍”“好記性不如爛筆頭”。做作業(yè)：做作業(yè)是檢驗(yàn)自己對聽課、復(fù)習(xí)收獲大小的一個(gè)重要標(biāo)志。也是深化聽課、復(fù)習(xí)的繼續(xù)。更是培養(yǎng)、提高運(yùn)算能力、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題解決問題能力的重要手段。答疑：在學(xué)習(xí)上遇到疑問時(shí)及時(shí)去請教老師,答疑是向老師學(xué)習(xí)、請教的良好時(shí)機(jī)，請同學(xué)們利用好它。俗話說：“學(xué)問、學(xué)問，有學(xué)有問”培根說過：“多問的人將多聞”。我們的目標(biāo)受益匪淺成績不錯(cuò)，受益頗多成績及格學(xué)分拿到手機(jī)：移62338）.QQ：751503917歡迎交流復(fù)變函數(shù)與積分變換及應(yīng)用背景

（莫里斯克萊恩

）(1908-1992)(《古今數(shù)學(xué)思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美國數(shù)學(xué)史家)指出:從技術(shù)觀點(diǎn)來看,十九世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)的理論.這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì),幾乎象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)那樣.這一豐饒的數(shù)學(xué)分支,一直被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受.它也被歡呼為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.的概念,從而建立了復(fù)變函數(shù)理論.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，人們引入復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計(jì)算某些復(fù)雜的實(shí)函數(shù)的積分.(1)

代數(shù)方程

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.

（阿達(dá)馬）說:實(shí)域中兩個(gè)真理之間的最短路程是通過復(fù)域.(3)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于流體的平面平行流動(dòng)等問題的研究.函數(shù)理論證明了應(yīng)用復(fù)變(4)應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力和力矩等.(5)應(yīng)用于計(jì)算滲流問題.

例如：大壩、鉆井的浸潤曲線.(6)應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電(磁)場強(qiáng)度.

例如：熱爐中溫度的計(jì)算.最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算,

從而研究機(jī)翼的造型問題.變換應(yīng)用于頻譜分析和信號(hào)處理等.(7)復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ).

積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號(hào)分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域．頻譜分析是對各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系進(jìn)行分析.隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，語音、圖象等作為信號(hào)，在頻域中的處理要方便得多.(8)變換應(yīng)用于控制問題.在控制問題中，傳遞函數(shù)是輸入量的Laplace變換與輸出量的Laplace變換之比.(10)Z變換應(yīng)用于離散控制系統(tǒng).(11)小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,如信號(hào)分析和圖象處理、語音識(shí)別與合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷、地質(zhì)勘探與地震預(yù)報(bào)等等.(12)復(fù)變函數(shù)與積分變換的計(jì)算可以使用為科學(xué)和工程計(jì)算設(shè)計(jì)的軟件(9)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)的產(chǎn)生最早可以追溯到十六世紀(jì)中期。但直到十八世紀(jì)末期，經(jīng)過了卡爾丹、笛卡爾、歐拉以及高斯等許多人的長期努力，復(fù)數(shù)的地位才被確立下來。復(fù)變函數(shù)理論產(chǎn)生于十八世紀(jì)，在十九世紀(jì)得到了全面為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的發(fā)展。為復(fù)變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾、拉普拉斯等。則是柯西、黎曼和維爾斯特拉斯等。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)平面§1.2復(fù)平面點(diǎn)集§1.3復(fù)變函數(shù)主要內(nèi)容

本章主要介紹復(fù)數(shù)的概念及表示式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、平面點(diǎn)集的概念以及復(fù)變函數(shù)的概念、極限和連續(xù).§1.1復(fù)數(shù)1復(fù)數(shù)的概念2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算3復(fù)數(shù)的表示方法4乘冪與方根1.1.1復(fù)數(shù)的概念由于解代數(shù)方程的需要,人們引進(jìn)了復(fù)數(shù).例如，簡單的代數(shù)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，引入等式由該等式所定義的數(shù)稱為(虛數(shù)史話)當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部為零、實(shí)部不為零(即

y=0,)時(shí)，復(fù)數(shù)x+iy

等于x+i0為實(shí)數(shù)x,而虛部不為零(即

)的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù).在虛數(shù)中,實(shí)部為零(即x=0,)的稱為純虛數(shù).例如,3+0i=3是實(shí)數(shù),4+5i,-3i都是虛數(shù),而-3i是純虛數(shù).數(shù)x+iy

(或x+yi)的,并記做稱形如x+iy

或x+yi

的表達(dá)式為復(fù)數(shù)，其中

x和y是任意兩個(gè)實(shí)數(shù).把這里的x和y分別稱為復(fù)顯然,z=x+iy

是x-yi

的共軛復(fù)數(shù),即共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)x-iy

稱為復(fù)數(shù)x+yi

的(其中x,y均為實(shí)數(shù)),并記做.1.1.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù),如果x1=x2,y1=y2,則稱z1和z2相等,記為z1=z2.復(fù)數(shù)z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、減、乘、除運(yùn)算定義如下：(1)復(fù)數(shù)的和與差(2)復(fù)數(shù)的積(3)復(fù)數(shù)的商復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)1.交換律2.結(jié)合律3.分配律解例

1.1設(shè)

求與例1.2……復(fù)數(shù)能否比較大小，為什么？思考題1：給定一復(fù)數(shù)z=x+yi,在坐標(biāo)平面XOY上存在惟一的點(diǎn)P(x,y)與z=x+yi對應(yīng).反之,對XOY平面上的點(diǎn)P(x,y),存在惟一的復(fù)數(shù)z=x+yi與它對應(yīng).根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及向量的代數(shù)運(yùn)算的定義知這種對應(yīng)構(gòu)成了同構(gòu)映射.因此可以用XOY平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)z.這時(shí)把XOY平面平面稱為復(fù)平面.有時(shí)簡稱為z平面.1.1.3復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示法顯然,實(shí)數(shù)與x軸上的點(diǎn)一一對應(yīng),而x軸以外的點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)虛數(shù),純虛數(shù)與y軸上的點(diǎn)(除原點(diǎn))對應(yīng).因此,稱x軸為實(shí)軸,y軸為虛軸.今后把復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)數(shù)z不加區(qū)別,即“點(diǎn)z”和“復(fù)數(shù)z”是同一個(gè)意思.有時(shí)用C表示全體復(fù)數(shù)或復(fù)平面.復(fù)數(shù)z也可以用以原點(diǎn)為起點(diǎn)而以點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量表示(如圖).這時(shí)復(fù)數(shù)加、減法滿足向量加、減法中的平行四邊形法則.用表示復(fù)數(shù)z時(shí),這個(gè)向量在x軸和y軸上的投影分別為x和y.把向量的長度r稱為復(fù)數(shù)z的或稱為z的絕對值,并記做|z|.顯然如果點(diǎn)P不是原點(diǎn)(即),那么把x軸的正向與向量的夾角q稱為復(fù)數(shù)z的輻角,記做Argz.

對每個(gè),都有無窮多個(gè)輻角,因?yàn)橛胵0表示復(fù)數(shù)z的一個(gè)輻角時(shí),就是z的輻角的一般表達(dá)式.有時(shí),在進(jìn)行說明后,把主輻角定義為滿足的方向角；但當(dāng)z=0時(shí),|z|=0.滿足的復(fù)數(shù)z的稱為主輻角(或稱輻角的主值),記做argz,則的輻角,這時(shí)上式仍然成立.當(dāng)z=0時(shí),Argz沒有意義,即零向量沒有確定當(dāng)時(shí),有說明：當(dāng)z在第二象限時(shí)，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系數(shù)z的三角表示式.再利用Euler公式

復(fù)數(shù)z=x+yi

可表示為稱為復(fù)復(fù)數(shù)z=x+yi

又可表示為稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式,其中r=|z|,q=Argz.解xy復(fù)數(shù)的三角表示式為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式為例1.3將化為三角表示式與指數(shù)表示式.解：顯然,r=|z|=1,又因此將化為三角表示式與指數(shù)表示式.練習(xí)：當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)一對共軛復(fù)數(shù)z和在復(fù)平面的位置是關(guān)于實(shí)軸對稱的.復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)從幾何上看,復(fù)數(shù)z2-z1所表示的向量,與以z1為起點(diǎn)、z2為終點(diǎn)的向量相等(方向相同,模相等).復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算對應(yīng)于復(fù)平面上相應(yīng)向量的加、減運(yùn)算.思考題3：用復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)解釋為什么普通照相機(jī)照出來的照片沒有立體感，而數(shù)碼相機(jī)照出來的照片卻有立體感？思考題2：復(fù)數(shù)可以用向量表示，則復(fù)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算是否相同？

一、利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算設(shè)乘法即(在集合意義下?)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。模等于它們的模的乘積；(集合意義)1.1.4乘冪與方根兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的幾何意義設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為先將z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度,再將模變到原來的r2倍,于是所得的向量z就表示乘積一、利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算設(shè)除法(在集合意義下)兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；即1.1.4乘冪與方根例1.4計(jì)算解由有附一些“簡單”復(fù)數(shù)的指數(shù)形式解由有練習(xí)復(fù)數(shù)z的乘冪，設(shè)

z

是給定的復(fù)數(shù)，

n

為正整數(shù)，n

個(gè)

z

相乘的積稱為定義二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.復(fù)數(shù)的乘冪設(shè)則法則

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則。即記為二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.復(fù)數(shù)的乘冪由以及復(fù)數(shù)的三角表示式可得在上式中令r=

1，則得到棣莫弗(DeMoivre)公式：

棣莫弗(DeMoivre)公式

進(jìn)一步易得到正弦與余弦函數(shù)的

n

倍角公式。例

由此引出方根的概念。此外，顯然有.復(fù)數(shù)

w，二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2.復(fù)數(shù)的方根稱為把復(fù)數(shù)開

n

次方，或者稱為求復(fù)數(shù)的

復(fù)數(shù)求方根是復(fù)數(shù)乘冪的逆運(yùn)算。設(shè)是給定的復(fù)數(shù)，n

是正整數(shù)，求所有滿足的定義n

次方根，記作或

復(fù)數(shù)的

n

次方根一般是多值的。二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2.復(fù)數(shù)的方根

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開方法則。設(shè)推導(dǎo)即得——正實(shí)數(shù)的算術(shù)根。由有二、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2.復(fù)數(shù)的方根描述在復(fù)平面上，這

n

個(gè)根均勻地為半徑的圓周上。根的輻角是分布在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、以其中一個(gè)方法

直接利用公式求根；

先找到一個(gè)特定的根，再確定出其余的根。例求解具體為：例求解方程解具體為：(2)(3)

法則(1)無意義。無意義。

實(shí)部虛部是多少?問題

模與輻角是多少?

在復(fù)平面上對應(yīng)到哪一點(diǎn)？一、無窮大1.1.5擴(kuò)充復(fù)平面及其球面表示定義一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)∞，稱為無窮大，滿足二、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)1.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念(

?

)定義在“復(fù)平面”上一個(gè)與復(fù)數(shù)對應(yīng)的“理想”點(diǎn)，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

事實(shí)上，在通常的復(fù)平面上并不存在這樣的點(diǎn)，因此只能說它是一個(gè)“理想”點(diǎn)。

那么，這個(gè)“理想”點(diǎn)到底在哪里呢？下面就來看看黎曼(Riemnann)給出的解釋。二、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)2.復(fù)球面如圖，其中，N為北極，S為南極。這樣的球面稱作復(fù)球面。對復(fù)平面上的任一點(diǎn)用球面上除

N

點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)一一對應(yīng)，直線將

點(diǎn)與

N

點(diǎn)相連，與球面相交于點(diǎn)。p

球面上的

N

點(diǎn)本身則對應(yīng)到了“復(fù)平面”上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。注顯然，復(fù)數(shù)不能寫成或者。某球面與復(fù)平面相切，

球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).球面上的北極N不能對應(yīng)復(fù)平面上的定點(diǎn),當(dāng)球面上的點(diǎn)離北極

N

越近,它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.二、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)3.擴(kuò)充復(fù)平面(2)不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面，或者簡稱為復(fù)平面。(1)包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面；定義M二、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)4.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域設(shè)實(shí)數(shù)

M

>

0，定義(1)包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)且滿足的所有點(diǎn)的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域。(2)不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)且滿足的所有點(diǎn)的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域，也可記為§1.2復(fù)平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集二、區(qū)域三、平面曲線一、平面點(diǎn)集1.鄰域設(shè)為復(fù)平面上的一點(diǎn)，定義dz0dz0(1)稱點(diǎn)集為點(diǎn)的鄰域；(2)稱點(diǎn)集為點(diǎn)的去心鄰域。內(nèi)點(diǎn)一、平面點(diǎn)集2.內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)與邊界點(diǎn)(1)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)邊界點(diǎn)考慮某平面點(diǎn)集

G

以及某一點(diǎn)，(2)有外點(diǎn)(1)(2)有邊界點(diǎn)(1)不一定屬于

G

；在中，(2)既有又有邊界G

的邊界點(diǎn)的全體稱為

G

的邊界。3.開集與閉集開集如果

G

的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱

G

為開集。一、平面點(diǎn)集閉集如果

G

的邊界點(diǎn)全部都屬于

G

，則稱

G

為閉集。4.有界集與無界集定義若存在，使得點(diǎn)集

G

包含在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)，則

G

稱為有界集，否則稱為非有界集或無界集。二、平面曲線1.方程式在直角平面上在復(fù)平面上

如何相互轉(zhuǎn)換？(比較熟悉)(比較陌生)(1)(2)(建立方程)(理解方程)i-

i(1)i-

i(2)2i-

2(3)1-

12-

2(4)1-

1(5)二、平面曲線2.參數(shù)式在直角平面上在復(fù)平面上例如考察以原點(diǎn)為圓心、以

R

為半徑的圓周的方程。(2)在復(fù)平面上(1)在直角平面上二、平面曲線3.曲線的分類考慮曲線簡單曲線當(dāng)時(shí)，簡單閉曲線簡單曲線且光滑曲線在區(qū)間上，和連續(xù)且簡單、不閉簡單、閉不簡單、閉不簡單、不閉連續(xù)的簡單閉曲線稱為Jordan曲線.連續(xù)曲線連續(xù)。三、區(qū)域1.區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域平面點(diǎn)集

D

稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足下列兩個(gè)條件:(1)D是一個(gè)開集；(2)D是連通的，閉區(qū)域區(qū)域

D

與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記作

D。不連通的一條折線連接起來。即

D

中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于

D連通三、區(qū)域2.有界區(qū)域與無界區(qū)域(顧名思義)3.內(nèi)區(qū)域與外區(qū)域定義一條“簡單閉曲線(?)”把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)區(qū)域，其中有界的一個(gè)稱為該簡單閉曲線的內(nèi)部(內(nèi)區(qū)域)，稱為該簡單閉曲線的外部(外區(qū)域)。另一個(gè)約當(dāng)定理

任何Jordan曲線C將平面分為兩個(gè)區(qū)域,即內(nèi)部區(qū)域(有界)與外部區(qū)域(無界),C是它們的公共邊界.內(nèi)部外部邊界4.單連通域與多連通域定義設(shè)

D

為區(qū)域，如果

D

內(nèi)的任何一條簡單閉曲線的內(nèi)部仍屬于

D，則

D

稱為單連通域，

多連通域又可具體分為二連域、三連域、…

…。否則稱為多連通域。A

省(二連域)(三連域)三、區(qū)域4.單連通域與多連通域A

省(單連域)B

省(單連域)B

省(非區(qū)域)舉例(杜撰)飛地區(qū)域1-

2

+

i閉區(qū)域(角形)區(qū)域四.有向曲線定義設(shè)

C

為平面上一條給定的光滑(或分段光滑)曲線，指定

C

的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正向，則

C

為帶有方向的曲線，稱為有向曲線，仍記為

C。代表與

C

的方向相反(即

C

的負(fù)方向)的曲線。如果相應(yīng)地，

則逆時(shí)針方向。區(qū)域區(qū)域四.有向曲線

簡單閉曲線的正向一般約定為：當(dāng)曲線上的點(diǎn)

P

順此方向沿曲線前進(jìn)時(shí),

區(qū)域邊界曲線的正向一般約定為：當(dāng)邊界上的點(diǎn)

P

順此方向沿邊界前進(jìn)時(shí),曲線所圍成的有界區(qū)域始終位于

P

點(diǎn)的左邊。所考察的區(qū)域始終位于

P

點(diǎn)的左邊。注意區(qū)域可以是多連域。曲線(1)圓環(huán)域:例

判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.例

指出下列不等式所確定的點(diǎn)集,是否有界?是否區(qū)域?如果是區(qū)域,單連通的還是多連通的?無界的單連通區(qū)域(如圖).解

(1)當(dāng)時(shí),是角形域,無界的單連通域(如圖).周外部,無界多連通區(qū)域(如圖).是以原點(diǎn)為中心,半徑為的圓表示到1,–1兩點(diǎn)的距離之表示該橢圓的內(nèi)部,這是有界的單連通區(qū)域(如圖).和為定值4的點(diǎn)的軌跡,因?yàn)樗赃@是橢圓曲線.內(nèi)部.這是有界集,但不是區(qū)域.令是雙葉玫瑰線(也稱雙紐線).表示雙紐線的例

滿足下列條件的點(diǎn)集是否區(qū)域?如果是區(qū)域,是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域?這是一條平行于實(shí)軸的直線,不是區(qū)域.它是單連通區(qū)域.這是以為右邊界的半平面,不包括直線它是多連通區(qū)域.它不是區(qū)域.這是以為圓心,以2為半徑的去心圓盤.這是以i為端點(diǎn),斜率為1的半射線,不包括端點(diǎn)i.§1.3復(fù)變函數(shù)一、基本概念二、圖形表示三、極限四、連續(xù)一、基本概念在以后的討論中，D常常是一個(gè)平面區(qū)域，稱之為定義域。按照一定法則，有確定的復(fù)數(shù)w與它對應(yīng)，一般情形下，所討論的“函數(shù)”都是指單值函數(shù)。上定義一個(gè)復(fù)變函數(shù)，記作定義設(shè)

D

是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，對于

D

中任意的一點(diǎn)，z對每個(gè)有唯一的

w

與它對應(yīng)；

單值函數(shù)比如

多值函數(shù)對每個(gè)有多個(gè)

w

與它對應(yīng)；比如則稱在D一、基本概念

一個(gè)復(fù)變函數(shù)對應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。分析則可以寫成設(shè)其中，與為實(shí)值二元函數(shù)。分開上式的實(shí)部與虛部得到于是，復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)、一致連續(xù)等概念就是映射

的相應(yīng)概念.有關(guān)映射的各種性質(zhì)也對復(fù)變函數(shù)成立.

重要注記：由于，，故一般將理解為以為自變量的函數(shù)，即。以后將看到，這樣做會(huì)帶來很多方便，并且具有“復(fù)風(fēng)格”.分開實(shí)部與虛部即得代入得解記GG二、圖形表示C映射復(fù)變函數(shù)在幾何上被看作是把z平面上的一個(gè)平面z平面w點(diǎn)集變到

w

平面上的一個(gè)點(diǎn)集的映射(或者變換)。其中，點(diǎn)集稱為像，點(diǎn)集稱為原像。

函數(shù)、映射以及變換可視為同一個(gè)概念。(分析)(幾何)(代數(shù))Dzxywuv

對于復(fù)變函數(shù)，它反映的是兩對變量u，v和x，y之間的對應(yīng)關(guān)系，因而無法用一個(gè)平面或一個(gè)三維空間的圖形來表示。故在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對變量u，v

與x，y之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直觀.思考題：為什么在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)平面來表示其圖形？二、圖形表示反函數(shù)與逆映射雙方單值與一一映射為

w

平面上的點(diǎn)集

G，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閦平面上的點(diǎn)集D，值域的一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn)z，一個(gè)函數(shù)它稱為函數(shù)

的反函數(shù)，也稱為映射的逆映射。若映射

與它的逆映射都是單值的，則稱映射是雙方單值的或者一一映射。則

G

中的每個(gè)點(diǎn)

w

必將對應(yīng)著

D

中按照函數(shù)的定義，在G

上就確定了解(1)點(diǎn)對應(yīng)的像(點(diǎn))為(2)區(qū)域D

可改寫為：令則可得區(qū)域D

的像(區(qū)域)G

滿足即函數(shù)對應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)例因此，它把

z

平面上的兩族雙曲線分別映射成

w

平面上的兩族平行直線xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20例解—關(guān)于實(shí)軸對稱的一個(gè)映射且是全同圖形.三、極限定義設(shè)函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)有定義

,若存在復(fù)數(shù)使得當(dāng)時(shí)，有記作或注(1)

函數(shù)在點(diǎn)可以無定義；(2)

趨向于的方式是任意的。則稱A為函數(shù)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限，xyz0d幾何意義三、極限它的像點(diǎn)就落在

A

的預(yù)先給定的

e

鄰域內(nèi)。uvAe當(dāng)變點(diǎn)一旦進(jìn)入的充分小的

d

鄰域時(shí),z0zf

(z)z性質(zhì)如果則三、極限與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.定理三、極限設(shè)證明如果則當(dāng)時(shí)，則必要性“”

P16定理

1.4

(跳過?)證明充分性“”則當(dāng)時(shí)，如果定理設(shè)三、極限則說明三、極限

關(guān)于含

的極限作如下規(guī)定：(3)

所關(guān)心的兩個(gè)問題：(1)如何證明極限存在？(2)如何證明極限不存在？選擇不同的路徑進(jìn)行攻擊。放大技巧

。(1)(2)例

試求方法一由定理1，得方法二由于，由定理2（3）得xy討論函數(shù)在的極限。例當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此極限不存在。解方法一解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此極限不存在。方法二xy方法三沿著射線與有關(guān)，因此極限不存在。討論函數(shù)在的極限。例xy思考題：試著收集整理復(fù)極限的計(jì)算方法以及判別復(fù)極限不存在的方法，并用例子說明.四、連續(xù)定義則稱在

點(diǎn)連續(xù)。若z0若在區(qū)域

D

內(nèi)處處連續(xù)，則稱

在

D

內(nèi)連續(xù)。注(1)連續(xù)的三個(gè)要素：存在；存在；相等。(2)連續(xù)的等價(jià)表示：其中，(3)一旦知道函數(shù)連續(xù)，反過來可以用來求函數(shù)的極限。通常說：當(dāng)自變量充分靠近時(shí)，函數(shù)值充分靠近。

P17定義

1.21

性質(zhì)四、連續(xù)(1)在

連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)

與

的和、差、積、商(分母在

不為零)在

處連續(xù)。z0z0z0(2)如果函數(shù)在

處連續(xù)，函數(shù)在連續(xù)，則函數(shù)在

處連續(xù)。z0z0(由基本初等函數(shù)的連續(xù)性可得初等函數(shù)的連續(xù)性)(3)如果函數(shù)在有界閉區(qū)域

D

上連續(xù)，則例

證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù).證明x

y

(z)

ozz討論函數(shù)的連續(xù)性。例(當(dāng)時(shí))故函數(shù)