概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類) 第四版第五章課后習(xí)題答案手動(dòng)截圖版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)習(xí)題答案全

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答第一章隨機(jī)事件及其概率PAGEPAGE32為避免亂碼，手動(dòng)截圖。（不得不說學(xué)習(xí)空間打開一道題的答案就要打開一個(gè)網(wǎng)頁的設(shè)置太麻煩了）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)（第四版）題解答第一章隨機(jī)事件及其概率·樣本空間·事件的關(guān)系及運(yùn)算一、任意拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。設(shè)事件表示“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)能被3整除”．（1）寫出試驗(yàn)的樣本點(diǎn)及樣本空間；

（2）把事件及分別表示為樣本點(diǎn)的集合；

（3）事件分別表示什么事件？并把它們表示為樣本點(diǎn)的集合．解：設(shè)表示“出現(xiàn)點(diǎn)”，則（1）樣本點(diǎn)為；樣本空間為（2）；（3），表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”；，表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不能被3整除”；，表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)能被2或3整除”；，表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)能被2整除且能被3整除”；，表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)既不能被2整除也不能被3整除”二、寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及各個(gè)事件中的樣本點(diǎn)：

（1）同時(shí)擲三枚骰子，記錄三枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和．—“點(diǎn)數(shù)之和大于10”，—“點(diǎn)數(shù)之和小于15”．

（2）一盒中有5只外形相同的電子元件，分別標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4，5．從中任取3只，—“最小號(hào)碼為1”．

解：(1)設(shè)表示“點(diǎn)數(shù)之和等于”，則；；

(2)設(shè)表示“出現(xiàn)號(hào)碼為”，則三、設(shè)為三個(gè)事件，用事件之間的運(yùn)算表示下列事件：

(1)發(fā)生,與都不發(fā)生；

(2)都發(fā)生；

(3)中至少有兩個(gè)發(fā)生；

(4)中至多有兩個(gè)發(fā)生．解：(1)；(2)；(3)或(4)或或四、一個(gè)工人生產(chǎn)了n個(gè)零件，以表示他生產(chǎn)的第個(gè)零件是合格品（）．用表示下列事件：

（1）沒有一個(gè)零件是不合格品；

（2）至少有一個(gè)零件是不合格品；

（3）僅有一個(gè)零件是不合格品；

（4）至少有一個(gè)零件不是不合格品．解：(1)；(2)或；(3)(4)或第二章概率的古典定義·概率加法定理一、電話號(hào)碼由七個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可以是0，1，2，…，9中的任一個(gè)數(shù)（但第一個(gè)數(shù)字不能為0），求電話號(hào)碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率．解：基本事件總數(shù)為有利事件總數(shù)為

設(shè)表示“電話號(hào)碼是由完全不同的數(shù)字組成”，則二、把十本書任意地放在書架上，求其中指定的三本書放在一起的概率．解：基本事件總數(shù)為

指定的三本書按某確定順序排在書架上的所有可能為種；這三本書按確定的順序放在書架上的所以可能的位置共種；這三本書的排列順序數(shù)為；故有利事件總數(shù)為(亦可理解為設(shè)表示“指定的三本書放在一起”，則三、為了減少比賽場(chǎng)次，把二十個(gè)隊(duì)任意分成兩組（每組十隊(duì)）進(jìn)行比賽，求最強(qiáng)的兩個(gè)隊(duì)被分在不同組內(nèi)的概率．

解：20個(gè)隊(duì)任意分成兩組（每組10隊(duì)）的所以排法，構(gòu)成基本事件總數(shù)；兩個(gè)最強(qiáng)的隊(duì)不被分在一組的所有排法，構(gòu)成有利事件總數(shù)

設(shè)表示“最強(qiáng)的兩隊(duì)被分在不同組”，則四、某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有100個(gè)，其中有5個(gè)次品．從這批產(chǎn)品中任取一半來檢查，求發(fā)現(xiàn)次品不多于1個(gè)的概率．

解：設(shè)表示“出現(xiàn)的次品為件”，表示“取出的產(chǎn)品中次品不多于1個(gè)”，則因?yàn)椋远?/p>

故五、一批產(chǎn)品共有200件,其中有6件廢品．求(1)任取3件產(chǎn)品恰有1件是廢品的概率;(2)任取3件產(chǎn)品沒有廢品的概率;(3)任取3件產(chǎn)品中廢品不少于2件的概率．

解：設(shè)表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有1件廢品”；表示“取出的3件產(chǎn)品中沒有廢品”；表示“取出的3件產(chǎn)品中廢品不少于2件”，則(1)(2)(3)

六、設(shè)．求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率．解：因?yàn)椋?，從而可推出設(shè)表示“A,B,C至少有一事件發(fā)生”，則，于是有第三章條件概率與概率乘法定理·全概率公式與貝葉斯公式一、設(shè)求．解：因?yàn)?，所以，即二、某人忘記了電話?hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求他撥號(hào)不超過兩次而接通所需電話的概率．若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？解：設(shè)表示“第一次撥通”，表示“第二次撥通”，表示“撥號(hào)不超過兩次而撥通”（1）（2）

三、兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.02．加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍．

（1）求任意取出的零件是合格品的概率；

（2）如果任意取出的零件是廢品，求它是第二臺(tái)車床加工的概率．解：設(shè)表示“第臺(tái)機(jī)床加工的零件”；表示“出現(xiàn)廢品”；表示“出現(xiàn)合格品”

（1）

（2）四、獵人在距離100米處射擊一動(dòng)物，擊中的概率為0.6；如果第一次未擊中，則進(jìn)行第二次射擊，但由于動(dòng)物逃跑而使距離變?yōu)?50米；如果第二次又未擊中，則進(jìn)行第三次射擊，這時(shí)距離變?yōu)?00米．假定擊中的概率與距離成反比，求獵人三次之內(nèi)擊中動(dòng)物的概率．解：設(shè)表示“第次擊中”，則由題設(shè)，有，得，從而有

，

設(shè)表示“三次之內(nèi)擊中”，則，故有

（另解）設(shè)表示“獵人三次均未擊中”，則故所求為五、盒中放有12個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)是新的．第一次比賽時(shí)從其中任取3個(gè)來用，比賽后仍放回盒中．第二次比賽時(shí)再?gòu)暮兄腥稳?個(gè)，求第二次取出的都是新球的概率．解：設(shè)表示“第一次取得個(gè)新球”，則

設(shè)表示“第二次取出的都是新球”，則第四章隨機(jī)事件的獨(dú)立性·獨(dú)立試驗(yàn)序列一、一個(gè)工人看管三臺(tái)車床，在一小時(shí)內(nèi)車床不需要工人照管的概率：第一臺(tái)等于0.9，第二臺(tái)等于0.8，第三臺(tái)等于0.7．求在一小時(shí)內(nèi)三臺(tái)車床中最多有一臺(tái)需要工人照管的概率．解：設(shè)表示“第臺(tái)機(jī)床不需要照管”，則再設(shè)表示“在一小時(shí)內(nèi)三臺(tái)車床中最多有一臺(tái)需要工人照管”，則于是有

．（另解）設(shè)表示“有臺(tái)機(jī)床需要照管”，表示“在一小時(shí)內(nèi)三臺(tái)車床中最多有一臺(tái)需要工人照管”，則且、互斥，另外有故．二、電路由電池與兩個(gè)并聯(lián)的電池及串聯(lián)而成．設(shè)電池?fù)p壞的概率分別是0.3、0.2、0.2，求電路發(fā)生間斷的概率．解：設(shè)表示“損壞”；表示“損壞”；表示“損壞”；則又設(shè)表示“電路發(fā)生間斷”，則于是有

．三、三個(gè)人獨(dú)立地去破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為、、，求能將此密碼譯出的概率．解：設(shè)表示“甲能譯出”；表示“乙能譯出”；表示“丙能譯出”，則設(shè)表示“此密碼能被譯出”，則，從而有

．（另解），從而有

四、甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人的命中概率分別為．飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為，被兩人擊中而被擊落的概率為，若三人都擊中，則飛機(jī)必被擊落．求飛機(jī)被擊落的概率．解：設(shè)表示“甲命中”；表示“乙命中”；表示“丙命中”；則設(shè)表示“人擊中飛機(jī)”，則

設(shè)表示“飛機(jī)被擊落”，則由題設(shè)有故有．五、某機(jī)構(gòu)有一個(gè)9人組成的顧問小組，若每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見的概率都是0.7，現(xiàn)在該機(jī)構(gòu)內(nèi)就某事可行與否個(gè)別征求每個(gè)顧問的意見，并按多數(shù)人意見作出決策，求作出正確決策的概率．解：設(shè)表示“第人貢獻(xiàn)正確意見”，則．又設(shè)為作出正確意見的人數(shù)，表示“作出正確決策”，則

．六、每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，為了使事件A在獨(dú)立試驗(yàn)序列中至少發(fā)生一次的概率不小于p，問至少需要進(jìn)行多少次試驗(yàn)？解：設(shè)做次試驗(yàn)，則要，即要，從而有答：至少需要進(jìn)行一次試驗(yàn)．第五章離散隨機(jī)變量的概率分布·超幾何分布·二項(xiàng)分布·泊松分布一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品．安裝機(jī)器時(shí)從這批零件中任取1個(gè)．如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的概率分布．解：設(shè)表示“在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)”，則的概率分布為0123即0123亦即0123自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為．生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整．求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的概率分布．解：設(shè)表示“在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)”，且設(shè)，則的概率分布為012……已知一批產(chǎn)品共20個(gè)，其中有４個(gè)次品．（１）不放回抽樣．抽?。秱€(gè)產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布；（２）放回抽樣．抽?。秱€(gè)產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布．解：（1）設(shè)表示“取出的樣本中的次品數(shù)”，則服從超幾何分布，即的概率函數(shù)為從而的概率分布為01234即01234（2）設(shè)表示“取出的樣本中的次品數(shù)”，則服從超幾何分布，即的概率函數(shù)為從而的概率分布為0123456即0123456電話總機(jī)為300個(gè)電話用戶服務(wù)．在一小時(shí)內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，求在一小時(shí)內(nèi)有4個(gè)用戶使用電話的概率（先用二項(xiàng)分布計(jì)算，再用泊松分布近似計(jì)算，并求相對(duì)誤差）．解：（1）用二項(xiàng)分布計(jì)算（2）用泊松分布計(jì)算相對(duì)誤差為設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生次數(shù)不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)．現(xiàn)進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率．解：設(shè)表示“事件發(fā)生的次數(shù)”，則，，于是有（另解）

設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為；

其中λ>0為常數(shù)，試確定常數(shù)．解：因?yàn)?，即，亦即，所以第六章隨機(jī)變量的分布函數(shù)·連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)可否是連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)？為什么？如果的可能值充滿區(qū)間：（1）（）；（2）（）．解：（1）設(shè)，則因?yàn)?，，所以不能是的分布函?shù)．（2）設(shè)，則且，因?yàn)?，所以在（）上單增．綜上述，故可作為的分布函數(shù)．二、函數(shù)可否是連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度？為什么？如果的可能值充滿區(qū)間：（1）；（2）；（3）．解：（1）因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)可作為某隨機(jī)變量的概率密度．（2）因?yàn)?，所以；但，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)不可能是某隨機(jī)變量的概率密度．（3）因?yàn)椋圆皇欠秦?fù)函數(shù)，從而它不可能是隨機(jī)變量的概率密度．一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品．安裝機(jī)器時(shí)從這批零件中任取1個(gè)．如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的分布函數(shù)，并作出分布函數(shù)的圖形．解：設(shè)表示“取出的廢品數(shù)”，則的分布律為0123yy于是，的分布函數(shù)為ox其圖形見右：ox四、（柯西分布）設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為．求：（1）系數(shù)A及B；（2）隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)的概率；(3)的概率密度．解：(1)由，，解得即．(2)(3)的概率密度為．五、（拉普拉斯分布）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為．

求：（1）系數(shù)；（2）隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)的概率；（3）隨機(jī)變量的分布函數(shù)．解：(1)由，得，解得，即有(2)(3)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為．第七章均勻分布·指數(shù)分布·隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

一、公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過．乘客到達(dá)汽車站的任一時(shí)刻是等可能的．求乘客候車時(shí)間不超過3分鐘的概率．解：設(shè)隨機(jī)變量表示“乘客的候車時(shí)間”，則服從上的均勻分布，其密度函數(shù)為于是有二、已知某種電子元件的使用壽命(單位:h)服從指數(shù)分布，概率密度為任?。硞€(gè)這種電子元件，求至少有１個(gè)能使用1000h以上的概率．解：設(shè)表示“至少有１個(gè)電子元件能使用1000h以上”；分別表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”．則（另解）設(shè)表示“至少有１個(gè)電子元件能使用1000h以上”．則從而有，進(jìn)一步有三、(1)設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布．證明：對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)及，有這個(gè)性質(zhì)叫做指數(shù)分布的無記憶性．(2)設(shè)電視機(jī)的使用年數(shù)服從指數(shù)分布．某人買了一臺(tái)舊電視機(jī)，求還能使用５年以上的概率．解：（１）因?yàn)?，所以，有，其中為的分布函?shù)．設(shè)，．因?yàn)榧岸际欠秦?fù)實(shí)數(shù)，所以，從而．根據(jù)條件概率公式，我們有．另一方面，我們有．綜上所述，故有．（２）由題設(shè)，知的概率密度為設(shè)某人購(gòu)買的這臺(tái)舊電視機(jī)已經(jīng)使用了年，則根據(jù)上述證明的（１）的結(jié)論，該電視機(jī)還能使用5年以上的概率為．答：該電視機(jī)還能使用5年以上的概率約為．設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，求下列隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布：（1）；（2）．解：的分布律為0123（1）的分布律為1（2）的分布律為0110即01五、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度．解：因?yàn)?/p>

所以隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度為，即．第八章二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布一、把一顆均勻的骰子隨機(jī)地?cái)S兩次．設(shè)隨機(jī)變量表示第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，隨機(jī)變量表示兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的最大值，求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布及的邊緣概率分布．解：二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為的邊緣概率分布為二、設(shè)二維隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合分布函數(shù)．求：（1）系數(shù)A、B及C；（2）（，）的聯(lián)合概率密度：（3）邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度．

解：（1）由，得解得，

（2）因?yàn)?，所以（，）的?lián)合概率密度為（3）及的邊緣分布函數(shù)分別為及的邊緣概率密度分別為三、設(shè)的聯(lián)合概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）及的邊緣概率密度；（4）落在區(qū)域R：內(nèi)的概率．解：（1）由，有，解得（2）的聯(lián)合分布函數(shù)為

（3）及的邊緣概率密度分別為（4）

四、設(shè)二維隨機(jī)變量在拋物線與直線所圍成的區(qū)域上服從均勻分布．求：(1)的聯(lián)合概率密度；(2)概率．解：(1)設(shè)的聯(lián)合概率密度為則由解得．故有(2)．第九章隨機(jī)變量的獨(dú)立性·二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，在上服從均勻分布，的概率密度為求(1)的聯(lián)合概率密度;(2)概率．

解:(1)的概率密度為，的聯(lián)合概率密度為（注意相互獨(dú)立）（2）設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，并且都服從二項(xiàng)分布：證明它們的和也服從二項(xiàng)分布．

證明:設(shè),則由,有.于是有由此知也服從二項(xiàng)分布.

三、設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，并且在區(qū)間[0，1]內(nèi)服從均勻分布，在區(qū)間[0，2]內(nèi)服從辛普森分布：求隨機(jī)變量的概率密度．

解:的概率密度為.于是的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合分布函數(shù)為，其中是與的定義域的公共部分.

故有從而隨機(jī)變量的概率密度為電子儀器由六個(gè)相互獨(dú)立的部件（）組成，聯(lián)接方式如右圖所示．設(shè)各個(gè)部件的使用壽命服從相同的指數(shù)分布，求儀器使用壽命的概率密度．解:由題設(shè)，知的分布函數(shù)為先求各個(gè)并聯(lián)組的使用壽命的分布函數(shù).因?yàn)楫?dāng)并聯(lián)的兩個(gè)部件都損壞時(shí),第個(gè)并聯(lián)組才停止工作,所以有從而有的分布函數(shù)為設(shè)"儀器使用壽命".因?yàn)楫?dāng)三個(gè)并聯(lián)組中任一個(gè)損壞時(shí),儀器停止工作.所以有.從而有的分布函數(shù)為故的概率密度為第十章隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品．安裝機(jī)器時(shí)從這批零件中任取一個(gè)．如果取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．解：設(shè)表示“在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)”，則的概率分布為0123即0123于是有即的分布為0149即0149于是有即從而有對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直至擊中為止．如果每次射擊命中率為p，求射擊次數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差．解：設(shè)表示“第次擊中”，則的分布為

123……于是有的分布為149……于是有進(jìn)一步有三、設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為問的數(shù)學(xué)期望是否存在？若存在，請(qǐng)計(jì)算；若不存在，請(qǐng)解釋為什么．解：因?yàn)椴唤^對(duì)收斂，所以沒有數(shù)學(xué)期望．四、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求數(shù)學(xué)期望及方差．解：

五、（拉普拉斯分布）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為．求數(shù)學(xué)期望及方差．解：（分部積分亦可）第十一章隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望·關(guān)于數(shù)學(xué)期望與方差的定理一、設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，求的數(shù)學(xué)期望及方差．

解：的概率分布為

0123的概率分布為

01的分布為

01于是有二、過半徑為的圓周上一點(diǎn)任意作這圓的弦，求所有這些弦的平均長(zhǎng)度．解：在圓周上任取一點(diǎn)，并通過該點(diǎn)作圓得直徑．建立平面直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，且讓在軸的正半軸上．通過任作圓的一條弦，使與軸的夾角為，則服從上的均勻分布，其概率密度為．弦的長(zhǎng)為，故所有弦的平均長(zhǎng)度為．三、一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為

工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換．若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元．試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備的平均凈贏利．解：由題設(shè)，有進(jìn)而有設(shè)表示“廠方出售一臺(tái)設(shè)備獲得的凈贏利”，則的概率分布為100從而有答：廠方出售一臺(tái)設(shè)備獲得的平均凈贏利約為元．四、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，并且服從同一分布，數(shù)學(xué)期望為，方差為．求這些隨機(jī)變量的算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)期望與方差．解：因?yàn)椋?，且隨機(jī)變量相互獨(dú)立．所以有，．五、一民航送客車載有位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，沿途有個(gè)車站可以下車，到達(dá)一個(gè)車站時(shí)如沒有旅客下車就不停車．假設(shè)每位旅客在各車站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨(dú)立．求該車停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解:設(shè)表示"第站的停車次數(shù)"().則服從""分布.其中于是的概率分布為01設(shè),則表示沿途停車次數(shù),故有即停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.

第十二章二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征·切比雪夫不等式與大數(shù)定律設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為

求：（1）系數(shù)A；（2）數(shù)學(xué)期望及，方差及，協(xié)方差．解:(1)由.有解得,.(2).由對(duì)稱性,知.同理,有..設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為求(1)；(2)與是否獨(dú)立，是否相關(guān)，為什么？解:(1)因?yàn)樗杂校?2)當(dāng)時(shí),有;當(dāng)時(shí),有.即同理有因?yàn)?所以與不是獨(dú)立的．又因?yàn)?所以與是不相關(guān)的．利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的差的絕對(duì)值大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率．解：．四、為了確定事件A的概率，進(jìn)行10000次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)．利用切比雪夫不等式估計(jì)：用事件A在10000次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值時(shí)，誤差小于0.01的概率．解：設(shè)表示“在10000次試驗(yàn)中事件A的次數(shù)”，則且有于是有樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受．應(yīng)該檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9？解：設(shè)表示“發(fā)現(xiàn)的次品件數(shù)”，則，現(xiàn)要求要使得，即，因?yàn)椋裕ǖ履枴狶aplace定理）因?yàn)?，所以，從而有，故．查表有，故有，解得答：?yīng)該檢查約146個(gè)產(chǎn)品，方可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9．第十三章正態(tài)分布的概率密度、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求（1）；（2）．解：(1)(2)已知某種機(jī)械零件的直徑（mm）服從正態(tài)分布．規(guī)定直徑在（mm）之間為合格品，求這種機(jī)械零件的不合格品率．解：設(shè)表示這種機(jī)械零件的不合格品率，則．而故．三、測(cè)量到某一目標(biāo)的距離時(shí)發(fā)生的誤差(m)具有概率密度求在三次測(cè)量中至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過m的概率．解：三次測(cè)量中每次誤差絕對(duì)值都超過30米可表為因?yàn)?，所以由事件的相互?dú)立性，有于是有．四、設(shè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度（所得的概率分布稱為對(duì)數(shù)正態(tài)分布）．解：由題設(shè)，知的概率密度為從而可得隨機(jī)變量的分布函數(shù)為．當(dāng)時(shí)，有；此時(shí)亦有．當(dāng)時(shí)，有．此時(shí)亦有．從而可得隨機(jī)變量的概率密度為五、設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，，，求：(1)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，其中及為常數(shù)；(2)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差．解：由題設(shè)，有；．從而有(1)；．(2)；．第十四章二維正態(tài)分布·正態(tài)隨機(jī)變量線性函數(shù)的分布中心極限定理一、設(shè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，已知，，，并且，求的聯(lián)合概率密度．解：已知，，，．從而，．進(jìn)一步按公式，可得的聯(lián)合概率密度為．二、設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，并且，．求隨機(jī)變量的概率密度．

解：由題設(shè)，有，，，．又根據(jù)關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理和方差的定理以及獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的分布，我們有．．且，故隨機(jī)變量的概率密度為．臺(tái)機(jī)床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯．設(shè)隨機(jī)變量(mm)表示軸的直徑，隨機(jī)變量(mm)表示軸襯的內(nèi)徑，已知，，顯然與是獨(dú)立的．如果軸襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在(mm)之間，則軸與軸襯可以配套使用．求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率．解：由題設(shè)，知隨機(jī)變量與是獨(dú)立的，且，．設(shè)根據(jù)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的分布，我們有．根據(jù)題目假設(shè)，我們知道當(dāng)時(shí)，軸與軸襯可以配套使用．于是所求概率為．四、100臺(tái)車床彼此獨(dú)立地工作著，每臺(tái)車床的實(shí)際工作時(shí)間占全部工作時(shí)間的80%，求：

（1）任一時(shí)刻有70至86臺(tái)車床在工作的概率；

（2）任一時(shí)刻有不少于80臺(tái)車床在工作的概率．

解：設(shè)表示“任一時(shí)刻正在工作的車床數(shù)”，則．．．（1）（2）．五、在一家保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)．在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元．問：

（1）保險(xiǎn)公司虧本的可能性是多大？

（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于50000元的概率是多少？

解：設(shè)表示“一年內(nèi)死亡的人數(shù)”，則．．．（1）．即保險(xiǎn)公司不可能虧本．（2）．即保險(xiǎn)公司一年利潤(rùn)不少于50000元的概率為．第十萬章總體與樣本·統(tǒng)計(jì)量·幾個(gè)常用分布一、已知樣本觀測(cè)值為

15.824.214.517.413.220.817.919.121.018.516.422.6，計(jì)算樣本均值、樣本方差與樣本二階中心矩．

解：樣本均值為

樣本方差為.樣本二階中心矩.二、設(shè)抽樣得到100個(gè)觀測(cè)值如下：觀測(cè)值123456頻算樣本均值、樣本方差與樣本二階中心矩．

解：樣本均值為樣本方差為樣本二階中心矩為

三、設(shè)總體的均值與方差分別為與，是來自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，與分別是樣本均值與樣本方差，求．解：四、設(shè)總體與相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布，和分別為來自與的樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從什么分布？

解：因?yàn)椋?所以.于是有推得即分布．五、設(shè)隨機(jī)變量服從自由度為的分布，證明：隨機(jī)變量服從自由度為的分布；從而證明等式．［提示：設(shè)，其中隨機(jī)變量與獨(dú)立，且，則，由此容易證明．］證明：設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立且．構(gòu)造，則．同理知．因?yàn)椋詫?duì)于給定的，我們有．又因?yàn)椋耘c是等價(jià)的隨機(jī)事件，從而有．于是有同理，因?yàn)?，所以?duì)上述給定的，我們有．(2)結(jié)合(1)、(2)，便有．即．第十六章正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布一、設(shè)總體~．抽取容量為36的樣本，求樣本平均值在38與43之間的概率；抽取容量為64的樣本，求的概率；（3）抽取樣本容量n多大時(shí)，才能使概率達(dá)到0.95？

解：（1）因?yàn)椋?，從而有?）由題設(shè)，，從而有（3）要使，即要經(jīng)查表，有，解得，即抽取樣本容量約為96時(shí)，可使二、從正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本．（1）已知，求的概率；（2）未知，求的概率．解：（1）因?yàn)?，所以有?）因?yàn)椋杂?/p>

三、設(shè)總體，總體，從總體中抽取容量為的樣本，從總體中抽取容量為的樣本，求下列概率：（1）；；（2）．解：（１）因?yàn)?，，所以由．得．（２）因?yàn)?，，所以由．得．四、設(shè)總體服從“0—1”分布：．抽取樣本，求樣本均值的概率分布，數(shù)學(xué)期望E及方差D．解：，于是有其中于是有第十七章參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)一、設(shè)總體服從“0—1”分布：．如果取得樣本觀測(cè)值，求參數(shù)p的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值．

解：(1)似然函數(shù)為，取對(duì)數(shù)，有．令，解得，從而得的極大似然估計(jì)值為．二、設(shè)總體的概率密度為其中>0．如果取得樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量．解：似然函數(shù)為，取對(duì)數(shù)，有．令，求得的極大似然估計(jì)值為．三、設(shè)總體X服從分布，其概率密度為其中參數(shù)>0，>0．如果樣本觀測(cè)值為,（1）求參數(shù)及的矩估計(jì)值；（2）已知=，求參數(shù)的極大似然估計(jì)值．解：（1）因?yàn)椋?，根?jù)矩估計(jì)，有，．即，．亦即，．解得．（2）由（1），有，故有四、從總體X中抽取樣本，證明下列三個(gè)統(tǒng)計(jì)量都是總體均值的無偏估計(jì)量；并確定哪個(gè)估計(jì)量更有效．解：因?yàn)椋?/p>

．所以都是總體均值的無偏估計(jì)量．又因?yàn)椋?/p>

．．所以，更有效．五、設(shè)總體服從指數(shù)分布，其中，抽取樣本，證明：(1)雖然樣本均值是的無偏估計(jì)量，但卻不是的無偏估計(jì)量；(2)統(tǒng)計(jì)量是的無偏估計(jì)量．解：． ．由此可見，雖然樣本均值是的無偏估計(jì)量，但卻不是的無偏估計(jì)量．第十八章正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)·兩個(gè)正態(tài)總體均值差及方差比的區(qū)間估計(jì)一、設(shè)總體，如果樣本觀測(cè)值為6.548.206.889.027.56,求總體均值的置信水平為的置信區(qū)間，假定：（1）已知=1.2；（2）未知．

解：（1）由，解得又由題設(shè)，有，，，從而由，有，即．（2）因?yàn)椋杂?，即．解得．二、設(shè)電子元件的壽命服從正態(tài)分布，抽樣檢查10個(gè)元件，得到樣本均值=1500(h)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=14（h），求：（1）總體均值的置信水平為的置信區(qū)間；（2）用作為的估計(jì)值，誤差絕對(duì)值不大于10(h)的概率．

解：（1）由，解得又由題設(shè)，有，，，未知，查表得故由，有．亦即．（2），即，亦即，查表得，即，故．三、設(shè)總體，已知=，要使總體均值的置信水平為的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于l，問需要抽取多大容量的樣本？

解：因?yàn)?，所以有．進(jìn)一步有，即．綜上述，故有．四、測(cè)得16個(gè)零件的長(zhǎng)度（mm）如下：12.1512.1212.0112.0812.0912.1612.0312.01

12.0612.1312.0712.1112.0812