土木工程測量第五章

土木工程測量第五章第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二第五章

測量誤差基礎(chǔ)知識第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二

5.1

測量誤差分類測量誤差（error）的產(chǎn)生，主要是由于儀器不可能絕對準(zhǔn)確，觀測者的鑒別能力有限，觀測是在一定的外界條件(如風(fēng)力，溫度、氣壓、照度等)下進(jìn)行的。通常把儀器，觀測者和外界條件三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件相同的各次觀測，其誤差出現(xiàn)的規(guī)律相同，稱為等精度觀測（equalobservations），觀測條件不同的各次觀測稱為非等精度觀測。

在觀測結(jié)果中，有時還會出現(xiàn)錯誤。例如，讀數(shù)錯誤或記錄錯誤等，統(tǒng)稱為粗差。粗差在觀測結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的。為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。例如，對距離進(jìn)行往、返測量，對角度進(jìn)行多測回觀測等，這是測量的基本原則。觀測誤差按其自身規(guī)律性，可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二

5.1.1、系統(tǒng)誤差（systemicerror）對某量進(jìn)行一系列觀測，如誤差出現(xiàn)的符號和大小均相同或按一定的規(guī)律變化，或者說誤差的來源已確切地掌握，則這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差具有積累性，無法用多次觀測取平均的方法消除，對測量結(jié)果的影響很大。但是，由于系統(tǒng)誤差的符號和大小有一定的規(guī)律，可以用以下方法進(jìn)行處理：（1）、用計算的方法加以改正。

（2）、用一定的觀測程序加以消除。（3）、將系統(tǒng)誤差限制在工程實(shí)踐允許范圍內(nèi)。

第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二

5.1.2、偶然誤差(randomerror)

在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，若誤差出現(xiàn)的符號和大小均不一定，或者說誤差的來源尚沒有被人們認(rèn)識到，則這種誤差稱為偶然誤差。例如，測量中的估讀誤差等。

大量的測量實(shí)踐表明，偶然誤差具有如下統(tǒng)計特性：

(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差有界，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率趨近于零；

(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大；

(3)絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；

(4)同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二高斯（Gauss,CarlFriedrish1777~1855，德國數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，物理學(xué)家，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方面，發(fā)展了概率統(tǒng)計中的誤差理論，發(fā)明最小二乘法，引入高斯誤差曲線）根據(jù)偶然誤差的四個特性，推導(dǎo)出偶然誤差分布的概率密度函數(shù)為：上式表明，偶然誤差的出現(xiàn)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(右圖)，這就為偶然誤差的處理奠定的堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。測量實(shí)踐中可以根據(jù)偶然誤差的特性合理地處理觀測數(shù)據(jù)，以減少偶然誤差對測量成果的影響。第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二

5.2觀測值精度評價指標(biāo)

在相同觀測條件下，對某一量所進(jìn)行的一組觀測，對應(yīng)著同一種誤差分布，因此，這一組中的每一個觀測值，都具有同樣的精度；然而，在不同的觀測條件下，對同一量所進(jìn)行的觀測必然具有不同的精度。下面介紹幾種常用的衡量精度的指標(biāo)。

5.2.1、中誤差設(shè)對某一未知量進(jìn)行了n次等精度觀測，未知量的真值為X，其觀測值為l1、l2、……、ln，相應(yīng)的真誤差為：……第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二則定義該組觀測值的方差D為:

以上式為基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計理論可以證明：

特別需要說明的是，根據(jù)上式計算中誤差的前提是真值X是已知的，而這個條件在工程實(shí)踐中通常是無法保證的。第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二工程測量中將σ稱為中誤差（meanerror），并常以符號m表示，這只是一種傳統(tǒng)，而從工程實(shí)踐的角度來看，中誤差的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)就是數(shù)理統(tǒng)計中的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即：

特別需要說明的是，根據(jù)上式計算中誤差的前提是真值X是已知的，而這個條件在工程實(shí)踐中通常是無法保證的。第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二由圖可見，偶然誤差概率密度函數(shù)中的參數(shù)σ

反映著誤差分布的密集或離散程度，即反映其離散度的大小，可以作為衡量精度的指標(biāo)：σ

越小，偶然誤差分布越集中，則測量精確度越高（如圖中曲線Ⅰ）；σ

越大，偶然誤差分布越分散，則測量精確度越低（如圖中曲線Ⅱ）。

第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二

5.2.2、相對誤差

真誤差和中誤差都是絕對誤差大小，與被測值的大小沒有建立關(guān)系，僅用這兩種精度指標(biāo)顯然無法完全表達(dá)精度的水平。為了在精度指標(biāo)中考慮被測值本身的大小，引入相對誤差的概念。式中，K—相對中誤差，也簡稱相對誤差；

m—中誤差；

X—觀測量的真值。由上式可見，相對誤差有兩種形式，其一是以百分?jǐn)?shù)表示；其二是以分子為1、分母約簡為整數(shù)的真分?jǐn)?shù)表示，這兩種形式表示的相對誤差都是一個無量綱的比值。第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二由于觀測量的真值通常無法確定，工程實(shí)踐中也常用觀測量的算術(shù)平均值代替真值計算相對誤差。例如，在距離測量中，通常是往返各測量一次，以下面公式來評定測量精度：從實(shí)質(zhì)上看，公式的計算結(jié)果是“較差率”，而非“相對誤差”，但工程中也常將它稱為距離測量的相對誤差。

特別需要指出的是，由于角度測量的誤差與角度大小無關(guān)，因此不能用相對誤差來評定測角精度。第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二

5.2.3、極限誤差

偶然誤差的第一特性表明，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不超過一定的界限。如果觀測值的誤差超過了這個界限，則被認(rèn)為觀測有錯，應(yīng)舍去重測，這個限值稱為極限誤差或容許誤差（allowanceerror）。誤差理論表明，在實(shí)際觀測中，絕對值大于一倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為30%；絕對值大于二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為5%；而絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅為0.3%.根據(jù)上述結(jié)果，工程測量中取二倍中誤差作為偶然誤差的限值，即Δ限=2m當(dāng)對測量結(jié)果要求寬松時，也可取三倍中誤差作為偶然誤差的限值。一般認(rèn)為，大于三倍中誤差的偶然誤差是不可接受的，應(yīng)舍去重測。第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二

5.3誤差傳播定律

在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測，而需要由其它一些直接觀測量按照一定的函數(shù)關(guān)系計算出來，而這些作為自變量的直接觀測值是包含測量誤差的，這必然引起函數(shù)值的誤差。本節(jié)討論自變量誤差和函數(shù)值誤差間的關(guān)系，根據(jù)自變量的誤差來分析確定函數(shù)值的誤差，而闡述這種函數(shù)關(guān)系的定律即稱為誤差傳播定律。第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二式中—xi為可以直接觀測的值，y為函數(shù)值。設(shè)對各個相互獨(dú)立的自變量xi分別進(jìn)行了k次觀測，其觀測值分別是li，而相應(yīng)的中誤差分別是mi，且記則當(dāng)k足夠大時，可以推導(dǎo)出：

上式就是誤差傳遞的一般公式，在誤差理論中占有重要地位。第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二【例5.3.1】設(shè)在三角形ABC中，直接觀測∠A，∠B

，且已知其中誤差分別為mA=±3〞，mB=±4〞。當(dāng)由∠A，∠B的觀測值計算∠C大小時，相應(yīng)的中誤差mC等于多少？解：建立函數(shù)關(guān)系

則于是

第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二【例5.3.2】證明：對某一量X進(jìn)行n次等精度觀測，觀測值分別是l1，l2

，…，ln。若單次觀測中誤差為m，則其算術(shù)平均值的中誤差為：證明：建立函數(shù)關(guān)系則

第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二右圖是根據(jù)上式得到的算術(shù)平均值的中誤差與觀測次數(shù)的關(guān)系曲線。右圖表明，增加觀測次數(shù)可以提高算術(shù)平均值的精度，例如，假定單次觀測中誤差為1.0，則10次觀測平均值的中誤差將減到0.316。但右圖同時顯示，當(dāng)觀測次數(shù)達(dá)到一定數(shù)值后（如n=10），再增加觀測次數(shù)提高觀測精度的效果就不太明顯了。因此，不能僅依靠增加觀測次數(shù)來提高測量成果的精度，而必須使用精度較高的儀器，提高觀測技能，在良好的外界條件下進(jìn)行觀測等。算術(shù)平均值的中誤差與觀測次數(shù)第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二

5.4無真值條件下的最大似然值5.4.1、最大似然值（maximumlikelihoodvalue）在工程實(shí)踐中，經(jīng)常遇到的情況是某一未知量無法得到其真值，則用式求觀測中誤差無法實(shí)施。本節(jié)討論在無真值條件下有關(guān)參數(shù)的計算問題。設(shè)對某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測，其真值為X，觀測值分別為：……相應(yīng)的真誤差為：則：

第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二將上述各式求和，等號兩

邊再同除以n，得：設(shè)為L算術(shù)平均值，則有根據(jù)偶然誤差的第四條特性，當(dāng)觀測次數(shù)足夠大時，有從上式可以看出，當(dāng)觀測次數(shù)足夠大時，觀測值的算術(shù)平均值就趨向于未知量的真值。當(dāng)為n有限時，則說算術(shù)平均值L是真值X的“最大似然值”也稱為似真值。第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期二

5.4.2、觀測值的改正數(shù)

觀測值與觀測值的算術(shù)平均值之差稱為觀測值的改正數(shù)，用v表示。設(shè)對某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測，觀測值分別為，其算術(shù)平均值為L相應(yīng)的改正數(shù)為，則：……將上述各式兩端相加得：由于算數(shù)平均