高考湖北理科數(shù)試題及答案(word解析)

年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．（1）【2014年湖北，理1，5分】為虛數(shù)單位，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因為，故選A．【點評】本題考查復數(shù)的運算，容易題．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二項式的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)（）（A）2（B）（C）1（D）【答案】D【解析】因為，令，得，，解得，故選D．【點評】本題考查二項式定理的通項公式，容易題．（3）【2014年湖北，理3，5分】設為全集，，是集合，則“存在集合使得，是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】依題意，若，則，，可得；若，不能推出，故選A．【點評】本題考查集合與集合的關系，充分條件與必要條件判斷，容易題．（4）【2014年湖北，理4，5分】根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)3456784.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回歸方程為，則（）（A），（B），（C），（D），【答案】B【解析】依題意，畫散點圖知，兩個變量負相關，所以，，故選B．【點評】本題考查根據(jù)已知樣本數(shù)判斷線性回歸方程中的與的符號，容易題．（5）【2014年湖北，理5，5分】在如圖所示的空間直角坐標系中，一個四面體的頂點坐標分別是，，，，給出編號①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（） （A）①和②（B）③和①（C）④和③（D）④和②【答案】D【解析】在坐標系中標出已知的四個點，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②，故選D．【點評】本題考查空間由已知條件，在空間坐標系中作出幾何體的形狀，再正視圖與俯視圖，容易題．（6）【2014年湖北，理6，5分】若函數(shù)，滿足，則稱，為區(qū)間上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：①，；②，；③,，其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】對①，則，為區(qū)間上的正交函數(shù)；對②，則，不為區(qū)間上的正交函數(shù)；對③，則，為區(qū)間上的正交函數(shù)，所以滿足條件的正交函數(shù)有2組，故選C．【點評】新定義題型，本題考查微積分基本定理的運用，容易題．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式，確定的平面區(qū)域記為，在中隨機取一點，則該點恰好在內(nèi)的概率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】依題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由幾何公式知，該點落在內(nèi)的概率為：，故選D．【點評】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，中等題．（8）【2014年湖北，理8，5分】《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“蓋”的術：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．該術相當于給出了有圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3．那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的近似取為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】設圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，，，所以，即的近似值為，故選B．【點評】本題考查《算數(shù)書》中的近似計算，容易題．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）（A）（B）（C）3（D）2【答案】B【解析】設橢圓的短半軸為，雙曲線的實半軸為，半焦距為，由橢圓、雙曲線的定義得，，所以，，因為，由余弦定理以為原點，射線分別為軸的正半軸建立如圖3所示的空間直角坐標系，由已知得，，，，，，，．（1）當時，，因為，所以，即，而平面，且平面，故直線平面．（2）設平面的一個法向量為，則由，可得，于是可取，同理可得平面的一個法向量為，若存在，使面與面所成的二面角為直二面角，則，即，解得．故存在，使面與面所成的二面角為直二面角．（20）【2014年湖北，理20，12分】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立．（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關系；若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？年入流量X40<X<8040X80X>120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123解：（1）依題意，，，由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為．（2）記水電站年總利潤為（單位：萬元）（1）安裝1臺發(fā)電機的情形：由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤．（2）安裝2臺發(fā)電機的情形：依題意，當時，一臺發(fā)電機運行，此時，因此；當時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此；由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以，．（3）安裝3臺發(fā)電機的情形：當時，一臺發(fā)電機運行，此時，因此；當時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此；當時，三臺發(fā)電機運行，，因此，由此得的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以，綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為．（1）求軌跡為的方程；（2）設斜率為的直線過定點，求直線與軌跡好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍．解：（1）設點，依題意得，即，化簡整理得，故點的軌跡的方程為．（2）在點的軌跡中，記，依題意，可設直線的方程為，由方程組，可得①（1）當時，此時，把代入軌跡的方程，得，故此時直線與軌跡恰好有一個公共點（2）當時，方程①的判別式為②設直線與軸的交點為，則由，令，得③（?。┤粲散冖劢獾?，或，即當時，直線與沒有公共點，與有一個公共點，故此時直線與軌跡恰好有一個公共點．（ⅱ）若或，由②③解得，或，即當時，直線與只有一個公共點，與有一個公共點，當時，直線與有兩個公共點，與沒有公共點，故當時，直線與軌跡恰好有兩個公共點．（ⅲ）若由②③解得，或，即當時，直線與有兩個公共點，與有一個公共點，故此時直線與軌跡恰好有三個公共點．綜合（1）（2）可知，當時，直線與軌跡恰好有一個公共點；當時，直線與軌跡恰好有兩個公共點；當時，直線與軌跡恰好有三個公共點．（22）【2014年湖北，理22，14分】為圓周率，e=2.71828……為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；（3）將這6個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結論．解：（1）函數(shù)的定義域為，因為，所以，當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因為，所以，即，于是根據(jù)函數(shù)，在定義域上