數(shù)列的遞推公式

數(shù)列的遞推公式第一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三觀察數(shù)列{an}，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16，即a1=2，從第2項開始，每一項是它前一項的2倍，因此該數(shù)列可以用如下方式給出：

a1=2，an=2an－1，(n=2，3，4，…)再如數(shù)列，由操作計算器給出：1coscoscos……

a1=1，an=cos(an－1)，(n=2，3，4，…)第二頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。數(shù)列的遞推公式

a1=a，an=f(an－1)，(n=2，3，4，…)第三頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三例1．已知數(shù)列{an}的第1項是2，以后各項由公式給出，寫出這個數(shù)列的前5項.解：a1=2，第四頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三例2.已知直線l：y=x與曲線c：（如圖所示），過曲線c上橫坐標為1的一點P1作x軸的平行線交l于Q2，過Q2作x軸的垂線交曲線c于P2，再過P2作x軸的平行線交l于Q3，過Q3作x軸的垂線交曲線c于P3，……，設(shè)點P1，P2，…，Pn，…的縱坐標分別為a1，a2，…，an，…，試求數(shù)列{an}的遞推公式。第五頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三解：由題意，點P1的橫坐標為1，縱坐標為a1=，點Qn+1與Pn的縱坐標相同，都是an，同時點Pn+1與Qn+1的橫坐標相等，點Pn+1在曲線c：上，由橫坐標得它的縱坐標為即這就是數(shù)列{an}的遞推公式。第六頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三例3.根據(jù)下列各個數(shù)列{an}的首項及其遞推公式，寫出數(shù)列的前5項，并歸納出通項公式：（1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；（2）a1=1，,n∈N+；解：（1）因為a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；所以，a2=1，a3=4，a4=9，a5=16，歸納出它的通項公式是an=(n－1)2。第七頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三（2）a1=1，,n∈N+；解:歸納出它的通項公式是第八頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三例4.數(shù)列{an}中，a1=1，對于所有的n≥2且n∈N+，都有（1）求a3+a5；（2）是此數(shù)列中的項嗎？解法1：（1）因為所以，兩式相除得n≥2，n∈N+，第九頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三所以解法2：（1）因為，所以解得a2=4，又解得同理可得第十頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三解：（2）令則解得n=16.所