圓的標準方程及切線問題

圓的標準方程及切線問題第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二求：圓心是C(a,b)，半徑是r的圓的方程xCMrOy說明：1、特點：明確給出了圓心坐標和半徑。2、確定圓的方程必須具備三個獨立條件。設M(x,y)是圓上任意一點，根據(jù)定義，點M到圓心C的距離等于r，所以圓C就是集合P={M||MC|=r}由兩點間的距離公式，點M適合的條件可表示為：(x-a)2+(y-b)2=r把上式兩邊平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二(x-3)2+(y-4)2=5練習：1、寫出下列各圓的方程： (1)圓心在點C(3,4)，半徑是 (2)經(jīng)過點P(5,1),圓心在點C(8,-3)5(x-8)2+(y+3)2=25補充練習： 寫出下列各圓的圓心坐標和半徑： (1)(x-1)2+y2=6 (2)(x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2(1,0)6(-1,2)3(-a,0)|a|第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二例1：求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。CyxOM解：設所求圓的方程為： (x-1)2+(y-3)2=r2因為圓C和直線3x-4y-7=0相切所以圓心C到這條直線的距離等于半徑r根據(jù)點到直線的距離公式，得|3×1—4×3—7|32+(-4)2=516r=因此，所求圓的方程是(x-1)2+(y-3)2=25256第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二練習2:已知一個圓的圓心在原點，并與直線4x+3y-70=0相切，求圓的方程。x2+y2=196第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二例2已知圓的方程是，求經(jīng)過圓上一點的切線的方程。yxO.,),(.,.12002202000000000ryyxxryxMxxyxyyMyxkxykkkkOMOM=+=+--=--==-=

所求的切線方程是在圓上,所以因為點的切線方程是經(jīng)過點，解:設切線的斜率為則當點M在坐標軸上時，可以驗證，上面方程同樣適用.過圓上一點作切線第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二例2已知圓的方程是，求經(jīng)過圓上一點的切線的方程。P(x,y

)由勾股定理：OM2+MP2=OP2解法二（利用平面幾何知識）：在直角三角形OMP中yxOx0x

+y0y=r2第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二P(x,y

)yxO例2已知圓的方程是，求經(jīng)過圓上一點的切線的方程。解法三（利用平面向量知識）：OMMP=0OMMPx0x

+y0y=r2x2

+

y2=r2過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二例3、若圓方程為在圓外，求過點P與圓相切的直線方程。yx解：1)驗證即斜率k不存在時直線是否與圓相切。2）設切線的斜率為k,則直線方程為所以，圓心到切線的距離為解出k，進而求出切線方程。過圓外一點作切線第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二例4、已知圓切線的斜率為k，求證：圓的切線方程為xy證明：設切線方程為y=kx+b，則圓心到切線的距離為已知切線斜率求切線第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二對于平面幾何中的切割線定理與圓內相交弦定理，如圖，兩個定理有統(tǒng)一的形式：PA*PB=PC*PD=K（常量）且有以下結論；當P點在圓外時，常量K就是通過P點的切線長PT的二次冪，即；當P點在圓內時，常量是與過點P的直徑垂直的弦長一半的平方，即用解析幾何闡述一下上述定理：設圓的方程為：若P點在圓外，則過P點的圓的切線長：若P點在圓內，則過P點且與過P點的直徑垂直的弦長的一半證明只需要用到勾股定理即可。顯然，若P點在圓上，則切線長第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二例5、如圖，過圓外一點P（a,b)作圓的兩條切線，切點為A、B，求直線AB的方程。xy解：設切點A、B的坐標分別為則切線AP、BP的方程分別為由以上二式可以看出：都適合方程它是一條直線方程，而過A、B的直線只有一條。切點弦第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二練習3：寫出過圓x2+y2=10上一點M（2，)的切線方程。6練習4：已知圓的方程是x2+y2=1，求：（1）斜率等于1的切線的方程；2x+y=10662（2）在y軸上截距是的切線方程。y=±x+2所以切線方程為：y=x±2提示：設切線方程為y=x+b,由圓心到切線的距離等于半徑1，得：|b|12+(-1)2=1解得b=±2第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二例6：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到0.01m)yx解：建立如圖所示的坐標系，設圓心坐標是（0，b）圓的半徑是r,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2。把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圓的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把點P2的橫坐標x=-2代入圓的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因為y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m。第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二1、求圓心C在直線x+2y+4=0上，且過兩定點A(-1,1)、B(1,-1)的圓的方程。2、從圓x2+y2=10外一點P(4,2)向該圓引切線，求切線方 程。課后思考題：x+3y=10或3x-y=10(x+)2+(y+)2=3434950第十五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二小結(1)圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的標準方程為

(x-a)2+(y-b)2=r2當圓心在原點時a=b=0，圓的標準方程為：