塑性力學簡單的彈塑性問題

塑性力學簡單的彈塑性問題第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二第六章簡單的彈塑性問題§6.1彈塑性邊值問題的提法§6.2薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形§6.5柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)§6.6受內(nèi)壓的厚壁圓筒§6.7旋轉(zhuǎn)圓盤塑性力學第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二§6.1彈塑性邊值問題的提法一、彈塑性全量理論邊值問題i)

在V內(nèi)的平衡方程:ii)

在V內(nèi)幾何關(guān)系（應(yīng)變-位移關(guān)系）:iii)

在V內(nèi)全量本構(gòu)關(guān)系:(6-3)邊界Su上給定位移，要求應(yīng)力，應(yīng)變，位移，它們滿足設(shè)在物體V內(nèi)給定體力，在應(yīng)力邊界ST上給定面力Ti，在位移以下方程和邊條件：第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二v)

在上位移邊界條件：二、彈塑性增量理論的邊值問題i)

在V內(nèi)的平衡方程其中是外法線的單位向量；由此可見，彈塑性邊值問題的全量理論提法同彈性邊值問題的提法基本相同，不同僅在于引入了非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（6-3）式。iv)

在上的應(yīng)力邊界條件:ii)

在V內(nèi)的幾何關(guān)系（應(yīng)變位移的增量關(guān)系）：第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二iii)

在V內(nèi)的增量本構(gòu)關(guān)系：彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-9）(a)

對于理想塑性材料，屈服函數(shù)為，則第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-10）（b）對于等向強化材料，后繼屈服函數(shù)為，則第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二iv）在ST

上的應(yīng)力邊界條件：v）在Su上的位移邊界條件：vi）彈塑性交界處的連接條件：如果交界面的法向為ni，則在上有：(a)法向位移連續(xù)條件(b)應(yīng)力連續(xù)條件上標（E）和（P）分別表示彈性區(qū)和塑性區(qū)。第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二§6.2

薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形考察薄壁圓筒承受拉力P

和扭矩T

聯(lián)合作用的彈塑性變形問題。采用圓柱坐標，取z

軸與筒軸重合。設(shè)壁厚為h

，筒的內(nèi)外平均半徑為R

，則筒內(nèi)應(yīng)力為：

其余應(yīng)力分量均為0。因此，不但應(yīng)力狀態(tài)是均勻的，而且每一種外載（拉、扭）只與一個應(yīng)力分量有關(guān)，調(diào)整P

和T

之間的比值，即可得到應(yīng)力分量間的不同比例。假設(shè)材料是不可壓縮的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下無量綱量：在彈性階段，無量綱化的Hooke定律給出(6-16)第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二進入塑性以后，Mises屈服條件：可化為：下面按增量理論和全量理論求解這個問題，比較兩種結(jié)果的異同。對理想彈塑性材料，增量本構(gòu)方程是Prandtl-Reuses關(guān)系，于是：無量綱化后得到：消去得：一、按增量理論求解(6-19)(6-20)第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二由（6-18）式知故從（6-21）式中消去和，就有：同樣地，如果已知某時刻的初始狀態(tài)（應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)）及從該時刻起的變形路徑則積分（6-22）或（6-23）式就可得到關(guān)系或關(guān)系。第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二保持常數(shù)的階段ab

上，設(shè)在a點有由于在ab上例如對于實驗中經(jīng)常采用的階梯變形路徑（圖6-1），考慮方程（6-22）變?yōu)椋簣D6-1積分并利用a點的已知條件，得出：類似地，對于階段bc

,第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二二、按全量理論求解由于假設(shè)了材料不可壓，由（5-63）式化后得應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為將(6-26)式按(6-16)式無量綱在本問題中用分量寫出來就是：，故第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二在圖6-2中，有三條不同的加載路徑從原點O到達點C在彈性范圍內(nèi)，，屈服條件（6-18）在應(yīng)變空間中寫出就是。可見圖中的陰影區(qū)域是彈性范圍。路徑①沿OBC。在B點有在BC段上有解出在C點類似地，對路徑②，即階梯變形路徑OAC可求得三、算例和比較（1）用增量理論求解OCABD①②③第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二剛到達屈服，同時滿足由此得出在D點時的應(yīng)力為：不難證明沿

DC

段皆有，即應(yīng)力值不變，在C點也就仍為（2）用全量理論求解代入（6-27）式得出亦即C點的應(yīng)變i）由于加載路徑不同，雖然最終變形一樣，但最終應(yīng)力卻不同；ii）只有在比例加載的條件下，增量理論和全量理論的結(jié)果才一致。

由以上的結(jié)果可知：路徑③是比例加載路徑ODC，其上。在到達D點時，第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二

實驗觀察證實，在塑性狀態(tài)下仍可采取材料力學和彈性力學中關(guān)于扭轉(zhuǎn)的假定，即柱體在彈塑性自由扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下，截面只在自身平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，但可以發(fā)生軸向自由翹曲?！?.5柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)

考慮任意截面形狀的長柱體，在扭轉(zhuǎn)力矩T作用下的自由扭轉(zhuǎn)問題。以表示柱體單位長度的扭轉(zhuǎn)角，則小變形時的位移分量為從小應(yīng)變下的Cauchy公式得出應(yīng)變?yōu)椋阂弧⒀芯糠秶突痉匠?6-84)其中是截面的翹曲函數(shù)假定截面是單連通的，取柱體的軸線為

z

軸。第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二此式與材料的本構(gòu)關(guān)系無關(guān)，不論是彈性還是塑性時都成立。在進入塑性之后，恒有按照增量本構(gòu)關(guān)系，從剛進入塑性開始，可以推知進而在變形的一切階段均有(6-85)(6-86)在彈性時按Hooke定律求得：第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二

即在塑性階段不為零的應(yīng)力分量仍只有其中為合剪應(yīng)力。可見，在扭轉(zhuǎn)時柱體各點的應(yīng)力狀態(tài)始終是純剪切，這是一個簡單加載過程。且主應(yīng)力為：第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二二、彈性扭轉(zhuǎn)和薄膜比擬或由（6-86）式得到的應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程同時，只有一個平衡方程從（6-85）式中消去翹曲函數(shù)，得協(xié)調(diào)方程因此，可以引進彈性應(yīng)力函數(shù)，使有則平衡方程自動滿足，而協(xié)調(diào)方程（6-90）化為第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二在彈性力學中，研究了和Poisson方程（6-93）并導(dǎo)致以下結(jié)論)合剪應(yīng)力大?。篿ii）柱體截面的周界也是

=const曲線族之一，對單連通截面可令周界上iv）扭矩T與的關(guān)系可按St.Venant

條件求得：ii）合剪應(yīng)力的方向沿=const曲線的切向，也就是與的梯度方向相垂直。其中A為柱體的一個截面。v）Prandtl薄膜比擬：將薄膜張于與柱體截面邊界形狀相同的邊框上，加均勻壓力，則與薄膜的高度成正比，的大小與薄膜的斜率成正比，扭矩T與薄膜曲面下的體積成正比。第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二達到，就算達到了彈性極限狀態(tài)，相應(yīng)的截面上有一點的扭矩為彈性極限扭矩。以半徑為

a

的圓柱體為例，帶入方程（6-93）得于是在截面邊緣上最大令處導(dǎo)出

在塑性階段，平衡方程（6-91）不變，并仍可由引入應(yīng)力函數(shù)來滿足，此時

三、全塑性扭轉(zhuǎn)和沙堆比擬當材料進入塑性時，因此，按彈性考慮，只要第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二

這樣，只從平衡方程、屈服條件和應(yīng)力邊條件就能夠求出理想塑性體內(nèi)的應(yīng)力分布。這種情況叫做塑性力學中的靜定問題。則或即對于理想塑性材料，是常數(shù)，（6-99）式說明在截面上保持斜率不變。由此，Nadai提出下述沙堆比擬：將一個水平的底面做成截面的形狀，在其上堆放干沙，由于沙堆的靜止摩擦角為常數(shù)，則沙將形成一個斜率為常數(shù)的表面。因此，這表面可用來代表塑性應(yīng)力函數(shù)，只相差一個可由屈服應(yīng)力和沙堆摩擦角決定的比例因子。就是截面的塑性極限扭矩。這時，我們不用（也不再有）應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，而代之以屈服條件

第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二

仍以半徑為a的圓柱體為例，它處于全塑性扭轉(zhuǎn)狀態(tài)時，，按（6-100）式求出高度就應(yīng)為表面必然是一個圓錐，既然斜率是與（6-96）式相比可知對圓柱體

沙堆比擬的思想，不僅可直接應(yīng)用于實驗，也可用來指導(dǎo)計算三角形、矩形、任意正多角形等規(guī)則截面的柱體的塑性極限扭矩，因為這只需計算某些等斜“屋頂”下的體積。第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二剪應(yīng)力方向平行于邊界，大小為。同時我們也看到，一般來說，在截面內(nèi)部，沙堆會出現(xiàn)尖頂和棱線，在這些點和線的兩側(cè)剪應(yīng)力不連續(xù)。從沙堆比擬中看出，沙堆的梯度垂直于邊界，等線平行于邊界，每點的合它們是彈性區(qū)域收縮時的極限。當彈性區(qū)域收縮時，從不同方向擴展過來的兩個塑性區(qū)域相遇，因此會造成剪應(yīng)力間斷。

如果截面邊界上有凸角（如三角形截面和矩形截面的頂點），從彈性力學知道，在凸角處剪應(yīng)力等于零，因而盡管T增大，這里始終處于彈性階段。所以，作為彈性區(qū)域收縮極限的剪應(yīng)力間斷線必定通過這樣的凸角。反之，如果截面邊界上有凹角，從彈性力學知道，這里剪應(yīng)力無限大，因而一開始就進入塑性階段，棱線就一定不經(jīng)過這里。第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二四、彈塑性扭轉(zhuǎn)和薄膜-玻璃蓋比擬當時，柱體的截面上會存在一部分彈性區(qū)、一部分塑性區(qū)，的模為常數(shù)）。因此，提出的數(shù)學問題如下：（這是由于應(yīng)力分量在上應(yīng)該連續(xù)）。的性質(zhì)（滿足Poisson方程）和的性質(zhì)（梯度其上應(yīng)力函數(shù)分別具有，在彈性區(qū)內(nèi)滿足方程（6-93），在塑性區(qū)內(nèi)滿足（6-99），尋求應(yīng)力函數(shù)，在彈塑性區(qū)域交界線在截面邊界上都要連續(xù)Nadai指出，彈塑性交界線可以聯(lián)合應(yīng)用薄膜比擬和沙堆比擬來求解。在一塊水平平板上，挖一個具有截面形狀的孔，復(fù)蓋以薄膜。在薄膜的上面，放上一個按沙堆比擬形狀作成的等傾玻璃蓋。a)如若壓力較小時，薄膜的變形不受“屋蓋”的影響，這是彈性扭轉(zhuǎn)的情況。b)隨著壓力的增加，薄膜逐漸貼到屋蓋上，貼附的區(qū)域就是塑性區(qū)域。此時，在貼附區(qū)域以外的自由薄膜仍滿足Poisson方程，所以仍是彈性區(qū)。由此可以確定彈塑性交界線的形狀。第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二在圓截面情形，由于對稱性，可設(shè)的一個圓。在彈性區(qū)：有

右圖顯示了矩形截面柱體在彈塑性扭轉(zhuǎn)是線的變化，其中黃線以外是塑性區(qū)域。從實驗中可以看出，對一般截面的柱體，線的變化是非常復(fù)雜的。在分析計算時通常只能采用數(shù)值計算方法一步一步地將近似求出。c)最后薄膜將全部貼附在玻璃蓋上，彈性區(qū)域退化為棱線。第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二在塑性區(qū)：由處的剪應(yīng)力連續(xù)，要求由此定出彈塑性交界線的半徑為則對有(6-106)(6-105)(6-108)(6-107)第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二彈塑性邊界隨扭矩變化的規(guī)律：或即彈塑性扭轉(zhuǎn)后的卸載也相當于在反方向作用一個等值的彈性扭矩。仍以圓柱體扭轉(zhuǎn)為例，加載時的扭轉(zhuǎn)角可由（6-107）式求出為而卸載時的回彈角是因此，單位長度的殘余扭轉(zhuǎn)角為也可寫出回彈比與所加扭矩的關(guān)系為五、卸載、回彈和殘余應(yīng)力(6-109)(6-110)(6-111)(6-112)第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二其中卸載后的殘余應(yīng)力分布可計算出為:其分布下圖所示。(6-113)T加載卸載殘余應(yīng)力第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二該問題可簡化為平面應(yīng)變問題，采用柱坐標(r,θ,z),則：在軸對稱條件下：應(yīng)力邊界條件為:而筒兩端的端面條件：§6.6受內(nèi)壓的厚壁圓筒這里P是端面的軸向拉力。一、研究對象和基本方程考慮一個內(nèi)徑為

a，外徑為b的長圓柱厚壁筒在均勻內(nèi)壓

p作用下的彈塑性變形。上式中u為徑向位移。幾何關(guān)系平衡方程第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二在彈性范圍內(nèi)，本構(gòu)關(guān)系上Hooke定律:二、彈性解(6-123)（6-119）至（6-123）式構(gòu)成厚壁筒的彈性問題，其解為：(6-124)第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二其中現(xiàn)在討論在什么條件下是中間主應(yīng)力。由于可知若要是中間主應(yīng)力，以下條件應(yīng)成立：或即如果圓筒兩端是自由的，則；如果圓筒兩端是封閉的，則可見這兩種情況都符合（6-126）條件，能保證是中間主應(yīng)力。采用Tresca屈服條件。當r=a

時屈服：即屈服將首先發(fā)生在內(nèi)壁，此時(6-126)(6-125)第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二相應(yīng)的內(nèi)壓即為厚壁筒的彈性極限壓力

b）當彈性無限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受到內(nèi)壓作用時（例如對于有壓隧洞），其內(nèi)表面開始屈服時的壓力值只與周圍的材料的性質(zhì)有關(guān)，而與孔洞的半徑無關(guān)。說明：a)若在彈性范圍內(nèi)設(shè)計,對給定的a值,要提高筒所能承受的內(nèi)壓,就必須增加壁厚,但pe的值不可能超過。在設(shè)計高壓圓筒（如炮管）時應(yīng)采取其他措施（如下面將要介紹的經(jīng)過局部塑性變形使之產(chǎn)生有利的殘余應(yīng)力，以及裝配有預(yù)應(yīng)力的套筒等）來加以增強。(6-127)第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二當時，筒的內(nèi)壁首先屈服。當時，塑性區(qū)便由r=a逐漸向外擴張。設(shè)彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界處r=c，下面分別對彈性區(qū)和塑性進行計算。（1）彈性區(qū)三、彈塑性解（理想塑性材料）得出應(yīng)力分布為(6-129)將內(nèi)層塑性區(qū)對外層彈性區(qū)的壓應(yīng)力看作作用于內(nèi)徑為c外徑為b的彈性圓筒上的內(nèi)壓力。利用彈性解的結(jié)果：在r=c處，材料剛達到屈服，對外層彈性筒來說，(6-127)中的應(yīng)為。(6-124)中的應(yīng)寫成第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二進而根據(jù)彈性區(qū)的本構(gòu)方程求出（2）塑性區(qū)平衡方程為同時，仍假定為中間主應(yīng)力，采用Tresca屈服條件：將（6-132）代入（6-131）式得積分一次，并利用邊界條件定常數(shù)，則(6-130)(6-131)(6-132)第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二可見塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力只與厚壁筒內(nèi)表面的邊界條件有關(guān)，而與彈性區(qū)的應(yīng)力場無關(guān)。從而確定c

與p

的關(guān)系:（3）彈塑性邊界的確定)應(yīng)滿足的連續(xù)條件，即根據(jù)彈塑性區(qū)交界處((6-133)(6-133)第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二將（6-134）式代回（6-133）式得出當c=b時，塑性區(qū)擴展到整個圓筒，對應(yīng)的外載

p為厚壁筒的塑性極限壓力:塑性極限壓力卻是無限的，即時在塑性極限狀態(tài)下，周向應(yīng)力的最大值發(fā)生在筒外壁，它恰等于(6-135)可見，彈性極限壓力是有限的，即時（4）塑性極限狀態(tài)第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二(5)塑性區(qū)內(nèi)的位移和應(yīng)力厚壁筒塑性區(qū)應(yīng)力所在的屈服面是即這說明，在全部筒壁內(nèi)即必是彈性的，且為常數(shù)。在塑性區(qū)內(nèi)求和是靜定問題，但是要求和，就必須用到本構(gòu)關(guān)系。于是，相關(guān)連的流動法則給出范圍內(nèi)于是在下面用與Tresca屈服條件相關(guān)連的流動法則來解和第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二現(xiàn)在端面條件（6-122）可以寫成將（6-130）和（6-137）給出的和代入得到

開口圓筒ii.封閉圓筒，iii.無窮長圓筒，即平面應(yīng)變情形，此式與彈性解完全相同。這說明在完全卸去外載P

和p時，軸向殘余應(yīng)變必為零。于是于是于是之一。例如：，根據(jù)圓筒的端面條件，總可確定其中和（6-138）式中有三個參量：不難驗證，當確是中間主應(yīng)力。第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二故有積分得出其中常數(shù)C1可由r=c處的位移連續(xù)條件定出為求位移時利用體積變化的彈性公式計算比較方便，即第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二可見剛達到PS時，筒的變形相對筒本身的幾何尺寸還是小的其中設(shè)厚壁筒內(nèi)壓力增加到后實行完全卸載，卸載應(yīng)力可按彈性解計算，即四、卸載和殘余應(yīng)力(6-141)例如，取則在筒內(nèi)壁第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二(6-142)殘余應(yīng)力分布第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二在上式中p*與c間的關(guān)系由（6-134）式確定，即上面計算殘余應(yīng)力的公式，只有在完全卸去載荷后，筒內(nèi)處處都不在相反方向發(fā)生塑性變形時才有效。下面來計算保證完全卸載后不出現(xiàn)反號塑料性變形條件下的最大內(nèi)壓為了不發(fā)生反向屈服，要求(6-144)其最大值在內(nèi)壁處，等于于是，從（6-143）式得到(6-143)第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二可見，對一個反復(fù)受內(nèi)壓作用的圓筒來說，當則完全卸載后不會在相反方向引起新的塑性變形。解出但卸載時會發(fā)生反向屈服，在反復(fù)加載（如炮筒反復(fù)承受發(fā)射炮彈時的高壓）的條件下筒就會發(fā)生塑性循環(huán)（低周疲勞）破壞。因此，采用大于2.22的b/a值實際意義不大。這時可以把工作內(nèi)壓p提高到之上而筒仍處于約束塑性狀態(tài)，另一方面，內(nèi)壓值

又不能大于塑料性極限壓力ps。令：——安定狀態(tài)第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二假設(shè)材料不可壓，即變形前后體積不變的條件可寫成從而得出這說明，當計及幾何尺寸改變時，由理想塑性材料制成的厚壁筒承受內(nèi)壓的塑性極限狀態(tài)是不穩(wěn)定的。五、幾何變形對承載能力的影響當筒壁很厚時，徑向位移可能很大，以致不能忽略幾何尺寸的影響。設(shè)變形后的內(nèi)、外半徑分別為，相應(yīng)的塑性極限壓力為可見在內(nèi)壓作用下，單調(diào)增長時，是減小的。(6-146)第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二§6.7旋轉(zhuǎn)圓盤——等厚度的薄圓盤考慮轉(zhuǎn)盤從彈性狀態(tài)開始由于轉(zhuǎn)速增加而開始屈服的過程。轉(zhuǎn)盤的單位，其中為轉(zhuǎn)盤材料的質(zhì)量密度，為角速度，體積力（離心力）為r為微元的徑向坐標；則平衡方程為我們在這里只討論理想彈塑料性材料的旋轉(zhuǎn)圓的解。一、研究對象二、彈性解由于圓盤很薄，在整個厚度上可取，因此可作為平面應(yīng)力問題?；蛟O(shè)其半徑為b，厚度為h，并以均勻角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二引入應(yīng)力函數(shù)則應(yīng)力分量滿足

從柱坐標下的幾何關(guān)系中消去得變形協(xié)調(diào)方程在彈性范圍內(nèi)，以Hooke定律和（6-160）式代入（6-161）式得到其解為(6-160)(6-161)(6-162)(6-163)第四十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二代回（6-160）式得出應(yīng)力為其中積分常數(shù)應(yīng)由具體問題的邊界條件確定。對于實心圓盤，因處應(yīng)力為有限值，故，另一常數(shù)由盤邊處決定。其結(jié)