求數(shù)列通項(xiàng)公式的11種方法

總述：一.利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)的11種方法:階差法(逐差法)、換元法(目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號)、數(shù)學(xué)歸納法(少用)不動點(diǎn)法(遞推式是一個數(shù)列通項(xiàng)的分式表達(dá)式)、特征根法二.四種基本數(shù)列:等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法。三．求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是:把所求數(shù)列通過變形,代換轉(zhuǎn)化為等級差數(shù)列或等四.求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是:累加法和累乘法。五．?dāng)?shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù),其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。一、累加法1.適用于:a=a+f(n)－--－------這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個方法之n+1n2.若aa=f(n)(n2),n+1naa=f(1)21aa=f(2)則32aa=f(n)n+1n0/231/23n+11例1已知數(shù)列{a}滿足a=a+2n+1，a=1，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。nn+1n1nn+1nn+1n2所以數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a=n2。nn例2已知數(shù)列{a}滿足a=a+23n+1，a=3,求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。nn+1n1n解法一：由a=a+23n+1得a一a=23n+1則n+1nn+1n naa21解法二：a=3a+23n+1兩邊除以3n+1,得n+1=n+aa21n+1n3n+13n33n+1，nnn=+，故3n+13n33n+12/233n3naa3n23n23n332313n1n1nnn3323nn133223n,211則a=n3n+3n.n322練習(xí)1.已知數(shù)列n的首項(xiàng)為1，且n+1n寫出數(shù)列n的通項(xiàng)公式.a練習(xí)1.已知數(shù)列n的首項(xiàng)為1，且n+1n寫出數(shù)列n的通項(xiàng)公式.答案:n2n+11a=2答案:裂項(xiàng)求和nnaa=f(n)評注：已知a1=a,n+1n,其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù),求通項(xiàng)指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù),求通項(xiàng)n.fnn組求和；③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù),累加后可裂項(xiàng)求和。S=1(a+n)例3.已知數(shù)列n中，n且n,求數(shù)列n的通項(xiàng)公式．{a}例3.已知數(shù)列n中，n且n,求數(shù)列n的通項(xiàng)公式．S=1(a+n)S=1(SS+n)解：由已知n得nn1，解：由已知n得nn1，化簡有nn1,由類型(1)有n1,3/23Saan,又n則n此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.n2n2二、累乘法1.適用于:a=f(n)a---－－-－-－-這是廣義的等比數(shù)列nnaaan2nn2a1ann+1n1nnn1nanaaaa21 nn則它的通項(xiàng)公式是an=________.解：已知等式可化為:n+1nn+1nan n+1=n=aaa評注:本題是關(guān)于n和n+1的二次齊次式，aaaaa與n+1的更為明顯的關(guān)系式,從而求出aa練習(xí).已知n+1n1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.練習(xí).已知n+1n1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.n+1n若令nn,則問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為n+1n形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求n+1n若令nn,則問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為n+1n形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、待定系數(shù)法適用于a=qa+f(n)基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一(1)若(1)若c＝1時,數(shù)列{n}為等差數(shù)列;a(2)若d=0時，數(shù)列{n}為等比數(shù)列;(3)若c士1且d士0時,數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列,其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.求4/235/23因此數(shù)列l(wèi)nc一1J構(gòu)成以1c一1為首項(xiàng),以c為公比的等比數(shù)列，a+d=c(a+d)規(guī)律:將遞推關(guān)系n+1n化為，構(gòu)造成公比為c的規(guī)律:將遞推關(guān)系n+1n化為，構(gòu)造成公比為c的{a+d}a=d+cn一1(a+d)進(jìn)而求得通項(xiàng)公式．n+1n21,再利用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.n1nn一1n解法一:1n1nn，即n6/23解法二:解法二:n+1nnn一1n+1n練習(xí)．已知數(shù)列n中,求通項(xiàng)練習(xí)．已知數(shù)列n中,求通項(xiàng)n。1答案:n2求通項(xiàng)方法有以下三種方向:i．即:求通項(xiàng).,令,則，然后類型1,累加,令,則，然后類型1,累加1q1qapa n+1=.n設(shè)n+1n.通過比較系數(shù),求出入,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).項(xiàng)7/23解法一(待定系數(shù)法)：設(shè)n+112n,比較系數(shù)得12,則數(shù)列n是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,則數(shù)列n是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,所以n,即na2a4n+1=.n+解法二(兩邊同除以qn+1):兩邊同時除以3n+1得：3n+133n32,下面解法略an.(3)n解法三(兩邊同除以pn+1):兩邊同時除以2n+1得:2n+12n32,下面解法略練習(xí).(2003天津理)設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n12an1(nN)．證明對任意n≥1,;3.形如n+1npa3.形如n+1n(其中k,b是常數(shù)，且k0)(a+xn+y)=p(a+x(n1)+y)通過湊配可轉(zhuǎn)化為nn1;b=(a+xn+y)nn,公比為p(a+xn+y)=p(a+x(n1)+y)b=pb3、列出關(guān)系式nn1,即nn14、比較系數(shù)求x，y(a+xn+y)5、解得數(shù)列n的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列n的通項(xiàng)公式解：,n+1n解：,n+1n,①兩式相減得b=3b+2nn1aa=3(aa)+2b=aan+1nnn1．令nn+1n,則b=5.3n1+2aa=5.3n11利用類型5的方法知n即n+1n②51a=.3n1n51a3n1nn22．3a=,2aa=6n3例9.在數(shù)列{an}中，12nn1,求通項(xiàng)an．(待定系數(shù)法)ny解:原遞推式可化為nn1比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為nn1即:n28/239/23n2故．4．形如n+1n基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。例10已知數(shù)列{a}滿足a=2a+3n2+4n+5，a=1nn+1n1,求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。nn+1nna+3n2+10n+18nn1nn5.形如a=pa+qa時將a作為f(n)求解n+2n+1nnn+2n+1n+1nn+1n例11已知數(shù)列n滿足n+2n+1n12，求數(shù)列n的通項(xiàng)公式。{a}例11已知數(shù)列n滿足n+2n+1n12，求數(shù)列n的通項(xiàng)公式。解:設(shè)n+2n+1n+1n?10/23a2a=3(a2a){a2a}則n+2n+1n+1n，則n+1n是首項(xiàng)為4,公比為3的等比數(shù)列n+1n,所以n練習(xí).數(shù)列{an}中，若a1=8,a2=2,且滿足an+24an+1+3an=0,求an.a=113n..aparapar解：因?yàn)閚+1n,所以===1an注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。11/23已知數(shù)列n已知數(shù)列n(1)證明nn+1(1)證明nn+1{a}(2)求數(shù)列n的通項(xiàng)公式a{a}111nnnnn22n一12n又n=－1，所以.bn2又n=－1，所以.1上面類型(1)來解nn一1n,{a}a練習(xí)數(shù)列n中,1=1a=2a{a}，nn一1(n≥2),求數(shù)列n的通項(xiàng)公式.n12/23例15已知數(shù)列{a}滿足a=23na5，nn+1na=7，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。n解:因?yàn)閍=23na5，a=7,所以a>0，a>0。n+1n1nn+1gn+1nn+1nlg3lg3lg2x=,y=+4164由lga+lg31+lg3+lg2=lg7+lg31+lg3+lg20，得lga+lg3n+lg3+lg20,141644164n4164所以數(shù)列{lga+lg3n+lg3+lg2}是以lg7+lg3+lg3+lg2為首項(xiàng),以5為公比的等比數(shù)列，n41644164則lga+lg3n+lg3+lg2=(lg7+lg3+lg3+lg2)5n1，因此n41644164n4164464則n。六、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式,分子只有一項(xiàng)例16已知數(shù)列{a}滿足a=2an,a=1，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。nn+1a+21nn13/23an+12anan+1an2lan+1anJa12,a2nn+1n七、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系例17已知數(shù)列{a}滿足a=(1+4a+1+24a)，a=1，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。nn+116nn1n解:令b=1+24a,則a=1(b2-1)nnn24n24n+11624nnn+1nnnn+1nn+12n2n2nn112n22n2n2a=()a=()n+()n+。n342314/23例18已知數(shù)列{a}滿足a=a+8(n+1)，a=8，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。8(n+1)8解:由a=a+及a=,得n+1n(2n+1)2(2n+3)219aa由此可猜測a=(2n+1)21,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(21+1)218(1)當(dāng)n=1時,a==,所以等式成立。9(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即a=(2k+1)21，則當(dāng)n=k+1時，a=k+1k(2k+1)2(2k+3)2[(2k+k+1k(2k+1)2(2k+3)2=(2k+1)2(2k+3)2(2k+1)2(2k+3)2(2k+1)2=(2k+1)2(2k+3)2(2k+3)21=(2k+3)2[2(k+1)+1]21=[2(k+1)+1]2根據(jù)(1)，(2)可知，等式對任何nN*都成立。九、階差法(逐項(xiàng)相減法)nn15/23分析:把已知關(guān)系通過a=〈(S1,n=1轉(zhuǎn)化為數(shù)列{a}或S的遞推關(guān)系,然后采用相應(yīng)的nn_1nlS_S,n之nn_1例19已知數(shù)列{a}的各項(xiàng)均為正數(shù),且前n項(xiàng)和S滿足S=(a+1)(a+2),且a,a,a成等nnn6nn249比數(shù)列,求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。nn6nn1161111∵{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an_an_1=31n4291n4291n練習(xí)。已知數(shù)列{a}中,a>0且S=1(a+1)2,求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.nnn2nnnnnnn_1n2、對無窮遞推數(shù)列n1n123n_1nn123n_1n+1123n_1n則a=(n+1)a(n2)n+1nanaa所以a=n.n1.naan1n2n!2n!2222n123n1212211n!則a=1，代入③得a=1.3.4.5..n=。 2n2 十、不動點(diǎn)法目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比(差)數(shù)列的方法不動點(diǎn)的定義:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在f(x)xD，使f(x)=x成立，則稱x為0000f(x)的不動點(diǎn)或稱(x,f(x))為函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)。00分析：由f(x)=x求出不動點(diǎn)x,在遞推公式兩邊同時減去x,在變形求解。0類型一:形如a=qa+dn+1nn1nn1nfxxfxx得,不動點(diǎn)為-1n+1n類型二:形如a=nc.a+dn歸函數(shù)為f(x)=(1)若有兩個相異的不動點(diǎn)p,q時，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動點(diǎn)p,q,再將兩式相除得 1=1+k其中k=2c。apap,a+dnn例22.設(shè)數(shù)列{a}滿足a=2,a=,求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.n1n+12a+7nn16/2317/23分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解．nnn令t=,解之得t＝1,－2代入an+1+t=(2t+5)得nnn13a n1=4,解得a=.n4.3n_1_1n兩邊取倒數(shù)得a_13(a_1)3(a_1)3a_1，n+1nnnna_1n3nn動點(diǎn)。因?yàn)? a_24a+121a_24_2(4a+1)13a_2613a_2nla_3Ja_34_39a_39n1n19練習(xí)2。已知數(shù)列{a}滿足a=2,a=2a一1n(n=N*)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)an1n+14a+6,nnn練習(xí)3．(2009陜西卷文)(Ⅱ)求{an}的通項(xiàng)公式。nnn是常數(shù))的數(shù)列(已知a1；a2)2,n+2n+1n是常數(shù))2,n+2n+1n是常數(shù))的二階遞推數(shù)列都可用特n112212n18/2319/23nac2c2c112122221222n解：其特征方程為4x24x1,解得xx1，令acnc1n122n122，a(cc)11c4由a(c2c)由a(c2c)12,得c26,124an2n1練習(xí)2.已知數(shù)列{a}滿足na1,a2,4a4aan4(nN*)，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)12n2n1n