函數(shù)模型及其應(yīng)用（課件）-2024屆《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（湘教版）

第二章函數(shù)INNOVATIVEDESIGN第10節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.考試要求知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較知識(shí)梳理函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)______單調(diào)______單調(diào)______增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與______平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與______平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax遞增遞增遞增y軸x軸2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)[常用結(jié)論]1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)×診斷自測××√∴每件賠1元，(1)錯(cuò)誤.(2)當(dāng)x＝2時(shí)，2x＝x2＝4.(2)不正確.C3.某建材商場國慶期間搞促銷活動(dòng)，規(guī)定：顧客購物總金額不超過800元時(shí)，不享受任何折扣；如果顧客購物總金額超過800時(shí)，那么超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算1350可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%解析若x＝1300，則y＝5%(1300－800)＝25＜30，因此x＞1300.由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元).

4.某商品在最近30天內(nèi)的價(jià)格f(t)與時(shí)間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，銷售量g(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，則這種商品的日銷售金額的最大值是________.506KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的變化過程例1已知正方形ABCD的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是(

)D

解析依題意知，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)＝2x；當(dāng)4＜x≤8時(shí)，f(x)＝8；當(dāng)8＜x≤12時(shí)，f(x)＝24－2x，觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象；(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.感悟提升訓(xùn)練1(2023·泰州調(diào)研)中國茶文化博大精深，茶水的口

感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用

85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可

以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)

間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時(shí)間x變化的規(guī)律(

)BA.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)解析由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m＞0，0＜a＜1.考點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題例2我國在2020年進(jìn)行了第七次人口普查登記，到2021年4月以后才能公布結(jié)果.人口增長可以用英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出的模型：y＝y(tǒng)0·ert，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間(單位：年)，y0表示t＝0時(shí)的人口數(shù)(單位：億)，r表示人口的年平均增長率.以國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2000年第五次人口普查登記(已上報(bào)戶口)的全國總?cè)丝?2.43億人(不包括香港、澳門和臺(tái)灣地區(qū))和2010年第六次人口普查登記(已上報(bào)戶口)的全國總?cè)丝?3.33億人(不包括香港、澳門和臺(tái)灣地區(qū))為依據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型估計(jì)我國2020年年末(不包括香港、澳門和臺(tái)灣地區(qū))的全國總?cè)丝跀?shù)為(13.332＝177.6889，12.432＝154.5049)(

) A.14.30億 B.15.20億

C.14.62億

D.15.72億A

解析由馬爾薩斯人口增長模型，得13.33＝12.43e10r，所以我國2020年年末的全國總?cè)丝跀?shù)約為1.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn).(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).感悟提升B

解析當(dāng)M＝3m時(shí)，v＝5.544，解得M≈159.725≈160(噸)，即M至少約為160噸.故選B.考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題角度1構(gòu)建二次函數(shù)模型A整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？(注：年利潤＝年銷售收入－年總成本)解當(dāng)0＜x≤10時(shí)，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)，得當(dāng)x∈(0，9)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(9，10)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)10＜x≤25時(shí)，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.綜上，當(dāng)x＝9時(shí)，年利潤取最大值386.所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大.在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問題.感悟提升A

解析由題意可知2025年的總收入為300億元.因?yàn)橐髲?021年起每年通過理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍，所以2025年通過理財(cái)業(yè)務(wù)的收入為50t5億元，(2)國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止.每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元.①寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；解設(shè)該旅行團(tuán)的人數(shù)為x，由題意得0＜x≤75(x∈N*)，飛機(jī)票的價(jià)格為y元.旅行社可獲得的利潤為w元.(ⅰ)當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y＝900，(ⅱ)當(dāng)30＜x≤75時(shí)，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，

②每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤？解當(dāng)0≤x≤30時(shí)，w＝900x－15000，當(dāng)x＝30時(shí)，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；當(dāng)30＜x≤75時(shí)，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，當(dāng)x＝60時(shí)，w最大為21000元，所以每團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升31.在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(

)B【A級

基礎(chǔ)鞏固】x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01解析由題中表格可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項(xiàng)可知B符合，故選B.2.據(jù)統(tǒng)計(jì)，第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y(只)近似滿足y＝klog3(x＋1)，觀測發(fā)現(xiàn)第2年有越冬白鷺1000只,估計(jì)第5年有越冬白鷺(ln2≈0.7,ln3≈1.1)(

) A.1530只 B.1636只

C.1830只

D.1930只解析∵第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y(只)近似滿足y＝klog3(x＋1)，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1000，∴1000＝klog33，解得k＝1000，BD4.(多選)甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是(

)BD解析在A中，甲在公園休息的時(shí)間是10min，所以只走了50min，A錯(cuò)誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時(shí)間比從公園到乙同學(xué)家所用的時(shí)間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯(cuò)誤；5.(2023·連云港質(zhì)檢)某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為(

) A.8 B.10 C.12

D.13B解析設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x(x∈N*)，設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬元，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10時(shí)，等號(hào)成立，因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.D

解析由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本即x＝400時(shí)取等號(hào)，此時(shí)S取得最小值200.綜上，所求處理量為400噸.故選D.7.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4m和am(0＜a＜12)，不考慮樹的粗細(xì).現(xiàn)用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是(

)B解析設(shè)AD長為x，則CD長為16－x.又因?yàn)橐獙點(diǎn)圍在矩形ABCD內(nèi)，所以a≤x≤12，則矩形ABCD的面積為x(16－x).當(dāng)0＜a≤8時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8時(shí)，u＝64；當(dāng)8＜a＜12時(shí)，u＝a(16－a)，分段畫出函數(shù)圖象，可得其形狀與B選項(xiàng)中圖象接近.8.當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少要經(jīng)過________個(gè)“半衰期”.10所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個(gè)“半衰期”.12010.某地西紅柿上市后，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100千克)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間t60100180種植成本Q11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你選取的函數(shù)，求：①西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是________；②最低種植成本是________元/100千克.80解析因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，種植成本先減少后增加，而且當(dāng)t＝60和t＝180時(shí)種植成本相等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故當(dāng)上市天數(shù)為120時(shí)，種植成本取到最低值為80元/100千克.(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個(gè)地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)？解由題意可得，當(dāng)0＜x≤40時(shí)，W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？解若0＜x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1500，所以當(dāng)x＝30時(shí)，W(x)max＝1500萬元.A【B級

能力提升】解析將A＝200，t＝5，L＝20代入L(t)＝A(1－e－kt)，D型號(hào)每層玻璃厚度d(單位：厘米)玻璃間夾空氣層厚度l(單位：厘米)A型0.43B型0.34C型0.53D型0.44則保溫效果最好的雙層玻璃的型號(hào)是(

)A.A型 B.B型

C.C型

D.D型固定|ΔT|，可知16l＋2d越大，q越小，保溫效果越好.對于A型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.4＝48.8，對于B型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.3＝64.6，對于C型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.5＝49，對于D型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.4＝