時(shí)間變換14階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一課件

第一章信號(hào)與系統(tǒng)1.1

緒言

一、信號(hào)的概念二、系統(tǒng)的概念1.2信號(hào)的描述與分類

一、信號(hào)的描述二、信號(hào)的分類1.3信號(hào)的基本運(yùn)算

一、加法和乘法二、時(shí)間變換1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

一、階躍函數(shù)

二、沖激函數(shù)

三、沖激函數(shù)的性質(zhì)

四、序列δ(k)和ε(k)1.5

系統(tǒng)的性質(zhì)及分類

一、系統(tǒng)的定義二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì)

1.6系統(tǒng)的描述

一、連續(xù)系統(tǒng)二、離散系統(tǒng)

1.7LTI系統(tǒng)分析方法概述

什么是信號(hào)？什么是系統(tǒng)？為什么把這兩個(gè)概念連在一起？一、信號(hào)的概念1.消息(message):人們常常把來自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱為消息。2.信息(information):通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。本課程中對(duì)“信息”和“消息”兩詞不加嚴(yán)格區(qū)分。1.1緒論它是信息論中的一個(gè)術(shù)語。3.信號(hào)(signal):信號(hào)是信息的載體。通過信號(hào)傳遞信息。

信號(hào)我們并不陌生，如剛才鈴聲—聲信號(hào)，表示該上課了；十字路口的紅綠燈—光信號(hào)，指揮交通；電視機(jī)天線接受的電視信息—電信號(hào)；廣告牌上的文字、圖象信號(hào)等等。為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號(hào)。二、系統(tǒng)的概念一般而言，系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。如手機(jī)、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號(hào)。信號(hào)的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)的基本作用是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號(hào)。系統(tǒng)輸入信號(hào)激勵(lì)輸出信號(hào)響應(yīng)1.2信號(hào)的描述和分類一、信號(hào)的描述信號(hào)是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時(shí)間或位置變化的物理量。信號(hào)按物理屬性分：電信號(hào)和非電信號(hào)。它們可以相互轉(zhuǎn)換。電信號(hào)容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。本課程討論電信號(hào)---簡(jiǎn)稱“信號(hào)”。電信號(hào)的基本形式：隨時(shí)間變化的電壓或電流。描述信號(hào)的常用方法（1）表示為時(shí)間的函數(shù)（2）信號(hào)的圖形表示--波形“信號(hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。二、信號(hào)的分類1.確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，稱為確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào)。如正弦信號(hào)。若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性，如在某時(shí)刻取某一數(shù)值的概率，這類信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)或不確定信號(hào)。電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號(hào)就是兩種典型的隨機(jī)信號(hào)。

研究確定信號(hào)是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)。本課程只討論確定信號(hào)。2.連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)根據(jù)信號(hào)定義域的特點(diǎn)可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)。在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào)。實(shí)際中也常稱為模擬信號(hào)。這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域—時(shí)間是連續(xù)的，但可含間斷點(diǎn)，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。值域連續(xù)值域不連續(xù)（1）連續(xù)時(shí)間信號(hào)：僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。實(shí)際中也常稱為數(shù)字信號(hào)。這里的“離散”指信號(hào)的定義域—時(shí)間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余時(shí)間無定義。如右圖的f(t)僅在一些離散時(shí)刻tk(k=0,±1,±2,…)才有定義，其余時(shí)間無定義。相鄰離散點(diǎn)的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號(hào)可表示為f(kT)，簡(jiǎn)寫為f(k)，這種等間隔的離散信號(hào)也常稱為序列。其中k稱為序號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)：上述離散信號(hào)可簡(jiǎn)畫為用表達(dá)式可寫為或?qū)憺閒(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào)m的序列值稱為第m個(gè)樣點(diǎn)的“樣值”。3.周期信號(hào)和非周期信號(hào)

周期信號(hào)(periodsignal)是定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時(shí)間T(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號(hào)f(k)滿足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。不具有周期性的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。例1

判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。（1）sin2t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為

ω1=2rad/s

，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為

ω2=3rad/s

，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。例2

判斷正弦序列f(k)=sin(βk)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…式中β稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見：僅當(dāng)2π/β為整數(shù)時(shí)，正弦序列才具有周期N=2π/β。當(dāng)2π/β為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2π/β為無理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列。例3

判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)解（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的數(shù)字角頻率分別為β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1=8，N1=4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。（2）sin(2k)的數(shù)字角頻率為β1=2rad；由于2π/β1=π為無理數(shù)，故f2(k)=sin(2k)為非周期序列

。由上面幾例可看出：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。4．能量信號(hào)與功率信號(hào)

將信號(hào)f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時(shí)功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號(hào)的能量E（2）信號(hào)的功率P若信號(hào)f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。此時(shí)P=0若信號(hào)f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。此時(shí)E=∞

相應(yīng)地，對(duì)于離散信號(hào)，也有能量信號(hào)、功率信號(hào)之分。若滿足的離散信號(hào)，稱為能量信號(hào)。若滿足的離散信號(hào)，稱為功率信號(hào)。時(shí)限信號(hào)(僅在有限時(shí)間區(qū)間不為零的信號(hào))為能量信號(hào);周期信號(hào)屬于功率信號(hào)，而非周期信號(hào)可能是能量信號(hào)，也可能是功率信號(hào)。有些信號(hào)既不是屬于能量信號(hào)也不屬于功率信號(hào)，如f(t)=et。5．一維信號(hào)與多維信號(hào)

從數(shù)學(xué)表達(dá)式來看，信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。

語音信號(hào)可表示為聲壓隨時(shí)間變化的函數(shù)，這是一維信號(hào)。而一張黑白圖像每個(gè)點(diǎn)(像素)具有不同的光強(qiáng)度，任一點(diǎn)又是二維平面坐標(biāo)中兩個(gè)變量的函數(shù)，這是二維信號(hào)。還有更多維變量的函數(shù)的信號(hào)。本課程只研究一維信號(hào)，且自變量多為時(shí)間。6．因果信號(hào)與反因果信號(hào)

常將t=0時(shí)接入系統(tǒng)的信號(hào)f(t)[即在t<0，f(t)=0]稱為因果信號(hào)或有始信號(hào)。階躍信號(hào)是典型的一個(gè)。而將t≥0，f(t)=0的信號(hào)稱為反因果信號(hào)。還有其他分類，如實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)；左邊信號(hào)與右邊信號(hào)等等。1.3信號(hào)的基本運(yùn)算一、信號(hào)的＋、－、×運(yùn)算兩信號(hào)f1(·)和f2

(·)的相+、－、×指同一時(shí)刻兩信號(hào)之值對(duì)應(yīng)相加減乘。如二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算

1.反轉(zhuǎn)將f

(t)→f

(–t)，f

(k)→f

(–k)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如

2.平移將f

(t)→f

(t–t0)，f

(k)→f

(t–k0)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如右移t→t–1左移t→t+1平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再反轉(zhuǎn)f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反轉(zhuǎn)f

(t)→f

(–t)畫出f

(2–t)。②再平移f

(–t)→f

(–t+2)左移右移=f

[–(t–2)]注意：是對(duì)t的變換！

3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）將f

(t)→f

(at)，稱為對(duì)信號(hào)f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則展開。如t→2t

壓縮t→0.5t

展開對(duì)于離散信號(hào)，由于f

(ak)僅在為ak

為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合已知f

(t)，畫出f

(–4–2t)。三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對(duì)時(shí)間t進(jìn)行。壓縮，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)壓縮，得f

(2t)右移2，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。

若已知f

(–4–2t)，畫出f

(t)。反轉(zhuǎn)，得f

(2t–4)展開，得f

(t–4)左移4，得f

(t)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)。研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)（或分配函數(shù)）的理論。這里將直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。一、階躍函數(shù)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個(gè)函數(shù)序列γn(t)如圖所示。n→∞階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號(hào)f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分二、沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由狄拉克最早提出）也可采用下列直觀定義：對(duì)γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)。

高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對(duì)稱窄脈沖。

沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求導(dǎo)n→∞n→∞三、沖激函數(shù)的性質(zhì)

1.與普通函數(shù)f(t)的乘積——取樣性質(zhì)若f(t)在t=0、t=a處存在，則

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–a)=f(a)δ(t–a)0ε(t)

2.沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱沖激偶）

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)證明：[f(t)δ(t)]’=f(t)δ’(t)+f’(t)δ(t)f(t)δ’(t)=[f(t)δ(t)]’–f’(t)δ(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)δ’(t)的定義：δ(n)(t)的定義：

3.δ(t)的尺度變換證明見教材P20推論:(1)δ(2t)=0.5δ(t)(2)當(dāng)a=–1時(shí)所以，δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)，

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)已知f(t)，畫出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)壓縮，得g(2t)4.復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根ti

(i=1，2，…，n)ε[f(t)]圖示說明：例f(t)=t2–4ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)一般地，這表明，δ[f(t)]是位于各ti處，強(qiáng)度為的n個(gè)沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]無意義。這兩個(gè)序列是普通序列。（1）單位(樣值)序列δ(k)的定義取樣性質(zhì)：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)例三、序列δ(k)和ε(k)（2）單位階躍序列ε(k)的定義（3）ε(k)與δ(k)的關(guān)系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類一、系統(tǒng)的定義若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。電系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側(cè)重于局部，系統(tǒng)側(cè)重于全部。電路、系統(tǒng)兩詞通用。二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì)可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類的方法。下面討論幾種常用的分類法。1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)也是連續(xù)信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為連續(xù)系統(tǒng)。若系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)均是離散信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為離散系統(tǒng)。2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。3.單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)4.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。（1）線性性質(zhì)系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)所引起的響應(yīng)y(·)可簡(jiǎn)記為

y(·)=T[f(·)]線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。若系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)增大a倍時(shí)，其響應(yīng)y(·)也增大a倍，即

T

[af

(·)]=aT

[f(·)]則稱該系統(tǒng)是齊次的。若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)f1(·)與f2(·)之和的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)所引起的響應(yīng)之和，即

T

[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]則稱該系統(tǒng)是可加的。若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]（2）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){f

(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。完全響應(yīng)可寫為

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零狀態(tài)響應(yīng)為

yf(·)=T[{f

(·)},{0}]零輸入響應(yīng)為

yx(·)=T[{0}，{x(0)}]當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：②零狀態(tài)線性：

T[{af

(·)},{0}]=aT[{f

(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1

(·)},{0}]+T[{f2

(·)},{0}]或

T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]③零輸入線性：

T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]①可分解性：

y

(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f

(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yf(t)=2f

(t)+1，yx(t)=3x(0)+1顯然，y

(t)≠yf(t)＋yx(t)不滿足可分解性，故為非線性（2）

yf(t)=|f

(t)|，

yx(t)=2x(0)

y

(t)=yf(t)+yx(t)滿足可分解性；由于T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayf(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）

yf(t)=2f

(t),yx(t)=x2(0)，顯然滿足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayx(t)不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yf(t)+yx(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。5.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。（1）時(shí)不變性質(zhì)若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間，即若

T[{0}，f(t)]=yf(t)則有

T[{0}，f(t-

td)]=yf(t

-

td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時(shí)不變性（或移位不變性）。例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yf

(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）

yf

(t)=tf

(t)

（3）yf(t)=f

(–t)解(1)令g

(k)=f(k–kd)T[{0}，g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd

–1)而yf

(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd

–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yf

(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。(2)令g

(t)=f(t–td)T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yf

(t–td)=(t–td)f

(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf

(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。(3)令g

(t)=f(t–td),T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yf

(t–td)=f

[–(t–td)]，顯然

T[{0}，f(t–td)]≠yf

(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。直觀判斷方法：

若f

(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。

（2）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性本課程重點(diǎn)討論線性時(shí)不變系統(tǒng)(LinearTime-Invariant)，簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng)。①微分特性：若f(t)→yf(t)，則f’(t)→y’

f(t)②積分特性：若f(t)→yf(t)，

則6.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng)。即對(duì)因果系統(tǒng)，當(dāng)t<t0

，f(t)=0時(shí)，有t<t0

，yf(t)=0。如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yf(t)=3f(t–1)而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：(1)yf(t)=2f(t+1)(2)yf(t)=f(2t)因?yàn)?，令t=1時(shí)，有yf(1)=2f(2)因?yàn)?，若f(t)=0，t<t0

，有yf(t)=f(2t)=0,t<0.5t0

。例某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，全響應(yīng)

y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)

y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=

+2f1(t-1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3f(t)。解設(shè)當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1x(t)、y1f(t)。當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2x(t)、y2f(t)。

由題中條件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得

y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得

y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào)f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改寫成

y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)f1(t)→y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性=–3δ(t)+[4–πsin(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性f1(t–1)→y1f(t–1)={–4+cos[π(t–1)]}ε(t–1)由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入f3(t)=

+2f1(t–1)時(shí)，

y3f(t)=

+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4–πsin(πt)]ε(t)+2{–4+cos[π(t–1)]}ε(t–1)7.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如yf(k)=f(k)+f(k-1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而是不穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，?dāng)f(t)=ε(t)有界，當(dāng)t→∞時(shí)，它也→∞，無界。1.5系統(tǒng)的描述描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。一、連續(xù)系統(tǒng)1.解析描述——建立數(shù)學(xué)模型圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程。抽去具有的物理含義，微分方程寫成這個(gè)方程也可以描述下面的一個(gè)二階機(jī)械減振系統(tǒng)。其中，k為彈簧常數(shù)，M為物體質(zhì)量，C為減振液體的阻尼系數(shù)，x為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運(yùn)動(dòng)方程為能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng)。2.系統(tǒng)的框圖描述上述方程從數(shù)學(xué)角度來說代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分、相加運(yùn)算。將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號(hào)表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡(jiǎn)稱框圖?；静考卧校悍e分器：加法器：數(shù)乘器：積分器的抗干擾性比微分器好。系統(tǒng)模擬：實(shí)際系統(tǒng)→方程→模擬框圖

→實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）→指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)例2：已知y”(t)+3y’(t)+2y(t)=4f’(t)+f(t)，畫框圖。解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推導(dǎo)出y(t)=4x’(t)