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文檔簡介

第四節(jié)重積分的應(yīng)用一、問題的提出二、曲面的面積三、質(zhì)心四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、引力六、小結(jié)思考題一、問題的提出1.能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn)

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡便2.用重積分解決問題的方法二、曲面的面積1.設(shè)曲面的方程為：在D上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為曲面S的面積元素)則故有曲面面積公式即2.若光滑曲面方程為則有3.若光滑曲面方程為則有【例1】【解】在D上無界于是半個(gè)球面的面積為整個(gè)球面的面積為【注】反常二重積分【解】補(bǔ)充動(dòng)畫演示【解】解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域?yàn)槔?.

計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.azoxyz=xy.axz

y0DaaaaxoyDxz

y02xzyoxzy2問題：曲面向哪個(gè)坐標(biāo)面投影？o只能向zox平面投影xzy2Dxzoxzy2Dxzo三、質(zhì)心1.平面薄片的質(zhì)心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法(二重積分表示)【解】【解】【例8】薄片關(guān)于軸對稱【解】2.空間物體的質(zhì)心其中（推廣）(三重積分表示)四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量【解】2.空間立體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量點(diǎn)到x軸的距離平方點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方【例10】【解】薄片對

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)五、引力【解】由積分區(qū)域的對稱性知所求引力為【推廣】空間立體對質(zhì)點(diǎn)的引力（略）【幾何應(yīng)用】

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