第18講歐氏空間正交基課件

一.歐幾里得空間二.向量的正交性第四節(jié)歐幾里得空間例注意例證二.向量的正交性例解規(guī)定零向量與任何向量正交。例證例證例證重要??！例證請翻開書,看P131

倒數(shù)第4

行的定理2及其證明。例解第五節(jié)線性變換一、線性變換的定義請點(diǎn)擊二、線性變換的矩陣三、線性變換在新基下的矩陣四、線性變換的特征值與特征向量一、線性變換的定義定義1(1)對任意,V,有T(+)=T()+T()(2)對任意V,及任意實數(shù)

k，有T(k)=kT()則稱

T為

V的一個線性變換.向量空間

V到自身的一個映射，稱為V的

一個變換。T若T滿足：向量

在

T下的像，記為T()或T.注2：用粗體大寫字母T,A，B，C，表示線性變換，它構(gòu)成一個線性空間，定義變換T：全體的集合，設(shè)表示定義在R上次數(shù)不超過的多項式例1：故T為

的一個線性變換.對注1：定義式中（1），（2）可表示為例2：證：T(+)=(+)A設(shè)

A

為一

n

階實矩陣，對任意

Rn，令

T=A,則

T

為

Rn中的線性變換.=A+A=T+TT(k)=(k)A=k(A)=k(T)故

T為

Rn中的線性變換.V中兩類特殊的線性變換：1.恒等變換

EE=,V2.零變換

OO=0

,V定理1設(shè)

T是V的一個線性變換，則(1)T把零向量變到零向量，把的負(fù)向量變到的像的負(fù)向量，即T0=0；T()=T.(2)T保持向量的線性組合關(guān)系不變,即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.(3)T把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組.定義2設(shè)L(V)是向量空間

V的全體線性變換的集合,定義

L(V)中的加法，數(shù)乘與乘法如下：加法:

(T1+T2)=T1+T2;數(shù)乘:

(kT)=kT乘法:

(T1T2)=T1(T2)對

V,kR.均為V

的線性變換.T1+T2，T1T2，kT可證:若

T1,T2

均為

V的線性變換，則二、線性變換的矩陣T

為

V的一個線性變換.T=k1T

1+k2T

2+…+kmT

m設(shè)V為向量空間,dim(V)=m.1,2,…,m

為V

的一組基，=k11+k22+…+kmmT1=a111+a212+…+am1mT2=a121+a222+…+am2mTm=a1m1+a2m2+…+ammm……………即(T

1,T

2,…,T

m)=(1,2,…,m)A其中T(1,2,…,m)

=

(1,2,…,m)A簡記為設(shè)（1）（2）…,m下的矩陣.稱矩陣

A為線性變換

T在基1,2,給定

V的基1,2,…,m,線性變換T矩陣A定理3設(shè)V

的線性變換

T有(T

1,T

2,…,T

m)=(1,2,…,m)

A向量在基1,2,…,m下的坐標(biāo)為(x1,x2,…,xm)，T在此基下的坐標(biāo)為(y1,y2,…,ym),則=(1,2,…,m)A=x11+x22+…+xmmT=x1T

1+x2T

2+…+xmT

m=(1,2,…,m)證明：所以例3：設(shè)

R3的線性變換TT(x1,x2,x3)=(a11x1+a12x2+a13x3,a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)求

T在標(biāo)準(zhǔn)基1,2,3下的矩陣.

解：T1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)=a111+a212+a313T2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)=a121+a222+a323T3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)=a131+a232+a333故

T在標(biāo)準(zhǔn)基

1,2,3下的矩陣為特例：線性變換

T=k

數(shù)量矩陣kE恒等變換

T=

單位矩陣E零變換

T=0

零矩陣O定理4三、線性變換在新基下的矩陣1,2,…,m1,2,…,m；設(shè)向量空間V有兩組基，分別為B=C1AC則證明：）（1,2,…,mB））（1,2,…,m（1,2,…,mC且=T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)=(1,2,…,m)

AT）(1,2,…,m)=（1,2,…,mBT（1,2,…,mC）T==(1,2,…,m)

AC=（1,2,…,m）C1AC.B=C1AC.故定義5設(shè)

A,B為兩

n階方陣，若存在可逆矩陣

C，使

B=C1AC

,則稱方陣

A與

B

相似，記為A~B.性質(zhì)：(1)A~A(反身性)(2)A~B

B~A

(對稱性)(3)

A~B,B~C

A~C

(傳遞性)AC1BC=B=(FD)-1C(FD)A=D-1DCF)=D-1D(F-1解：從e1,e2,e3到1,2,3的過渡矩陣?yán)?

線性變換

T在

R3中基

e1,e2,e3下的矩陣為求T在基1=2e1+3e2+e3,2=3e1+4e2+e3,3=e1+2e2+2e3下的矩陣.故線性變換

T

在

1,2,3下的矩陣B=C1AC四、線性變換的特征值與特征向量定義6問題:

線性變換在何種基下對應(yīng)對角矩陣?T

=

成立，則稱

為T的一個特征值，而

稱為

T

對應(yīng)于特征值

的一個特征向量。如果存在數(shù)

及

n

維非零向量

，使得設(shè)

T是向量空間V的一個線性變換,注：若

為T的屬于特征值

的一個特征向量,則k(k0)也為T的屬于特征值

的特征向量.T(k

)=kT=k

=

(k

)若1,2,…,m為T

的特征向量，且構(gòu)成

V的基由

Ti=iiT（1,2,…,m）=（1,2,…,m）T在特征向量這組基下定理5設(shè)V為m

維向量空間，T為V的一個線性變換.那么存在V的一組基，使得T在這組基下的矩陣為對角矩陣的充要條件是T有m

個線性無關(guān)的特征向量.對角矩陣特征值，特征向量的求法：設(shè)1,2,…,m為V的一組基(T

1,T

2,…,T

m)=(1,2,…,m)

A=(1,2,…,m)A=x11+x22+…+xmmT=x1T

1+x2T

2+…+xmT

m=

=(1,2,…,m)=(1,2,…,m)

滿足：A=即

(A

–E)X=0A

X=

X成立，則稱

為矩陣

A

的一個特征值，而

X稱為矩陣

A

對應(yīng)于特征值

的一個特征向量。定義7設(shè)A

R

nn，如果存在數(shù)

及

n

維非零向量

X，使得T

=

注：A

X=

X其中…,m下的矩陣.X為A為T在基1,2,的坐標(biāo)(A

–E)X=0精品課件！精品課件！定義3歐氏空間

V的線性變換T稱為正交變換，若對任意,