圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)曲線

圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)曲線第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二參數(shù)曲線的基本知識(shí)表示方法屬性連續(xù)性第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的表示方法顯式表示：隱式表示：參數(shù)表示：更強(qiáng)的控制能力更靈活方便的變換及表達(dá)第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二參數(shù)曲線的基本概念假設(shè)參數(shù)曲線表示為第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點(diǎn)處的切矢量（1）用以表示曲線上位置矢量的大小、方向變化)(ttPD+rrPt()圖1切矢量表示位置矢量的變化第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點(diǎn)處的切矢量（2）表示t處位置矢量它的方向指向參數(shù)增加的方向(曲線正向)該點(diǎn)處的切矢量表示為：第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點(diǎn)處的切矢量（3）參數(shù)變換條件下曲線上點(diǎn)的切矢量：參數(shù)變換方程：參數(shù)曲線新方程：切矢量表達(dá)式：切矢量方向保持不變第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二正則曲線與自然參數(shù)（1）正則曲線：所有點(diǎn)都是正則點(diǎn)的曲線。正則曲線與參數(shù)選取無關(guān)參數(shù)表示方程與參數(shù)選取有關(guān)自然參數(shù)：弧長(zhǎng)參數(shù)以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線光順性好常采用曲線的自然參數(shù)（弧長(zhǎng)參數(shù)）來定義曲線。第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二正則曲線與自然參數(shù)（2）對(duì)于正則曲線由弧長(zhǎng)函數(shù)的反函數(shù)：可得到曲線自然參數(shù)方程：第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二正則曲線與自然參數(shù)（3）定理：自然參數(shù)曲線的切矢量滿足：證明：除特別申明外通常討論正則曲線并采用弧長(zhǎng)參數(shù)定義曲線。以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線若非正則，則畸形。第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點(diǎn)處的主法向量（1）記號(hào)自然參數(shù)曲線：任一點(diǎn)處的單位切矢量為沿該方向過該點(diǎn)的直線稱為該點(diǎn)處的主法線定義--衡量曲線彎曲程度？第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點(diǎn)處的曲率曲率可衡量曲線的彎曲程度—單位切矢對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率如圖所示第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲率半徑直線特征：曲率處處為0；圓的特征：曲率半徑處處相等第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點(diǎn)處的主法向量（2）定理：主法向量與切矢量正交。證明：第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點(diǎn)處的從法向量沿該方向過該點(diǎn)的直線稱為從法線。第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二Frent活動(dòng)標(biāo)架第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二問題：切矢量(垂直于法平面)的變化快慢反映了曲線的彎曲程度問題：從法向量(垂直于密切平面)的變化反映了曲線的何種屬性?第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二預(yù)備定理定理：證明：第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線在一點(diǎn)處的撓率含義：從法向量方向?qū)￠L(zhǎng)的變化率--反映曲線的扭曲程度。該值大于、小于、等于0分別對(duì)應(yīng)右旋、左旋和平面曲線。第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的幾何不變量（1）曲率和撓率：因與曲線參數(shù)和空間直角坐標(biāo)系的選取都無關(guān)，而稱其為曲線的幾何不變量。曲線基本定理：

如果兩條曲線在弧長(zhǎng)參數(shù)相同的點(diǎn)處具有相同的曲率和撓率，那么這兩條曲線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移運(yùn)動(dòng)后一定會(huì)重合。曲線的自然方程：第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的幾何不變量（2）在任意參數(shù)條件下的曲率、撓率分別為：第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的連續(xù)性參數(shù)連續(xù)：函數(shù)可微幾何連續(xù)：曲線光滑二者既有區(qū)別又有聯(lián)系第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的參數(shù)連續(xù)性第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的幾何連續(xù)性（1）第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二第二十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二