求多元函數(shù)極限的方法

1/11求多元函數(shù)極限的方法求多元函數(shù)極限的方法那種“無限逼近”卻又“無法達(dá)到”的抽象對于剛剛結(jié)束中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),習(xí)慣于具體圖形分析、函數(shù)計(jì)算的同學(xué)來說,在思維上有了更高的要求。而對于高等數(shù)學(xué)來講，極限又是相當(dāng)它就相當(dāng)于一條線慣于始終,所以說學(xué)好極限,是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的一個(gè)起點(diǎn)。【1】【關(guān)鍵詞】多元函數(shù);求極限多種方法；求極限常出現(xiàn)的錯(cuò)誤【引言】之前學(xué)過如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)微分和積分等都要用極和秋極限的方法,例如：利用定義來求極限、用柯西收斂準(zhǔn)則、利用兩邊夾定理等等。這些方法雖然簡便易于理解和掌握,但對1a=求lima的n+13a2+annn問題題目盡給出了第n項(xiàng)和第n+1項(xiàng)的關(guān)系若用利用定義來求極限、用柯西收斂準(zhǔn)則nn!limknn!的方法進(jìn)行解析，并列出容易出錯(cuò)的地方。1利用極限定義的思想觀察函數(shù)的極限1例1、討論當(dāng)x時(shí)函數(shù)y=x2+x1的極限。我們列出了當(dāng)x時(shí)某些函數(shù)值,考察22函數(shù)的變化趨勢,如下表所示。xx0．40.4960.4980.499…0．500.500.50．505931203y0.7570．7540．7520．751…0．740．740.740．74985511從列表可以看出,當(dāng)x趨向于時(shí)，y就趨向于0.7,即x時(shí),y=x2+x1的極限是220．75。2、利用四則運(yùn)算法則求極限例2(1)求lim(43x32+x2)(2)limx21x22x+1解(2)limx21=lim(x21)x2=3xxlimx5x23、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系及無窮小量的性質(zhì)求極限x0xx0x2/11求多元函數(shù)極限的方法解因?yàn)閘imx=0，且sin1即sin有界，所以limxsinx0xxx0x4、利用兩個(gè)重要極限求極限xxxx解limxsin1=limx=1(因?yàn)閤時(shí)10)。xxx1xx令u=x則當(dāng)x時(shí)u所以lim(1)x=lim(1+)e=lim=xxxuu(1+1)uex也可以直接計(jì)算lim(1)x=lim[(1+)x]1=e1xxxxe5、利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限幾x202x2x26、利用等價(jià)無窮小代換求極限例6求lim1cosxx0ln(1+2x)21所以lim1cosx=lim2x2=0x0ln(1+2x)x02x7、利用羅比達(dá)法則求極限8、利用左、右極限來確定分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限3/11求多元函數(shù)極限的方法lxlxx)0-x)0-x)0+x)0+x)0-x)0+xx)0+x)1極限定義并未給出求極限的具體方法,但卻可以驗(yàn)證極限的存在,而且它是研究理論問題的基本方法,用極限定義驗(yàn)證極限存在,一般需經(jīng)過變形放大,由x-A<e或f(x)-A<en去尋找滿足條件的充分大的正整數(shù)N或充分小的正數(shù)δ或充分充分的正數(shù)X。比如:證明limx-2=1x)2x2-44x2-44x2-444x+2證明對Ve>0,要使x-2-1<e,只要x-2-1x2-44x2-444x+2312--<xx--<xx2elimxx2-44x)2x2-442利用化簡來求極限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等變形)x)1x2+x-2x)1x2+x-2此題要用到兩個(gè)知識點(diǎn)①將分子有理化②分母分解因式3利用極限運(yùn)算法則和無窮小的性質(zhì)求極限4/110求多元函數(shù)極限的方法0比如求lim(x2+xx)x+本題是“∞-∞”型的極限,先對分子有理化，可轉(zhuǎn)化為型將分子分母同時(shí)除以x的最高解lim(x2+xx)=lim(x2+xx)(x2+x+x)＝limxx+x+(x2+x+x)x+(x2+x+x)=lim=lim=x+(1+1+1)2x在無窮小量的諸多性質(zhì)中,常用無窮小乘以有界變量仍為無窮小及用等價(jià)無窮小代換來求極限。比如求limxn+2解注意到sinen且lim1=0所以由無窮小的性質(zhì)得limsinen=0xn+2xn+25又比如求limx3ln(1+3x)5又比如求lim51所以limx3ln(1+3x)=limx3x51x0arctanx2x0x2xxx0x lim(1+f(x))f(x)=e，0xx0特征:①“1”型；②底數(shù)中要轉(zhuǎn)化為有“1”的形式；③lim(1+1)f(x)=exxf(x)“1”的后面的變量與冪指數(shù)互 比如求lim(cosx)x2x011cosx11解lim(cosx)x2=lim(1+(cosx1))cosx1x2＝e2x0x0限xn2+1n2+1n2+n5/112+)n2+2+)n2+n解因?yàn)?k=1,2，3n，從而n+n+)n2+nn2+1n2+1n2+nn2+1而limn2=1limn2=1所以limn(1+1+xn2+n,xn2+1xn2+1n2+15.2利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”定理求極限特點(diǎn):①能出現(xiàn)關(guān)系式;②可轉(zhuǎn)化為關(guān)系式解題方法:一是利用數(shù)學(xué)歸納法證有界,二是證單調(diào)。比如設(shè)x=1顯然0<x=12x=2+x,(n=1,2,),試證數(shù){x}列極限存在，并求此極限。n1nn<2，x=2+2<2假設(shè)x<2因x=2+x<2+2=2由數(shù)學(xué)2nn+1nnnxn+1n(2xn+1n2+xx=nn>0,則xnn2+x+xn+1nn因此limx存在。nxnn＞x,所以{x}單調(diào)增加。nn2+a,從而a＝2即limx=2n不妨設(shè)limx=a2+a,從而a＝2即limx=2nnn+1nx用洛必達(dá)法則時(shí)要注意:，②有時(shí)要用多次洛必達(dá)法則,③無限次循環(huán)型號不能用洛必達(dá)法則,如limexex，④每次用洛必達(dá)法則前,要先化簡,1100x11x+lnxx11+1x11xx11x6/11x求多元函數(shù)極限的方法x比如求limln(1+ex)x1arctanx8利用函數(shù)極限存在的充要條件求極限主要用來解決在求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限或某lim1exex11x0ex+ex1exex11x0ex+exx0ex+1所以limex所以lim不存在。19利用導(dǎo)數(shù)求極限比如設(shè)f'(0)=1,f(0)=0求limf(x)x0x解limf(x)=limf(x)f(0)=f'(0)=1x0xx0x00f(x)g(x)xkf(x)g(x)0f(x)g(x)f(x0f(x)g(x)f(x)g(x)xk2222③用洛必達(dá)法則較復(fù)雜或根本不可能用。2解題的關(guān)鍵是展開到含xn項(xiàng),或相互抵消后的后一項(xiàng)。比如求lim22解題的關(guān)鍵是展開到含xn項(xiàng),或相互抵消后的后一項(xiàng)。比如求lim2解＝n!求多元函數(shù)極限的方法n!x2x2x4x4xx2x2x4x4nnn)wnlnxxnln(1+i)nnnn)wnn)wnn0i=112利用函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系求極限比如求lim比如求lim(nsin)n2n)wnn)wnn)0+xn)0+x比如求lim3nn!考察級數(shù)xw3nn!,n)wnn,nni=1n由正項(xiàng)級數(shù)比值判別法知xw3nn!收斂,再由級數(shù)收斂的必要nnn條件知lim3nn!＝0n)wnn比如求lim(1+++n)w1!2!3!n!n!n!7/118/11求多元函數(shù)極限的方法因此lim(1+1+1+1++1)=xw1=e1=en)w1!2!3!n!n以上是求極限常用的一些方法,在求極限的過程中,先要用觀察極限屬于什么類型,才能去采同學(xué)們在求二元函數(shù)極限時(shí),常出現(xiàn)錯(cuò)誤。我們將其歸納為一下三種,今寫于此,以供參考。Ⅰ第一種錯(cuò)誤是把沿在平面上過(x,y)點(diǎn)的射線方向，代替沿任何方向趨向于(x,y)，0000求limf(x,y)x)0例1求limx2x)0x2+y2y)0x2+y2x2+y2p2當(dāng)(x,y))(0,0)時(shí)，p)0,由夾逼定理即得limx2=0x)0x2+y2y)0欲指出此種解法的錯(cuò)誤，只需注意二元函數(shù)極限的定義：P0000D),A為一定數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)6,總存在相應(yīng)的正數(shù)6，使得定義域D上滿足00成立,則稱定數(shù)A為函數(shù)當(dāng)(x,y))(x,y)時(shí)的極限,記為limf(x,y)=A由極限的定義可x)0x)0y)0xyx)0y)0000共=<p成立,這也只能說明動點(diǎn)P(x,y)0共=<p成立,這也只能說明動點(diǎn)P(x,y)沿過原點(diǎn)的直線族x2+y2p2x)0x2+y2。x)0x2+y2。y)0x2yx2yx本題的正確解法是，由x2+y2之2x2yx2yxx2+y22xy29/11求多元函數(shù)極限的方法可見，動點(diǎn)P(x,y)不論沿平面上任何曲線趨于點(diǎn)(0，0)是,對于任意給定的正數(shù),只要x2y22取時(shí),就能使當(dāng)(x0)2(y0)2時(shí)，永遠(yuǎn)有x2y0x成立。x2y22這即得證limx2=0x0x2y2y0x0x2y4y0若仿照例1中所有用過的錯(cuò)誤解法,有xcos;ysin，且limxy2limcos2sin2limcossin2x0x2y402cos24sin40cos22sin2y0x0x2y4y00cos22sin4但實(shí)際上limxy2是不存在的，這只要取動點(diǎn)P(x,y)沿曲線xky2趨向于點(diǎn)(0，0)x0x2y4y0時(shí)則有l(wèi)imxy2limxy2limky4kx0x2y4xky2x2y4yk2y4y4k21y0y0由于不同的k值對應(yīng)著不同的極限值,即得證limxy2是不存在的。x0x2y4y0例3求limxy2本題的正確解法，是由x2y42x2y2x0x2y4y0所以有0x2y2x2y21(11)x4y42x2y22y2x2由夾逼定理便有l(wèi)imxy20而此題如果用例1所提出過的錯(cuò)誤做法雖然也有x0x2y4y0x2y221112211求多元函數(shù)極限的方法limx2+y2=limp2=0其結(jié)果雖然也是對的,但其理論根據(jù)卻是錯(cuò)誤x)0x4+y4p)wp4(cos49+sin49)y)0Ⅱ第二種錯(cuò)誤是引用了“有限個(gè)無窮大之和仍為無窮大”的錯(cuò)誤結(jié)論。x)0x+yx)01+1y)0y)0yx這種解法很明顯是錯(cuò)誤的，因?yàn)閘im=w,lim=w但lim(+x)0xy)0y