小學數(shù)學基本思想方法與解題策略分析

小學數(shù)學基本思想方法與解題策略分析第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二一、植樹問題題目(第四屆教師解題比賽試題）1．48名學生在操場上做游戲。大家圍成一個正方形，每邊人數(shù)相等。四個頂點都有人，每邊各有

名學生。2．圓形滑冰場的一周全長是150米。如果沿著這一圈每隔15米安裝一盞燈，一共需要裝

盞燈。第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法教材：四年級下冊“數(shù)學廣角”思想方法植樹問題通常是指沿著一定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關系就不同。在現(xiàn)實生活中類似的問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、站隊中的方陣，等等，它們中都隱藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關系問題，我們就把這類問題統(tǒng)稱為植樹問題。

第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法教材：四年級下冊“數(shù)學廣角”思想方法在植樹問題中“植樹”的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線，比如正方形、長方形或圓形等等。即使是關于一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形，例如，兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽?？倲?shù)=間隔數(shù)

總數(shù)=間隔數(shù)＋1

總數(shù)=間隔數(shù)－1

第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法1．48名學生在操場上做游戲。大家圍成一個正方形，每邊人數(shù)相等。四個頂點都有人，每邊各有

名學生。解答：48÷4＋1=13。2．圓形滑冰場的一周全長是150米。如果沿著這一圈每隔15米安裝一盞燈，一共需要裝

盞燈。解答：150÷15=10。第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二二、“抽屜(鴿巢)”問題題目(第四屆教師解題比賽試題）3．把紅、黃、藍、白四種顏色的球各10個放入到一個袋子里。從中至少取出____個球，可以保證取到三個顏色相同的球。第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二“抽屜(鴿巢)”原理教材：六年級下冊“數(shù)學廣角”思想方法“抽屜原理”的兩種形式。最簡單的“抽屜原理”：把m個物體任意分放進n個空抽屜里（m＞n，n是非0自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個物體?！俺閷显怼币话愕男问剑喊讯嘤趉n個物體任意分放進n個空抽屜里（k是正整數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了至少（k+1）個物體。第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法3．把紅、黃、藍、白四種顏色的球各10個放入到一個袋子里。從中至少取出____個球，可以保證取到三個顏色相同的球。解答：至少取出9個球，可以保證取到三個顏色相同的球。在這里“抽屜數(shù)”為4，K＋1=3，K=2，2K=8，大于2K的整數(shù)最小為9。第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二三、“找次品”問題題目(第四屆教師解題比賽試題）4．有15盒餅干，其中的14盒質(zhì)量相同，另有1盒少了幾塊，如果用天平稱，至少稱______次保證可以找出這盒較輕的餅干。第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法教材：五年級下冊“數(shù)學廣角”思想方法用天平“找次品”的最優(yōu)策略主要基于以下兩點：一是把待測物品分成3份；二是要分得盡量平均，能夠均分的就平均分成3份，不能均分的，也應該使多的一份與少的一份只相差1。第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法4．有15盒餅干，其中的14盒質(zhì)量相同，另有1盒少了幾塊，如果用天平稱，至少稱______次保證可以找出這盒較輕的餅干。15(5，5，5)→5(2，2，1)→2(1，1)，稱3次。第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二四、“雞兔同籠”問題題目(第四屆教師解題比賽試題）5．在一個盒子里有大、小兩種鋼珠共30個，共重266克，已知大鋼珠每個11克，小鋼珠每個7克，這個盒中有大鋼珠_____

個，有小鋼珠_____個。第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法教材：六年級上冊“數(shù)學廣角”思想方法“雞兔同籠”問題教材主要介紹三種方法：列表、假設法和列方程?！凹僭O法”是一種算術方法，但有其獨特的特點，是一個假設——計算——推理——解答的過程。列方程則是一種代數(shù)解法，根據(jù)數(shù)量關系列出方程并求解即可。第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法大鋼珠…20191817161514小鋼珠…10111213141516重量…290286282278274270266解法一：列表法解法二：(假設法)假設全部是大鋼珠，則鋼珠的重量為30×11=330，這樣就多出330-266=64克，一只大鋼珠比一個小鋼珠多4克，64÷4=16個小鋼珠。大鋼珠有14個。解法三：設大鋼珠有個，11x＋7(30－x)=266，得x=14。第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二五、等量替換問題題目(第四屆教師解題比賽試題）6．如圖①中有三臺天平，通過觀察前兩臺天平可以發(fā)現(xiàn)5個“△”與3個“○”一樣重；1個“○”與1個“△”和2個“□”一樣重，這樣可推知，1個“△”和1個“○”與

個“□”一樣重。圖①第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法教材：三年級下冊“數(shù)學廣角”思想方法等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎。等量替換思想用等式的性質(zhì)來體現(xiàn)就是等式的傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c。第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法6．由于1個“○”與1個“△”和2個“□”一樣重，所以3個“○”與3個“△”和6個“□”一樣重。又5個“△”與3個“○”一樣重，即5個“△”與3個“△”和6個“□”一樣重，也就是即2個“△”與6個“□”一樣重，1個“△”和3個“□”一樣重，再根據(jù)1個“○”與1個“△”和2個“□”一樣重，這樣可推知，1個“△”和1個“○”與8個“□”一樣重。第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二六、排列組合問題題目(第四屆教師解題比賽試題）

13．六人參加乒乓球比賽，每兩人賽一場，分勝負，無平局。最終他們勝的場數(shù)分別是a，b，b，c，d，d，且，那么a等于

。19．已知一個長方體的長、寬、高分別是10厘米，5厘米，5厘米，用6種不同的顏色來涂這個長方體的6個面，使不同的面涂有不同的顏色，共有

種不同的涂法。（注：將長方體任意旋轉(zhuǎn)后仍然不同的涂色法，才被認為是不同的）第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法教材：三年級上冊“數(shù)學廣角”思想方法

分類計數(shù)(加法)原理和分步計數(shù)(乘法)原理。分類計數(shù)原理（也稱加法原理）完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法。分步計數(shù)原理（也稱乘法原理）完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法。第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法教材：三年級上冊“數(shù)學廣角”思想方法

排列數(shù)：

組合數(shù)：第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法

13．六人參加乒乓球比賽，每兩人賽一場，分勝負，無平局。則一共要比賽15場(即從6取2的組合數(shù))，并且最多勝5場。若a=3，則b=2，c=1，d=0，若a＋b＋b＋c＋d＋d=8<15，不合理。若a=4，則b最大為3，c最大為2，d最大為1，那么a＋b＋b＋c＋d＋d=14<15，不合理。因此a=5。19．÷2÷4=6×5×4×3×2÷4÷2=90。

第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二七、枚舉問題題目(第四屆教師解題比賽試題）

7．在10個盒子中放乒乓球，每個盒子中球的個數(shù)不能少于11，不能是17，也不能是6的倍數(shù)，并且彼此不同，那么至少需要

個乒乓球。15．有5種不同價格的禮品分別是2元、5元、8元、11元、14元以及5種不同價格的包裝盒1元、3元、5元、7元、9元，一個禮品配一個包裝盒，共能配成

套不同價格的禮品。第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法枚舉法，常常稱之為窮舉法，是指從可能的集合中一一枚舉各個元素，用題目給定的約束條件判定哪些是無用的，哪些是有用的。能使命題成立者，即為問題的解。采用枚舉法解題的基本思路：（1）確定枚舉對象、枚舉范圍和判定條件；（2）一一枚舉可能的解，驗證是否是問題的解第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法7．在10個盒子中放乒乓球，每個盒子中球的個數(shù)不能少于11，不能是17，也不能是6的倍數(shù)，并且彼此不同，那么至少需要

個乒乓球。解答：根據(jù)條件列出滿足條件的各數(shù)再求和，即：11＋13＋14＋15＋16＋19＋20＋21＋22＋23=174。第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二

15．有5種不同價格的禮品分別是2元、5元、8元、11元、14元以及5種不同價格的包裝盒1元、3元、5元、7元、9元，一個禮品配一個包裝盒，共能配成

套不同價格的禮品。方法一：一一列舉后去掉重復的。25-6=19

方法二：解：任意的搭配共有25種，其中有價格重復的情況。由于禮品和包裝盒的價格分別是公差為3和2的等差數(shù)列，故當禮品和包裝盒的價格分別差6時，會出現(xiàn)價格重復的情況。共有3×2=6種，所以不同價格的禮品共有25-6=19種。第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二八、因數(shù)與倍數(shù)問題題目(第四屆教師解題比賽試題）

8．在一條3000米長的新公路的一側(cè)，從一端開始等距離立電線桿，按原設計，電線桿間隔50米，已挖好了坑。若間隔距離改為60米，則需要重新挖

個坑，有

個原來挖好的坑將廢棄不用。

14．一個數(shù)恰好有12個約數(shù)，且比1000大，那么滿足條件的最小的自然數(shù)是

。第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法求一個數(shù)因數(shù)的個數(shù)：先分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式

因數(shù)個數(shù)為(n1+1)(n2+1)……(nk+1)

第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法

8．解答：3000÷50＋1=61，3000÷60＋1=51，50與60的最小公倍數(shù)是300，3000÷300＋1=11，51－11=40，61－11=50。答:則需要重新挖40個坑，有50個原來挖好的坑將廢棄不用。

第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法

14．12=1×12=2×6=3×4=3×2×2，顯然，這個數(shù)能被某個質(zhì)數(shù)的冪(冪的次數(shù)最少是2)整除，由于22=4，32=9，52=25，72=49，考察1001，1002，1003，1005，1006，1007，1009，1010，1011均不能被4，9，25，49整除，1004=4×251，1008=9×112=9×8×7=32×23×7，其約數(shù)為3×4×2=24個，由于1012=22×11×23，其約數(shù)為3×2×2=12個，結果是1012。

第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二九、追及問題題目(第四屆教師解題比賽試題）

11．甲、乙兩人在400米跑道上練習長跑，甲的速度與乙的速度的比為5:3，若兩人同時出發(fā)，則乙跑了

圈時，甲比乙多跑了4圈。第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二思想方法兩物體在同一直線或封閉圖形上運動所涉及的追及、相遇問題，通常歸為追及問題。追及：速度差×追及時間=追及路程相遇：速度和×相遇時間=相遇路程第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法解答：本題的速度比為5:3，則在時間相同時跑的路程的比亦為5:3。設乙跑了x圈時，甲比乙多跑了4圈。則X－X=4，得=6。

第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二十、有關幾何求積問題題目(第四屆教師解題比賽試題）

18．如右圖④，多邊形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，則多邊形ABCFDE的面積是

。第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二題目(第三屆教師解題比賽試題）如圖2：△OEF中，△OAB，△ABC,△BCD，△CDE，△DEF的面積都等于1。那么，陰影△CDF的面積為_______。第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二十、有關幾何求積問題計算中常用的有關知識：等底等高的三角形面積相等。高相等的三角形面積的比等于底邊長的比。策略轉(zhuǎn)化策略特殊化策略第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答方法

解答：將圖形作滿足條件的特殊化改造。在AE(或AE的延長線上)、CF(或CF的延長線上)取AE′=CF′=3.5，過點E′和F′分別作AB和BC平行線，交于D′，則D′E′與D′F′垂直且D′E′＋D′F′=AB－CF′＋BC－AE′=8－3.5＋12－3.5=13，則多邊形ABCF′D′E′滿足原題的條件。CF′=3.5，D′E′=4.5，D′F′=8.5，多邊形ABCF′D′E′的面積=8×12－4.5×8.5=96－38.25=57.75，因此多邊形ABCFDE的面積是57.75。第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二小學數(shù)學有關基礎知識理論選講關于除法和有余除法除法定義：已知兩個數(shù)a、b，要求一個數(shù)q，使q與b的積等于a，這種運算叫做除法。但除數(shù)b不能是0，這是因為，如果b=0，那么：①當a≠0，由于任何數(shù)乘0都不可能等于非0數(shù)a，所以a÷0商不存在。②當a≠0，由于任何數(shù)乘0都等于0，所以a÷b商是不確定的。第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二小學數(shù)學有關基礎知識理論選講關于除法和有余除法整除的定義整數(shù)a除以非0自然數(shù)b，如果存在整數(shù)q，能使a=bq，這時叫做b能整除a。有余數(shù)除法已知整數(shù)a和b，要求兩個整數(shù)q、r，使q和r滿足下列條件：a=bq+r，并且r<b,這樣的運算叫做有余數(shù)除法，記作a÷b=q（余r），或a÷b=q……r。q叫做不完全商(為簡便也簡稱商)，r叫做余數(shù)。第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二小學數(shù)學有關基礎知識理論選講數(shù)的整除特征一個整數(shù)能被某非0自然數(shù)整除的特征：這個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)，與對應的10的冪除以