第十講線段垂直平分與角平分線

第十講線段的垂直平分線與角的平分線上海市徐匯中學(xué) 陶琦【知識梳理】互逆命題互逆定理不是每個(gè)定理都有逆定理。每個(gè)命題都有逆命題。真命題的逆命題不一定是真命題。在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫原命題，那另一個(gè)叫它的逆命題。如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理。其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理?！局R梳理】互逆命題線段垂直平分線定理及逆定理角平分線定理及逆定理互逆定理線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。角的平分線上的點(diǎn)

到這個(gè)角兩邊的距離相等。在一個(gè)角內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上?！局R梳理】線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。FEABP∵EF垂直平分AB，且點(diǎn)P在EF上∴

PA=PB∵

PA=PB∴點(diǎn)P在AB

的垂直平分線上線段的垂直平分線可以看作是和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合。不用再證全等了角的平分線可以看作是在這個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角兩邊的距離相等的點(diǎn)的集合。角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。在一個(gè)角內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上?！局R梳理】BCOPAFE∵OP平分∠AOB，且PE⊥OB，PF⊥OA∴

PE=PF∵

PE=PF且PE⊥OB，PF⊥OA∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上即OP平分∠AOB不用再證全等了【知識梳理】互逆命題線段垂直平分線定理及逆定理角平分線定理及逆定理互逆定理線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。角的平分線上的點(diǎn)

到這個(gè)角兩邊的距離相等。在一個(gè)角內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上?？梢圆挥迷僮C三角形全等而得到兩條線段相等或兩個(gè)角相等，使證明更簡潔。【知識梳理】互逆命題線段垂直平分線定理及逆定理角平分線定理及逆定理點(diǎn)的軌跡互逆定理三大基本軌跡交規(guī)法作圖1、和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是，這條線段的垂直平分線。2、在一個(gè)角內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是，這個(gè)角的平分線。3、到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是，以這個(gè)定點(diǎn)為圓心、定長為半徑的圓。符合某些條件的所有的點(diǎn)的集合。【典型例題】————基礎(chǔ)題簡單表示：相等的角是對頂角。假命題例1

說出下列命題的逆命題，并判斷其真假。1、對頂角相等。改寫原命題：如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等。逆命題：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角?！镜湫屠}】————基礎(chǔ)題對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形。假命題例1

說出下列命題的逆命題，并判斷其真假。2、全等三角形對應(yīng)角相等。改寫原命題：如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對應(yīng)角相等。逆命題：如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等。簡單表示：【典型例題】————基礎(chǔ)題例1

說出下列命題的逆命題，并判斷其真假。3、如果一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角是銳角，那么這個(gè)三角形是鈍角三角形。逆命題：如果一個(gè)三角形是鈍角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角是銳角。真命題假命題真命題的逆命題不一定是真命題，假命題的逆命題不一定是假命題【典型例題】————基礎(chǔ)題原命題：對頂角相等。形是鈍角三角形。逆命題：相等的角是對頂角（。假命題）逆命題：如果一個(gè)三角形是鈍角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角是銳角。（真命題）（真命題）原命題：全等三角形對應(yīng)角相等。（真命題）逆命題：對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形。（假命題）原命題：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角是銳角，那么這個(gè)三角（假命題）【典型例題】————基礎(chǔ)題例1

說出下列命題的逆命題，并判斷其真假。那么截得的同位角相等。4、等腰三角形的兩個(gè)底角相等。有兩個(gè)內(nèi)底角相等的三角形是等腰三角形。真命題5、如果兩條平行線被第三條直線所截，改寫：兩條直線被第三條直線所截，如果這兩條直線平行，那么截得的同位角相等。逆命題：如兩果條兩直條線直被線第被三第條三直條線直所線截所，截如得果的截同得位的角同相位等角，相那等么，這那兩么條這直兩線條平直行線。平行。真命題互為逆定理互為逆定理到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為3厘米的點(diǎn)【典型例題】————基礎(chǔ)題例2

說出符合下列條件的點(diǎn)的軌跡。1、在∠AOB內(nèi)部，且到角兩邊的距離相等的點(diǎn)。3、經(jīng)過點(diǎn)A且半徑為3厘米的圓的圓心。2、經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的圓心?！螦OB的角平分線以點(diǎn)A為圓心3厘米為半徑的圓線段AB的垂直平分線ABA到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等【典型例題】————基礎(chǔ)題例2

說出符合下列條件的點(diǎn)的軌跡。4、底邊為AB的等腰三角形的頂點(diǎn)。不要多不要少線段AB的垂直平分線（除了AB的中點(diǎn)）5、到直線m的距離等于2厘米的點(diǎn)。ABm2厘厘2厘厘與直線m平行，且距離等于2厘米的兩條平行線21EABC？BC+BD+DC例3

已知：如圖，⊿ABC中AB=AC=14，BC=8，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、點(diǎn)D.（1）求⊿BCD的周長分析：AD=BDBD+DC=AD+DC=AC⊿BCD的周長=BC+AC=22【典型例題】————基礎(chǔ)題14D14821EDABC∠2=

∠ABC

-∠1=15

°例3

已知：如圖，⊿ABC中AB=AC=14，BC=8，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、點(diǎn)D.（2）若∠1=

50°，求∠2的度數(shù).分析：有兩個(gè)等腰三角形⊿ABC和⊿ADB∠A既是⊿ADB的底角，又是⊿ABC的頂角AD=BD∠A=

∠1=

50°∠ABC=

（180-∠A）÷2=

65°【典型例題】————基礎(chǔ)題例3

已知：如圖，⊿ABC中AB=AC=14，BC=8，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、點(diǎn)D.（3）若∠1:∠2=

2:3，求∠1的度數(shù).分析：等腰三角形⊿ABC和⊿ADB21EDABC不能直接求，不妨列方程∠A、∠1、∠2

之間存在一定的數(shù)量關(guān)系?！镜湫屠}】————基礎(chǔ)題例3

已知：如圖，⊿ABC中AB=AC=14，BC=8，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、點(diǎn)D.（3）若∠1:∠2=

2:3，求∠1的度數(shù).分析：1EDABC不能直接求，不妨列方程設(shè)∠1=2x

°,∠2

=3x

°由∠A

+2

∠ABC=180

°，可列方程2x+10x=180,解得x=15∴

∠1=30

°則∠A=2x

,∠ABC=∠ACB=5x

°2x2x23x5x【典型例題】————基礎(chǔ)題反思：1、利用“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等”這一定理，可以不用再證三角形全等而得到兩條相應(yīng)的線段相等，使證明更簡潔。2、看到“線段垂直平分線”這一條件，可以聯(lián)想到等腰三角形，從而利用等腰三角形的一些性質(zhì)進(jìn)一步解決問題。3、在遇到幾何計(jì)算問題時(shí),若有些量不能直接求，可以考慮尋找?guī)讉€(gè)量之間的等量關(guān)系，列方程來解決。例4

已知：如圖，⊿ABC中AECAD是∠A的角平分線，DE⊥AE，且DE=2，若BC=5，⊿ABC的周長為13，求⊿ABC的面積.B分析：三角形的一邊BC=5這邊上？的高【典型例題】————基礎(chǔ)題D

52例4

已知：如圖，⊿ABC中AD是∠A的角平分線，DE⊥AE，AC

DE=2AEC且DE=2，若BC=5，⊿ABC的周長為13，求⊿ABC的面積.B分析：三角形的一邊

這邊上的高⊿ADC面積⊿ADB面積ABFDF=2DE=DF⊿ABC面積【典型例題】————基礎(chǔ)題D

52例4

已知：如圖，⊿ABC中AD是∠A的角平分線，DE⊥AE，AECDE=DF且DE=2，若BC=5，⊿ABC的周長為13，求⊿ABC的面積.B分析：⊿ABC的面積=⊿ADC面積+⊿ADB面積=

1

AC

·

DE

+

1

AB

·

DF2

22=

1

DE·（AC

+

AB）⊿ABC的周長-BC=812=

8·

2

·

8=【典型例題】————基礎(chǔ)題FD

521、看到“垂直”和“角平分線”這兩個(gè)條件可以聯(lián)想到“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”這一定理。若只有點(diǎn)到角一邊的距離，可以考慮添加該點(diǎn)到另一邊的距離。2、在求三角形面積問題時(shí)，看到“垂直”這個(gè)條

件可以考慮以該垂線段為高求相應(yīng)三角形的面積。3、在計(jì)算時(shí)，若部分量未知，可以考慮將式子變形，把某部分看成一個(gè)整體代入，再計(jì)算。反思：AOBCPDE

NM例5

已知：如圖，OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，且PD⊥OA，PE⊥OB，DM=EN求證：點(diǎn)P在MN的垂直平分線上△PDM≌△PENOC平分∠AOB點(diǎn)P到角的兩邊距離相等PD=PEDM=EN∠PDM=

∠PEN=90°PM？=PN已知可知分析：只要證：【典型例題】————基礎(chǔ)題ABCPDE

NM例5

已知：如圖，OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，且PD⊥OA，PE⊥OB，DM=EN求證：點(diǎn)P在MN的垂直平分線上【典型例題】————基礎(chǔ)題∵OP是∠AOB的角平分線，O且PD⊥OA，PE⊥OB

（已知）∴PD=PE

（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等）∠PDM

=∠PEN

=90°（垂直意義）又∵DM=EN

（已知）∴

△PDM≌△PEN

（S.A.S）∴PM=PN

（全等三角形對應(yīng)邊相等）∴點(diǎn)P在MN的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）證明：聯(lián)結(jié)PM、PN例6已知∠ABC的一邊上有兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P

到AB、BC的距離相等，且點(diǎn)P到M的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離，請你確定點(diǎn)P的位置。點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上點(diǎn)P在以M為圓心，MN為半徑的圓上分析：NABCDMPP’∴點(diǎn)P和P’是符合條件的點(diǎn)PM=MN【典型例題】————基礎(chǔ)題【典型例題】————提高題xyAB3、以∠C為頂角(AB為底邊)2、以∠B為頂角(AB為腰)1、以∠A為頂角(AB為腰)上，求符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)。分析：例7

已知：在直角坐標(biāo)平面中，⊿ABC是等腰三角形，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(0,3)與(3,0),

AB=

3

2

點(diǎn)C在坐標(biāo)軸xyAB例7

已知：在直角坐標(biāo)平面中，⊿ABC是等腰三角形，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(0,3)與(3,0),

AB=

3

2

點(diǎn)C在坐標(biāo)軸以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上，求符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)。分析：以∠A為頂角（AB為腰）AC=ABC2C3C1C（1

0，3

+

3

2）C2（0，3

-

3

2）C3（-3,0）【典型例題】————提高題例7

已知：在直角坐標(biāo)平面中，⊿ABC是等腰三角形，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(0,3)與(3,0),

AB=

3

2

點(diǎn)C在坐標(biāo)軸xyAB以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑的圓上，求符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)。分析：以∠B為頂角（AB為腰）BC=ABC5C6C4C（4

3

+

3

2，0）2，0）C5

（3-

3C6（0,-3）【典型例題】————提高題例7

已知：在直角坐標(biāo)平面中，⊿ABC是等腰三角形，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(0,3)與(3,0),

AB=

3

2

點(diǎn)C在坐標(biāo)軸xyBAB的垂直平分線上，求符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)。分析：以∠C為頂角（AB為底邊）AC=BCC7（0，0）AC7【典型例題】————提高題C2（0，3

-

32）

C3（-3,0）C5

（3

-

3

2，0）C6（0,-3）C（1

0，3

+

3

2）C（4

3

+

3

2，0）C7（0，0）AC=AB時(shí)BC=AB時(shí)AC=BC時(shí)例7

已知：在直角坐標(biāo)平面中，⊿ABC是等腰三角形，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(0,3)與(3,0),

AB=

3

2

點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，求符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)。符合條件的點(diǎn)C共有7個(gè)【典型例題】————提高題例8（1）某一天，水質(zhì)檢測員小張從家（點(diǎn)A）出發(fā)，到河流a

取樣，然后到研究所（點(diǎn)B）進(jìn)行監(jiān)測分析。他該怎樣走，才能使路程最短？AP=A’P【典型例題】————拓展題ABa分析：A’兩點(diǎn)之間線段最短點(diǎn)到直線的垂線段最短去的路程短了，

回來的路程就長了。到哪個(gè)點(diǎn)取樣？回來的路程短了，去的路程就長了。PP在AA’的垂直平分線上在直線a上找一點(diǎn)P，使AP+PB最短例8（1）某一天，水質(zhì)檢測員小張從家（點(diǎn)A）出發(fā)，到河流a

取樣，然后到研究所（點(diǎn)B）進(jìn)行監(jiān)測分析。他該怎樣走，才能使路程最短？P【典型例題】————拓展題BA’aH過點(diǎn)A作直線a的垂線段AH，延長AH至點(diǎn)A’,使HA’=AH.分析：Aa是線段AA’的垂直平分線AP=A’P聯(lián)結(jié)A’B，交直線a

于點(diǎn)P.在直線a上找一點(diǎn)P，使AP+PB最短AP+PB=A’P+PBA’P+PB最短AP+PB最短兩點(diǎn)之間線段最短例8（1）某一天，水質(zhì)檢測員小張從家（點(diǎn)A）出發(fā)，到河流a

取樣，然后到研究所（點(diǎn)B）進(jìn)行監(jiān)測分析。他該怎樣走，才能使路程最短？【典型例題】————拓展題ABB’a過點(diǎn)B作直線a的垂線段BH，延長BH至點(diǎn)B’,使HB’=BH.分析：聯(lián)結(jié)AB’，交直線a于點(diǎn)P.P

H在直線a上找一點(diǎn)P，使AP+PB最短AP+PBAB’構(gòu)造垂直平分線【典型例題】————拓展題例8（2）第二天，水質(zhì)檢測員小張從研究所（點(diǎn)B）出發(fā)，要先后到河流a、河流b取樣，然后再回到研究所進(jìn)行監(jiān)測分析。他又該怎樣走，才能使路程最短？Bab分析：在直線a上找一點(diǎn)P,在直線b上找一點(diǎn)Q,使BP+PQ+QB

最短一條線段構(gòu)造垂直平分線【典型例題】————拓展題例8（2）第二天，水質(zhì)檢測員小張從研究所（點(diǎn)B）出發(fā)，要先后到河流a、河流b取樣，然后再回到研究所進(jìn)行監(jiān)測分析。他又該怎樣走，才能使路程最短？BabQEF分析：過點(diǎn)B作直線a

的垂線段BC，延長BC至點(diǎn)E,使CE=BC.P

CD過點(diǎn)B作直線b的垂線段BD，延長BD至點(diǎn)F,使DF=BD.聯(lián)結(jié)EF，分別交直線a

、直線b于點(diǎn)P和點(diǎn)QBP+PQ+QBEP

FQEF構(gòu)造垂直平分線例9

已知:

AB=AC、AD=AE，∠1=∠2

，EC、BD交于點(diǎn)PPA平分∠EPB【典型例題】————